Скачиваний:
75
Добавлен:
24.04.2014
Размер:
5.92 Кб
Скачать

\vspace{0.5in}

\noindent ‹…Љ–€џ 2.3. Љ ­®­ЁзҐбЄЁҐ Ё Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁҐ га ў­Ґ­Ёп
Їаאַ© ў Їа®бва ­б⢥. “а ў­Ґ­ЁҐ Їаאַ©, Їа®е®¤п饩 зҐаҐ§ ¤ўҐ
§ ¤ ­­лҐ в®зЄЁ. ЋЎйЁҐ га ў­Ґ­Ёп Їаאַ© ў Їа®бва ­б⢥, ЇаЁўҐ¤Ґ­ЁҐ
Є Є ­®­ЁзҐбЄ®¬г ўЁ¤г. “Ј®« ¬Ґ¦¤г Їаאַ© Ё Ї«®бЄ®бвмо, ¬Ґ¦¤г ¤ўг¬п
Їап¬л¬Ё.

Љ Є Ё ЇаҐ¦¤Ґ Ўг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® ў Їа®бва ­б⢥ $\RR^3$ ўлЎа ­
бв ­¤ ав­л© Ў §Ёб Ё $(x,y,z)$ ®§­ з Ґв Є®®а¤Ё­ в­го § ЇЁбм
ўҐЄв®а®ў ў н⮬ Їа®бва ­б⢥.

Џ®¤ «Ё­ЁҐ© ў $\RR^3$ Ўг¤Ґ¬ Ї®­Ё¬ вм ЇҐаҐбҐзҐ­ЁҐ ¤ўге Ї®ўҐае­®б⥩,
§ ¤ ­­ле ў н⮬ Їа®бва ­б⢥ (ЇаЁ Ї®¬®йЁ га ў­Ґ­Ё© Ё«Ё
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ¬ бЇ®б®Ў®¬). ЏаЁ н⮬, Є Є Ё ЇаҐ¦¤Ґ, ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґвбп,
зв® нв® ЇҐаҐбҐзҐ­ЁҐ пў«пҐвбп "бгйҐб⢥­­л¬", в.Ґ. ­Ґ ᮤҐа¦Ёв
§­ зЁвҐ«м­ле "ЄгбЄ®ў" Ї®ўҐае­®б⥩. ‚ з бв­®бвЁ, Ґб«Ё ў Є зҐб⢥
¤ўге Ї®ўҐае­®б⥩ ўлЎа вм ®¤­г Ё вг ¦Ґ Ї®ўҐае­®бвм, в® ў
ЇҐаҐбҐзҐ­ЁЁ Ї®«гзЁвбп ®­  ¦Ґ Ё Ї®«гзЁвбп, -- нв® Ї®ўҐае­®бвм,   ­Ґ
«Ё­Ёп.

1. „ў  га ў­Ґ­Ёп
\begin{equation}
  \begin{cases}
    x^2+y^2+z^2-1=0,\\
    (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2-14=0
  \end{cases}
\end{equation} б®ў¬Ґбв­® ®ЇаҐ¤Ґ«пов ®Єаг¦­®бвм (Є Є
ЇҐаҐбҐзҐ­ЁҐ ¤ўге бдҐа). „агЈЁ¬, нЄўЁў «Ґ­в­л¬, бЇ®б®Ў®¬ § ЇЁб вм
нвг бЁб⥬г га ў­Ґ­Ё© ¬®¦­® в Є
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    x^2+y^2+z^2-1=0,\\
    2x+4y+6z-1=0.
  \end{cases}
\end{equation*}
‚ла ¦ п Ё§ ўв®а®Ј® га ў­Ґ­Ёп, ­ ЇаЁ¬Ґа, ЇҐаҐ¬Ґ­­го $z$ Ё ¤Ґ« п
Ї®¤бв ­®ўЄг ў ЇҐаў®Ґ га ў­Ґ­Ёп, Ї®«гзЁ¬
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    x^2+y^2+(1/6-x/3-2y/3)^2-1=0,\\
    z=1/6-x/3-2y/3.
  \end{cases}
\end{equation*}
‚ н⮬ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁЁ Є ЇҐаў®¬г га ў­Ґ­Ёо ¬®¦­® ®в­®бЁвмбп Є Є Є
га ў­Ґ­Ёо «Ё­ЁЁ (н««ЁЇб ) ­  Ї«®бЄ®бвЁ $Oxy$. ќв  «Ё­Ёп пў«пҐвбп
Їа®ҐЄжЁҐ© ®Єаг¦­®бвЁ (1) ­  $Oxy$. ‘ ¬  ®Єаг¦­®бвм (1) а бЇ®«®¦Ґ­ 
ў Ї«®бЄ®бвЁ, ®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬®© ўв®ал¬ га ў­Ґ­ЁҐ¬. Ља®¬Ґ в®Ј®, ЇҐаў®Ґ
га ў­Ґ­ЁҐ -- нв® ў в® ¦Ґ ўаҐ¬п га ў­Ґ­ЁҐ жЁ«Ё­¤аЁзҐбЄ®©
Ї®ўҐае­®бвЁ.

\noindent {\it Џап¬ п ў Їа®бва ­б⢥.}

Џап¬лҐ ў Їа®бва ­б⢥ ®Ўлз­® § ¤ ов Є Є ЇҐаҐбҐзҐ­ЁҐ Ї ал
Ї«®бЄ®б⥩ ў Їа®бва ­б⢥. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, бЁб⥬®© га ў­Ґ­Ё©,
§ ¤ о饩 Їап¬го ў Їа®бва ­б⢥, пў«пҐвбп
\begin{equation}
  \begin{cases}
    A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\
    A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,
  \end{cases}
\end{equation}
$A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$, $A_2$, $B_2$, $C_2$, $D_2$ --
дЁЄбЁа®ў ­­лҐ зЁб« , $A_1^2+B_1^2+C_1^2\ne 0$,
$A_2^2+B_2^2+C_2^2\ne 0$. —в®Ўл ўлЇЁб ­­лҐ га ў­Ґ­Ёп ®ЇаҐ¤Ґ«п«Ё
а §­лҐ Ї«®бЄ®бвЁ, ў ¤ ­­®¬ б«гз Ґ ­Ґ®Ўе®¤Ё¬®, зв®Ўл ®¤­® га ў­Ґ­ЁҐ
­Ґ бў®¤Ё«®бм Є ¤агЈ®¬г. €­л¬Ё б«®ў ¬Ё, ­Ґ®Ўе®¤Ё¬®, зв®Ўл ўҐЄв®а 
$(A_1,B_1,C_1,D_1)$ Ё $(A_2,B_2,C_2,D_2)$ ­Ґ Ўл«Ё Ўл
Їа®Ї®ажЁ®­ «м­л. ЏаЁ ўлЇ®«­Ґ­ЁЁ нв®Ј® гб«®ўЁп ўлЇЁб ­­лҐ га ў­Ґ­Ёп
®ЇаҐ¤Ґ«пов ¤ўҐ а §­лҐ Ї«®бЄ®бвЁ ў Їа®бва ­б⢥. —в®Ўл ®­Ё Ё¬Ґ«Ё
®ЎйЁҐ в®зЄЁ, ­Ґ®Ўе®¤Ё¬®, зв®Ўл ®­Ё ­Ґ Ўл«Ё Ўл Ї а ««Ґ«м­л, в.Ґ.
зв®Ўл Ёе ­®а¬ «Ё $(A_1,B_1,C_1)$ Ё $(A_2,B_2,C_2)$ ­Ґ Ўл«Ё Ўл
Їа®Ї®ажЁ®­ «м­л. ‚ н⮬ б«гз Ґ, Їа®Ё§ў®¤п ⮦¤Ґб⢥­­лҐ
ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёп ¬®¦­® Ї®«гзЁвм а §«Ёз­лҐ д®а¬л бЁб⥬л га ў­Ґ­Ё©,
§ ¤ о饩 нвг Їап¬го. …б«Ё $(x_0,y_0,z_0)$  -- Їа®Ё§ў®«м­ п в®зЄ ,
а бЇ®«®¦Ґ­­ п ­  Їаאַ©, в® (2) ¬®¦Ґв Ўлвм § ЇЁб ­  ў ўЁ¤Ґ
\begin{equation}
  \begin{cases}
    A_1(x-x_0)+B_1(y-y_0)+C_1(z-z_0)=0,\\
    A_2(x-x_0)+B_2(y-y_0)+C_2(z-z_0)=0.
  \end{cases}
\end{equation}
ЏаҐ¤бв ў«пп (3) ў ўЁ¤Ґ бЄ «па­ле Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ё©, ­ е®¤Ё¬, зв® ®ЎйҐҐ
аҐиҐ­ЁҐ нв®© бЁб⥬л б®бв®Ёв Ё§ ­ Ў®а  ўҐЄв®а®ў, ЇҐаЇҐ­¤ЁЄг«па­ле
ўҐЄв®а ¬ $\bar{a}=(A_1,B_1,C_1)$ Ё $\bar{b}=(A_2,B_2,C_2)$.
ЋЎ®§­ зЁ¬ $(l,m,n)=[\bar{a},\bar{b}]$ -- Є®®а¤Ё­ вл ўҐЄв®а­®Ј®
Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп. Љ ¦¤л© Ё§ ­Ґ­г«Ґўле ўҐЄв®а®ў, Їа®Ї®ажЁ®­ «м­ле
ўҐЄв®аг $(l,m,n)$ ЇаЁ­пв® ­ §лў вм ­ Їа ў«пойЁ¬ ўҐЄв®а®¬ Їаאַ©
(2). ‘®Ј« б­® бЄ § ­­®¬г, (2) § ЇЁблў Ґвбп ў Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®¬ ўЁ¤Ґ:
\begin{equation}
  \begin{cases}
    x=x_0+lt,\\
    y=y_0+mt,\\
    z=z_0+nt,
  \end{cases}
\qquad t\in\RR,\end{equation} -- Їап¬ п, Їа®е®¤пй п зҐаҐ§
$(x_0,y_0,z_0)$ ў ­ Їа ў«Ґ­ЁЁ $(l,m,n)$. €­®Ј¤  Ё§ нв®© § ЇЁбЁ
ЁбЄ«оз ов $t$ Ё ЁбЇ®«м§гов в Єго, ­ §лў Ґ¬го Є ­®­ЁзҐбЄ®©, д®а¬г
§ ЇЁбЁ: $$\frac{x-x_0}l=\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n.$$ ќвг д®а¬г Ё
д®а¬г (4) 㤮Ў­® ЇаЁ¬Ґ­пвм ¤«п Ї®ЁбЄ  Їаאַ©, Їа®е®¤п饩 зҐаҐ§ ¤ўҐ
§ ¤ ­­лҐ в®зЄЁ $(x_0,y_0,z_0)$ Ё $(x_1,y_1,z_1)$ Ё§ $\RR^3$. ‚
н⮬ б«гз Ґ ў Є зҐб⢥ $(l,m,n)$ ¬®¦­® ўлЎа вм ўҐЄв®а
$(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)$.

Џ®  ­ «®ЈЁЁ б Їап¬л¬Ё ­  Ї«®бЄ®бвЁ, гЈ«®¬ (  в®з­ҐҐ Ї а®© гЈ«®ў)
¬Ґ¦¤г ¤ўг¬п Їап¬л¬Ё, ­ §лў ов Ї аг гЈ«®ў, Є®в®аго ®Ўа §гов ¬Ґ¦¤г
б®Ў®© ўбҐў®§¬®¦­лҐ ­ Їа ў«пойЁҐ нвЁе Їап¬ле. €­®Ј¤  гЈ«®¬ ¬Ґ¦¤г
Їап¬л¬Ё бзЁв ов ¬Ґ­миЁ© Ё§ нвЁе ¤ўге гЈ«®ў.

ЋЎбг¤Ё¬ ў®Їа®б ® ⮬, Є Є ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм гЈ®« (Є Є ўбҐЈ¤ , Ї аг гЈ«®ў)
¬Ґ¦¤г Їаאַ© Ё Ї«®бЄ®бвмо ў Їа®бва ­б⢥ $\RR^3$. ‡ ¤ ў п Їап¬го,
Ўг¤Ґ¬ Ё¬Ґвм ¤Ґ«® б ҐҐ ­ Їа ў«пойЁ¬Ё  $(l,m,n)$, § ¤ ў п Ї«®бЄ®бвм,
Ўг¤Ґ¬ Ё¬Ґвм ¤Ґ«® б ҐҐ ­®а¬ «п¬Ё $(A,B,C)$. €бЇ®«м§гп Ї®­пвЁҐ
бЄ «па­®Ј® Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп «ҐЈЄ® Ї®¤бзЁв вм ¬®¤г«м $b$ Є®бЁ­гб  гЈ« 
¬Ґ¦¤г нвЁ¬Ё ўҐЄв®а ¬Ё. Џ а®© гЈ«®ў ¦Ґ ¬Ґ¦¤г Їаאַ© Ё Ї«®бЄ®бвмо
ҐбвҐб⢥­­® бзЁв вм гЈ«л $\alpha$ ў Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $[0,\pi)$,
㤮ў«Ґвў®апойЁҐ а ўҐ­бвўг $\sin \alpha=b$ (Ё«Ё ¬Ґ­миЁ© Ё§ ­Ёе,
в.Ґ. «Ґ¦ йЁ© ў Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $[0,\pi/2]$).

{\it “Їа ¦­Ґ­Ёп.}

\noindent 1. Љ ЄЁҐ ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁҐ ®Ўа §л ў Їа®бва ­б⢥
ᮮ⢥вбвўгов га ў­Ґ­Ёп¬

 ) $xy=0$;

Ў) $z^2=2x$;

ў) $xz=yz$;

Ј) $y^2+y-2=0$;

¤) $y=1$, $z=-2$;

Ґ) $x^2=0$.

\noindent 2. ЋЇаҐ¤Ґ«Ёвм ¤«Ё­г ЇҐаЇҐ­¤ЁЄг«па , ®Їг饭­®Ј® Ё§ ­ з « 
Є®®а¤Ё­ в ­  Ї«®бЄ®бвм $x-y+z\sqrt{2}-8=0$, Ё гЈ«л, ®Ўа §®ў ­­лҐ
нвЁ¬ ЇҐаЇҐ­¤ЁЄг«п஬ б ®бп¬Ё Є®®а¤Ё­ в.

\noindent 3. Ќ ЇЁб вм га ў­Ґ­ЁҐ Ї«®бЄ®бвЁ, Ї а ««Ґ«м­®© ®бЁ $Oz$ Ё
®вᥪ о饩 ­  ®бпе $Ox$ Ё $Oy$ ®в१ЄЁ ¤«Ё­л 2 Ё 3 ᮮ⢥вб⢥­­®.

\noindent 4. Ќ ЇЁб вм га ў­Ґ­ЁҐ Ї«®бЄ®бвЁ, ЇҐаЇҐ­¤ЁЄг«па­®© $Oz$ Ё
Їа®е®¤п饩 зҐаҐ§ в®зЄг (1,2,3).

\noindent 5. Љ ЄЁҐ гЈ«л ®Ўа §гҐв Їап¬ п
$\frac{x-1}1=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{-\sqrt{2}}$ б ®бп¬Ё
Є®®а¤Ё­ в? ‘ Є®®а¤Ё­ в­л¬Ё Ї«®бЄ®бвп¬Ё?

\noindent 6. Ќ ЇЁб вм га ў­Ґ­ЁҐ бдҐал б 業в஬ ў в®зЄҐ (2,-2,1),
Їа®е®¤п饩 зҐаҐ§ ­ з «® Є®®а¤Ё­ в.
Соседние файлы в папке Введение в аналитическую геометрию