Скачиваний:
73
Добавлен:
24.04.2014
Размер:
6.57 Кб
Скачать

\vspace{0.5in}

\noindent ‹…Љ–€џ 2.6. {\it ЉаЁўлҐ ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є . ќ««ЁЇб,
ЈЁЇҐаЎ®«  Ё Ї а Ў®« , Ёе бў®©бвў  Ё Є ­®­ЁзҐбЄЁҐ га ў­Ґ­Ёп.}

ќ««ЁЇб®¬ ­ §лў Ґвбп ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ¬Ґбв® в®зҐЄ, ¤«п Є®в®але б㬬 
а ббв®п­Ё© ®в ¤ўге дЁЄбЁа®ў ­­ле в®зҐЄ Ї«®бЄ®бвЁ, ­ §лў Ґ¬ле
д®Єгб ¬Ё, Ґбвм Ї®бв®п­­ п ўҐ«ЁзЁ­ .

„«п ўлў®¤  га ў­Ґ­Ёп н««ЁЇб  Ўг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® ҐЈ® д®Єгбл --
$F_1$, $F_2$, а бЇ®«®¦Ґ­л ­  ®бЁ $Ox$ Ё Ё¬Ґов Є®®а¤Ё­ вл
$(-c,0)^\ast$, $(c,0)^\ast$ ᮮ⢥вб⢥­­®. Џгбвм $M$ --
Їа®Ё§ў®«м­ п в®зЄ  н««ЁЇб . ’®Ј¤  $F_1M+F_2M=const=2a>0$. …б«Ё
$M=(x,y)^\ast$, в®
$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a.\eqno (1)$$ ЏаҐ®Ўа §гҐ¬
нв® га ў­Ґ­ЁҐ
$${(x+c)^2+y^2}=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2,\eqno (2)$$
$$a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-cx,\eqno (3)$$
$$a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)=a^4-2a^2cx+c^2x^2,$$
$$(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2).\eqno (4)$$ …б«Ё ®Ў®§­ зЁвм
$b=\sqrt{a^2-c^2}$ Ё гзҐбвм, зв® $a>c>0$, в® (4) ¬®¦­® § ЇЁб вм ў
ўЁ¤Ґ $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.\eqno (5)$$ Џа®ўҐаЁ¬, зв®
(5) нЄўЁў «Ґ­в­® (1). Њл 㦥 гбв ­®ўЁ«Ё, зв® $(1)\Rightarrow (5)$.
„®Є ¦Ґ¬ ®Ўа в­®Ґ. …б«Ё $x$, $y$ 㤮ў«Ґвў®апов (5), в®
$|x|\leqslant a$ Ё $|cx|\leqslant a^2$. Џ®н⮬㠢믮«­Ґ­® (3) Ё
(2), $$\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm(2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}).$$ €¬ҐҐ¬,
$|(x-c)^2+y^2|\leqslant x^2+2|cx|+c^2+y^2\leqslant
a^2+2a^2+c^2+b^2=4a^2.$ Џ®н⮬㠢Ґа­® (1). “а ў­Ґ­ЁҐ (5)
­ §лў Ґвбп Є ­®­ЁзҐбЄЁ¬ га ў­Ґ­ЁҐ¬ н««ЁЇб . ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ¬л
гбв ­®ўЁ«Ё, зв® н««ЁЇб пў«пҐвбп «Ё­ЁҐ© ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є . Љ Є
б«Ґ¤гҐв Ё§ (5) нв  «Ё­Ёп бЁ¬¬ҐваЁз­  ®в­®бЁвҐ«м­® ®бҐ© Є®®а¤Ё­ в.
Џ®н⮬г, зв®Ўл Ё§®Ўа §Ёвм нвг «Ё­Ёо ­  Ї«®бЄ®бвЁ, ¤®бв в®з­®
­ аЁб®ў вм Ја дЁЄ дг­ЄжЁЁ $y=\frac ba\sqrt{a^2-x^2}$, $0\leqslant
x\leqslant a$, Ё ®ва §Ёвм ҐЈ® ®в­®бЁвҐ«м­® ®бҐ© Є®®а¤Ё­ в. ѓа дЁЄ
нв®© дг­ЄжЁЁ -- ўлЇгЄ« п ўўҐае ¬®­®в®­­® гЎлў ой п «Ё­Ёп,
Їа®е®¤пй п зҐаҐ§ в®зЄЁ $(0,b)^\ast$, $(a,0)^\ast$. Џа®Ё§ў®¤­ п ў
­г«Ґ а ў­  ­г«о, Їа®Ё§ў®¤­ п ў в®зЄҐ $a$ а ў­  ¬Ё­гб
ЎҐбЄ®­Ґз­®бвЁ. Ќ  Ё­вҐаў «Ґ $(0,a)$ нв  дг­ЄжЁп пў«пҐвбп
ЎҐбЄ®­Ґз­® ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®©.

ЋбЁ бЁ¬¬ҐваЁЁ н««ЁЇб  ­ §лў ов ҐЈ® ®бп¬Ё, Ёе ЇҐаҐбҐзҐ­ЁҐ --
業в஬ н««ЁЇб . ’®зЄЁ, ў Є®в®але н««ЁЇб ЇҐаҐбҐЄ Ґв бў®Ё ®бЁ,
­ §лў овбп ҐЈ® ўҐаиЁ­ ¬Ё, ¤«Ё­л $2a$, $2b$ в Є¦Ґ Ё­®Ј¤  ­ §лў ов
®бп¬Ё н««ЁЇб  (Ў®«ми®© Ё ¬ «®©),   ¤«Ё­л $a$, $b$ -- ҐЈ®
Ї®«г®бп¬Ё. ‚Ґ«ЁзЁ­  $\varepsilon=c/a<1$ ­ §лў Ґвбп
нЄб業ваЁбЁвҐв®¬ н««ЁЇб . Ћ­ ¬®¦Ґв Ўлвм ­ ©¤Ґ­ Ї® д®а¬г«Ґ
$$\varepsilon=\sqrt{1-(b/a)^2}.$$ ‘ ҐЈ® Ї®¬®ймо «ҐЈЄ® ўлзЁб«пҐвбп
а ббв®п­ЁҐ ¬Ґ¦¤г д®Єгб ¬Ё: $2c=2\varepsilon a$.

€­®Ј¤  ®Є §лў Ґвбп Ї®«Ґ§­л¬ Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ н««ЁЇб :
$$x=a\cos t,\ y=b\sin t,\ t\in [0,2\pi].$$ ‚ ҐЈ® бЇа ўҐ¤«Ёў®бвЁ
б«ги вҐ«п¬ ЇаҐ¤« Ј Ґвбп гЎҐ¤Ёвмбп б ¬Ё¬. — бв­л¬ б«гз Ґ¬ н««ЁЇб 
пў«пҐвбп ®Єаг¦­®бвм а ¤Ёгб  $a$: $x^2+y^2=a^2$.

„агЈ®© «Ё­ЁҐ© ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є  пў«пҐвбп ЈЁЇҐаЎ®« . ђ бᬮваЁ¬ ­ Ў®а
д Єв®ў Є б ойЁебп нв®© «Ё­ЁЁ ў ⮬ ¦Ґ ®ЎкҐ¬Ґ, Є Є Ё ¤«п н««ЁЇб .
ЏаЁ н⮬ ўлпб­Ёвбп Ёе Ї®«­®Ґ, ў ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®¬ б¬лб«Ґ, ᮮ⢥вбвўЁҐ
¤агЈ ¤агЈг.

ѓЁЇҐаЎ®«®© ­ §лў Ґвбп ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ¬Ґбв® в®зҐЄ, ¤«п Є®в®але
¬®¤г«м а §­®бвЁ а ббв®п­Ё© ®в ¤ўге дЁЄбЁа®ў ­­ле в®зҐЄ Ї«®бЄ®бвЁ,
­ §лў Ґ¬ле д®Єгб ¬Ё, Ґбвм Ї®бв®п­­ п ўҐ«ЁзЁ­ . ЏаЁ н⮬ вॡгҐвбп,
зв®Ўл нв  а §­®бвм Ўл«  Ўл ¬Ґ­миҐ а ббв®п­Ёп ¬Ґ¦¤г д®Єгб ¬Ё Ё ­Ґ
а ў­п« бм Ўл ­г«о.

„«п ўлў®¤  га ў­Ґ­Ёп ЈЁЇҐаЎ®«л Ўг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® ҐЈ® д®Єгбл --
$F_1$, $F_2$, а бЇ®«®¦Ґ­л ­  ®бЁ $Ox$ Ё Ё¬Ґов Є®®а¤Ё­ вл
$(-c,0)^\ast$, $(c,0)^\ast$ ᮮ⢥вб⢥­­®. Џгбвм $M$ --
Їа®Ё§ў®«м­ п в®зЄ  ЈЁЇҐаЎ®«л. ’®Ј¤  $F_1M-F_2M=\pm 2a$. …б«Ё
$M=(x,y)^\ast$, в® $$\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm
2a.\eqno (6)$$ $${(x+c)^2+y^2}=4a^2\pm
4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2,\eqno (7)$$ $$\pm
a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=cx-a^2,\eqno (8)$$
$$a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)=a^4-2a^2cx+c^2x^2,$$
$$(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2).\eqno (9)$$ …б«Ё ®Ў®§­ зЁвм
$b=\sqrt{c^2-a^2}$ Ё гзҐбвм, зв® $c>a>0$, в® (9) ¬®¦­® § ЇЁб вм ў
ўЁ¤Ґ $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.\eqno (10)$$ ’ Є¦Ґ Є Є Ё
¤«п н««ЁЇб , ¬®¦­® Їа®ўҐаЁвм, зв® (10) нЄўЁў «Ґ­в­® (6). “а ў­Ґ­ЁҐ
(10) ­ §лў Ґвбп Є ­®­ЁзҐбЄЁ¬ га ў­Ґ­ЁҐ¬ ЈЁЇҐаЎ®«л. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬,
¬л гбв ­®ўЁ«Ё, зв® ЈЁЇҐаЎ®«  пў«пҐвбп «Ё­ЁҐ© ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є . Љ Є
б«Ґ¤гҐв Ё§ (10) ®­  бЁ¬¬ҐваЁз­  ®в­®бЁвҐ«м­® ®бҐ© Є®®а¤Ё­ в.
Џ®н⮬г, зв®Ўл Ё§®Ўа §Ёвм нвг «Ё­Ёо, ¤®бв в®з­® ­ аЁб®ў вм Ја дЁЄ
дг­ЄжЁЁ $y=\frac ba\sqrt{x^2-a^2}$, $x\geqslant a$, Ё ®ва §Ёвм ҐЈ®
®в­®бЁвҐ«м­® ®бҐ© Є®®а¤Ё­ в. ѓа дЁЄ нв®© дг­ЄжЁЁ -- ўлЇгЄ« п ўўҐае
¬®­®в®­­® ў®§а бв ой п «Ё­Ёп, Їа®е®¤пй п зҐаҐ§ в®зЄг $(a,0)^\ast$.
Џа®Ё§ў®¤­ п ў в®зЄҐ $a$ а ў­  Ї«об ЎҐбЄ®­Ґз­®бвЁ. Ќ  Ё­вҐаў «Ґ
$(a,\infty)$ нв  дг­ЄжЁп пў«пҐвбп ЎҐбЄ®­Ґз­® ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®©.
Џап¬ п $y=\frac ba\,x$ пў«пҐвбп  бЁ¬Їв®в®© дг­ЄжЁЁ $y(x)$ ЇаЁ
$x\to +\infty$.

ЋбЁ бЁ¬¬ҐваЁЁ ЈЁЇҐаЎ®«л ­ §лў ов ҐЈ® ®бп¬Ё, Ёе ЇҐаҐбҐзҐ­ЁҐ --
業в஬ ЈЁЇҐаЎ®«л. ’®зЄЁ, ў Є®в®але ЈЁЇҐаЎ®«  ЇҐаҐбҐЄ Ґв бў®Ё ®бЁ,
­ §лў овбп ҐЈ® ўҐаиЁ­ ¬Ё, ¤«Ё­л $2a$, $2b$ в Є¦Ґ Ё­®Ј¤  ­ §лў ов
®бп¬Ё ЈЁЇҐаЎ®«л,   ¤«Ё­л $a$, $b$ -- ҐЈ® Ї®«г®бп¬Ё. ‚Ґ«ЁзЁ­ 
$\varepsilon=c/a>1$ ­ §лў Ґвбп нЄб業ваЁбЁвҐв®¬ ЈЁЇҐаЎ®«л. Ћ­
¬®¦Ґв Ўлвм ­ ©¤Ґ­ Ї® д®а¬г«Ґ $$\varepsilon=\sqrt{1+(b/a)^2}.$$ ‘
ҐЈ® Ї®¬®ймо «ҐЈЄ® ўлзЁб«пҐвбп а ббв®п­ЁҐ ¬Ґ¦¤г д®Єгб ¬Ё:
$2c=2\varepsilon a$.

€­®Ј¤  ®Є §лў Ґвбп Ї®«Ґ§­л¬ Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ
ЈЁЇҐаЎ®«л: $$x=\pm a\,{\rm ch}\, t,\ y=b\,{\rm sh}\, t,\
t\in\RR.$$ ‚ ҐЈ® бЇа ўҐ¤«Ёў®бвЁ б«ги вҐ«п¬ ЇаҐ¤« Ј Ґвбп гЎҐ¤Ёвмбп
б ¬Ё¬.

…йҐ ®¤­®© «Ё­ЁҐ© ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є  пў«пҐвбп Ї а Ў®« . ’ Є ­ §лў Ґвбп
ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ¬Ґбв® в®зҐЄ, ¤«п Є®в®але а ббв®п­ЁҐ ¤® ­ҐЄ®в®а®©
дЁЄбЁа®ў ­­®© в®зЄЁ Ї«®бЄ®бвЁ, ­ §лў Ґ¬®© д®Єгᮬ, а ў­®
а ббв®п­ЁҐ ¤® ­ҐЄ®в®а®© дЁЄбЁа®ў ­­®© Їаאַ© Ї«®бЄ®бвЁ, ­ §лў Ґ¬®©
¤ЁаҐЄваЁб®©. ЏаЁ н⮬ ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґвбп, зв® нв  Їап¬ п ­Ґ Їа®е®¤Ёв
зҐаҐ§ д®Єгб.

„«п ўлў®¤  га ў­Ґ­Ёп Ї а Ў®«л Ўг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® ҐЈ® д®Єгб $F$, Ё
¤ЁаҐЄваЁб  Ё¬Ґов ўЁ¤ $F=(p/2,0)^\ast$, $x=-p/2$ ᮮ⢥вб⢥­­®.
Џгбвм $M=(x,y)^\ast$ -- Їа®Ё§ў®«м­ п в®зЄ  Ї а Ў®«л. ’®Ј¤ 
$FM=x+p/2$. Џ®н⮬г $$\sqrt{(x-p/2)^2+y^2}=x+p/2.\eqno (11)$$
$$x^2-px+p^2/4+y^2=x^2+px+p^2/4,\eqno (12)$$ $$y^2=2px,\eqno
(13)$$ ‹ҐЈЄ® Ї®Є § вм, зв® (13) нЄўЁў «Ґ­в­® (11). “а ў­Ґ­ЁҐ (13)
­ §лў Ґвбп Є ­®­ЁзҐбЄЁ¬ га ў­Ґ­ЁҐ¬ Ї а Ў®«л. Љ Є б«Ґ¤гҐв Ё§ (13)
®­  бЁ¬¬ҐваЁз­  ®в­®бЁвҐ«м­® ®бЁ Є®®а¤Ё­ в $Ox$. Џ®н⮬г, зв®Ўл
Ё§®Ўа §Ёвм нвг «Ё­Ёо, ¤®бв в®з­® ­ аЁб®ў вм Ја дЁЄ дг­ЄжЁЁ
$y=\sqrt{2px}$, $x\geqslant 0$, Ё ®ва §Ёвм ҐЈ® ®в­®бЁвҐ«м­® ®бЁ
$Ox$. ѓа дЁЄ нв®© дг­ЄжЁЁ -- ўлЇгЄ« п ўўҐае ¬®­®в®­­® ў®§а бв ой п
«Ё­Ёп, Їа®е®¤пй п зҐаҐ§ в®зЄг $(0,0)^\ast$. Џа®Ё§ў®¤­ п ў в®зЄҐ
$0$ а ў­  Ї«об ЎҐбЄ®­Ґз­®бвЁ. Ќ  Ё­вҐаў «Ґ $(0,\infty)$ нв 
дг­ЄжЁп пў«пҐвбп ЎҐбЄ®­Ґз­® ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®©.
Соседние файлы в папке Введение в аналитическую геометрию