Добавил:
Studfiles
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебники, методички / Введение в аналитическую геометрию / s2lla3
.tex
\vspace{0.5in}
\noindent ‹…Љ–€џ 2.3. Љ ®ЁзҐбЄЁҐ Ё Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁҐ га ўҐЁп
Їаאַ© ў Їа®бва б⢥. “а ўҐЁҐ Їаאַ©, Їа®е®¤п饩 зҐаҐ§ ¤ўҐ
§ ¤ лҐ в®зЄЁ. ЋЎйЁҐ га ўҐЁп Їаאַ© ў Їа®бва б⢥, ЇаЁўҐ¤ҐЁҐ
Є Є ®ЁзҐбЄ®¬г ўЁ¤г. “Ј®« ¬Ґ¦¤г Їаאַ© Ё Ї«®бЄ®бвмо, ¬Ґ¦¤г ¤ўг¬п
Їап¬л¬Ё.
Љ Є Ё ЇаҐ¦¤Ґ Ўг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® ў Їа®бва б⢥ $\RR^3$ ўлЎа
бв ¤ авл© Ў §Ёб Ё $(x,y,z)$ ®§ з Ґв Є®®а¤Ё вго § ЇЁбм
ўҐЄв®а®ў ў н⮬ Їа®бва б⢥.
Џ®¤ «ЁЁҐ© ў $\RR^3$ Ўг¤Ґ¬ Ї®Ё¬ вм ЇҐаҐбҐзҐЁҐ ¤ўге Ї®ўҐае®б⥩,
§ ¤ ле ў н⮬ Їа®бва б⢥ (ЇаЁ Ї®¬®йЁ га ўҐЁ© Ё«Ё
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ¬ бЇ®б®Ў®¬). ЏаЁ н⮬, Є Є Ё ЇаҐ¦¤Ґ, ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґвбп,
зв® нв® ЇҐаҐбҐзҐЁҐ пў«пҐвбп "бгйҐб⢥л¬", в.Ґ. Ґ ᮤҐа¦Ёв
§ зЁвҐ«мле "ЄгбЄ®ў" Ї®ўҐае®б⥩. ‚ з бв®бвЁ, Ґб«Ё ў Є зҐб⢥
¤ўге Ї®ўҐае®б⥩ ўлЎа вм ®¤г Ё вг ¦Ґ Ї®ўҐае®бвм, в® ў
ЇҐаҐбҐзҐЁЁ Ї®«гзЁвбп ® ¦Ґ Ё Ї®«гзЁвбп, -- нв® Ї®ўҐае®бвм, Ґ
«ЁЁп.
1. „ў га ўҐЁп
\begin{equation}
\begin{cases}
x^2+y^2+z^2-1=0,\\
(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2-14=0
\end{cases}
\end{equation} б®ў¬Ґбв® ®ЇаҐ¤Ґ«пов ®Єа㦮бвм (Є Є
ЇҐаҐбҐзҐЁҐ ¤ўге бдҐа). „агЈЁ¬, нЄўЁў «Ґвл¬, бЇ®б®Ў®¬ § ЇЁб вм
нвг бЁб⥬г га ўҐЁ© ¬®¦® в Є
\begin{equation*}
\begin{cases}
x^2+y^2+z^2-1=0,\\
2x+4y+6z-1=0.
\end{cases}
\end{equation*}
‚ла ¦ п Ё§ ўв®а®Ј® га ўҐЁп, ЇаЁ¬Ґа, ЇҐаҐ¬Ґго $z$ Ё ¤Ґ« п
Ї®¤бв ®ўЄг ў ЇҐаў®Ґ га ўҐЁп, Ї®«гзЁ¬
\begin{equation*}
\begin{cases}
x^2+y^2+(1/6-x/3-2y/3)^2-1=0,\\
z=1/6-x/3-2y/3.
\end{cases}
\end{equation*}
‚ н⮬ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁЁ Є ЇҐаў®¬г га ўҐЁо ¬®¦® ®в®бЁвмбп Є Є Є
га ўҐЁо «ЁЁЁ (н««ЁЇб ) Ї«®бЄ®бвЁ $Oxy$. ќв «ЁЁп пў«пҐвбп
Їа®ҐЄжЁҐ© ®Єа㦮бвЁ (1) $Oxy$. ‘ ¬ ®Єа㦮бвм (1) а бЇ®«®¦Ґ
ў Ї«®бЄ®бвЁ, ®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬®© ўв®ал¬ га ўҐЁҐ¬. Ља®¬Ґ в®Ј®, ЇҐаў®Ґ
га ўҐЁҐ -- нв® ў в® ¦Ґ ўаҐ¬п га ўҐЁҐ жЁ«Ё¤аЁзҐбЄ®©
Ї®ўҐае®бвЁ.
\noindent {\it Џап¬ п ў Їа®бва б⢥.}
Џап¬лҐ ў Їа®бва б⢥ ®Ўлз® § ¤ ов Є Є ЇҐаҐбҐзҐЁҐ Ї ал
Ї«®бЄ®б⥩ ў Їа®бва б⢥. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, бЁб⥬®© га ўҐЁ©,
§ ¤ о饩 Їап¬го ў Їа®бва б⢥, пў«пҐвбп
\begin{equation}
\begin{cases}
A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\
A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,
\end{cases}
\end{equation}
$A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$, $A_2$, $B_2$, $C_2$, $D_2$ --
дЁЄбЁа®ў лҐ зЁб« , $A_1^2+B_1^2+C_1^2\ne 0$,
$A_2^2+B_2^2+C_2^2\ne 0$. —в®Ўл ўлЇЁб лҐ га ўҐЁп ®ЇаҐ¤Ґ«п«Ё
а §лҐ Ї«®бЄ®бвЁ, ў ¤ ®¬ б«гз Ґ Ґ®Ўе®¤Ё¬®, зв®Ўл ®¤® га ўҐЁҐ
Ґ бў®¤Ё«®бм Є ¤агЈ®¬г. €л¬Ё б«®ў ¬Ё, Ґ®Ўе®¤Ё¬®, зв®Ўл ўҐЄв®а
$(A_1,B_1,C_1,D_1)$ Ё $(A_2,B_2,C_2,D_2)$ Ґ Ўл«Ё Ўл
Їа®Ї®ажЁ® «мл. ЏаЁ ўлЇ®«ҐЁЁ нв®Ј® гб«®ўЁп ўлЇЁб лҐ га ўҐЁп
®ЇаҐ¤Ґ«пов ¤ўҐ а §лҐ Ї«®бЄ®бвЁ ў Їа®бва б⢥. —в®Ўл ®Ё Ё¬Ґ«Ё
®ЎйЁҐ в®зЄЁ, Ґ®Ўе®¤Ё¬®, зв®Ўл ®Ё Ґ Ўл«Ё Ўл Ї а ««Ґ«мл, в.Ґ.
зв®Ўл Ёе ®а¬ «Ё $(A_1,B_1,C_1)$ Ё $(A_2,B_2,C_2)$ Ґ Ўл«Ё Ўл
Їа®Ї®ажЁ® «мл. ‚ н⮬ б«гз Ґ, Їа®Ё§ў®¤п ⮦¤Ґб⢥лҐ
ЇаҐ®Ўа §®ў Ёп ¬®¦® Ї®«гзЁвм а §«ЁзлҐ д®а¬л бЁб⥬л га ўҐЁ©,
§ ¤ о饩 нвг Їап¬го. …б«Ё $(x_0,y_0,z_0)$ -- Їа®Ё§ў®«м п в®зЄ ,
а бЇ®«®¦Ґ п Їаאַ©, в® (2) ¬®¦Ґв Ўлвм § ЇЁб ў ўЁ¤Ґ
\begin{equation}
\begin{cases}
A_1(x-x_0)+B_1(y-y_0)+C_1(z-z_0)=0,\\
A_2(x-x_0)+B_2(y-y_0)+C_2(z-z_0)=0.
\end{cases}
\end{equation}
ЏаҐ¤бв ў«пп (3) ў ўЁ¤Ґ бЄ «пале Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁ©, 室Ё¬, зв® ®ЎйҐҐ
аҐиҐЁҐ нв®© бЁб⥬л б®бв®Ёв Ё§ Ў®а ўҐЄв®а®ў, ЇҐаЇҐ¤ЁЄг«пале
ўҐЄв®а ¬ $\bar{a}=(A_1,B_1,C_1)$ Ё $\bar{b}=(A_2,B_2,C_2)$.
ЋЎ®§ зЁ¬ $(l,m,n)=[\bar{a},\bar{b}]$ -- Є®®а¤Ё вл ўҐЄв®а®Ј®
Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁп. Љ ¦¤л© Ё§ Ґг«Ґўле ўҐЄв®а®ў, Їа®Ї®ажЁ® «мле
ўҐЄв®аг $(l,m,n)$ ЇаЁпв® §лў вм Їа ў«пойЁ¬ ўҐЄв®а®¬ Їаאַ©
(2). ‘®Ј« б® бЄ § ®¬г, (2) § ЇЁблў Ґвбп ў Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®¬ ўЁ¤Ґ:
\begin{equation}
\begin{cases}
x=x_0+lt,\\
y=y_0+mt,\\
z=z_0+nt,
\end{cases}
\qquad t\in\RR,\end{equation} -- Їап¬ п, Їа®е®¤пй п зҐаҐ§
$(x_0,y_0,z_0)$ ў Їа ў«ҐЁЁ $(l,m,n)$. €®Ј¤ Ё§ нв®© § ЇЁбЁ
ЁбЄ«оз ов $t$ Ё ЁбЇ®«м§гов в Єго, §лў Ґ¬го Є ®ЁзҐбЄ®©, д®а¬г
§ ЇЁбЁ: $$\frac{x-x_0}l=\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n.$$ ќвг д®а¬г Ё
д®а¬г (4) 㤮Ў® ЇаЁ¬Ґпвм ¤«п Ї®ЁбЄ Їаאַ©, Їа®е®¤п饩 зҐаҐ§ ¤ўҐ
§ ¤ лҐ в®зЄЁ $(x_0,y_0,z_0)$ Ё $(x_1,y_1,z_1)$ Ё§ $\RR^3$. ‚
н⮬ б«гз Ґ ў Є зҐб⢥ $(l,m,n)$ ¬®¦® ўлЎа вм ўҐЄв®а
$(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)$.
Џ® «®ЈЁЁ б Їап¬л¬Ё Ї«®бЄ®бвЁ, гЈ«®¬ ( в®зҐҐ Ї а®© гЈ«®ў)
¬Ґ¦¤г ¤ўг¬п Їап¬л¬Ё, §лў ов Ї аг гЈ«®ў, Є®в®аго ®Ўа §гов ¬Ґ¦¤г
б®Ў®© ўбҐў®§¬®¦лҐ Їа ў«пойЁҐ нвЁе Їап¬ле. €®Ј¤ гЈ«®¬ ¬Ґ¦¤г
Їап¬л¬Ё бзЁв ов ¬ҐмиЁ© Ё§ нвЁе ¤ўге гЈ«®ў.
ЋЎбг¤Ё¬ ў®Їа®б ® ⮬, Є Є ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм гЈ®« (Є Є ўбҐЈ¤ , Ї аг гЈ«®ў)
¬Ґ¦¤г Їаאַ© Ё Ї«®бЄ®бвмо ў Їа®бва б⢥ $\RR^3$. ‡ ¤ ў п Їап¬го,
Ўг¤Ґ¬ Ё¬Ґвм ¤Ґ«® б ҐҐ Їа ў«пойЁ¬Ё $(l,m,n)$, § ¤ ў п Ї«®бЄ®бвм,
Ўг¤Ґ¬ Ё¬Ґвм ¤Ґ«® б ҐҐ ®а¬ «п¬Ё $(A,B,C)$. €бЇ®«м§гп Ї®пвЁҐ
бЄ «па®Ј® Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁп «ҐЈЄ® Ї®¤бзЁв вм ¬®¤г«м $b$ Є®бЁгб гЈ«
¬Ґ¦¤г нвЁ¬Ё ўҐЄв®а ¬Ё. Џ а®© гЈ«®ў ¦Ґ ¬Ґ¦¤г Їаאַ© Ё Ї«®бЄ®бвмо
ҐбвҐб⢥® бзЁв вм гЈ«л $\alpha$ ў Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $[0,\pi)$,
㤮ў«Ґвў®апойЁҐ а ўҐбвўг $\sin \alpha=b$ (Ё«Ё ¬ҐмиЁ© Ё§ Ёе,
в.Ґ. «Ґ¦ йЁ© ў Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $[0,\pi/2]$).
{\it “Їа ¦ҐЁп.}
\noindent 1. Љ ЄЁҐ ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁҐ ®Ўа §л ў Їа®бва б⢥
ᮮ⢥вбвўгов га ўҐЁп¬
) $xy=0$;
Ў) $z^2=2x$;
ў) $xz=yz$;
Ј) $y^2+y-2=0$;
¤) $y=1$, $z=-2$;
Ґ) $x^2=0$.
\noindent 2. ЋЇаҐ¤Ґ«Ёвм ¤«Ёг ЇҐаЇҐ¤ЁЄг«па , ®Їг饮Ј® Ё§ з «
Є®®а¤Ё в Ї«®бЄ®бвм $x-y+z\sqrt{2}-8=0$, Ё гЈ«л, ®Ўа §®ў лҐ
нвЁ¬ ЇҐаЇҐ¤ЁЄг«п஬ б ®бп¬Ё Є®®а¤Ё в.
\noindent 3. Ќ ЇЁб вм га ўҐЁҐ Ї«®бЄ®бвЁ, Ї а ««Ґ«м®© ®бЁ $Oz$ Ё
®вᥪ о饩 ®бпе $Ox$ Ё $Oy$ ®в१ЄЁ ¤«Ёл 2 Ё 3 ᮮ⢥вб⢥®.
\noindent 4. Ќ ЇЁб вм га ўҐЁҐ Ї«®бЄ®бвЁ, ЇҐаЇҐ¤ЁЄг«па®© $Oz$ Ё
Їа®е®¤п饩 зҐаҐ§ в®зЄг (1,2,3).
\noindent 5. Љ ЄЁҐ гЈ«л ®Ўа §гҐв Їап¬ п
$\frac{x-1}1=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{-\sqrt{2}}$ б ®бп¬Ё
Є®®а¤Ё в? ‘ Є®®а¤Ё вл¬Ё Ї«®бЄ®бвп¬Ё?
\noindent 6. Ќ ЇЁб вм га ўҐЁҐ бдҐал б жҐв஬ ў в®зЄҐ (2,-2,1),
Їа®е®¤п饩 зҐаҐ§ з «® Є®®а¤Ё в.
Соседние файлы в папке Введение в аналитическую геометрию