Добавил:
Studfiles
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебники, методички / Введение в аналитическую геометрию / s2lla5
.tex
\vspace{0.5in}
\noindent ‹…Љ–€џ 2.5. {\it Љў ¤а вЁзлҐ д®а¬л Ё Ёе бўп§м б
бЁ¬¬ҐваЁзл¬Ё ¬ ваЁж ¬Ё. ‘ў®©бвў б®Ўб⢥ле ўҐЄв®а®ў Ё
б®Ўб⢥ле зЁбҐ« бЁ¬¬ҐваЁз®© ¬ ваЁжл. ЏаЁўҐ¤ҐЁҐ Єў ¤а вЁз®©
д®а¬л Є Є ®ЁзҐбЄ®¬г ўЁ¤г.}
Џгбвм $$L[B](\bar z)=B\bar z,\quad \bar{z}\in\RR^n$$ -- ¬ ваЁз®Ґ
ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ «ЁҐ©®Ј® ®в®Ўа ¦ҐЁп $L[B]$ Їа®бва бвў $\RR^n$,
$n\in\NN$, ў ᥡп, бўп§ ®Ґ б ҐЄ®в®ал¬ Ў §Ёб®¬. ЋЎа §®¬
ўҐЄв®а-бв®«Ўж $\bar z$ ЇаЁ н⮬ ®в®Ўа ¦ҐЁЁ пў«пҐвбп
ўҐЄв®а-бв®«ЎҐж $B\bar z$. “¬®¦Ё¬ ҐЈ® б«Ґў ўҐЄв®а-бва®Єг
$\bar{z}^\ast$. ‚ १г«мв ⥠Ї®«гзЁ¬ зЁб«® $\bar{z}^\ast B\bar z$.
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Є ¦¤®¬г ўҐЄв®аг $\bar{z}\in\RR^n$ ¬л ¬®¦Ґ¬
б®Ї®бв ўЁвм зЁб«® $$q(\bar{z})=\bar{z}^\ast B\bar z.$$ Џ®«г祮Ґ
ᮮ⢥вбвўЁҐ $\bar z\to q(\bar z)$ §лў ов Єў ¤а вЁз®© д®а¬®©
ўҐЄв®а е $\bar{z}$. ЏаЁ¬Ґал:
1) $x_1^2$ -- Єў ¤а вЁз п д®а¬ ®¤®Ј® ЇҐаҐ¬Ґ®Ј® (® ¦Ґ
пў«пҐвбп Єў ¤а вЁз®© д®а¬®© «оЎ®Ј® Ў®«м襣® зЁб« ЇҐаҐ¬Ґле),
$B=(1)$,
2) $2x_1^2-x_2^2$ -- Єў ¤а вЁз п д®а¬ ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґле (® ¦Ґ
пў«пҐвбп Єў ¤а вЁз®© д®а¬®© «оЎ®Ј® Ў®«м襣® зЁб« ЇҐаҐ¬Ґле),
$$B=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0& -1\end{pmatrix},$$
3) $x_1^2+x_2^2+3x_1x_2-4x_1x_3$ -- Єў ¤а вЁз п д®а¬ ваҐе
ЇҐаҐ¬Ґле (® ¦Ґ пў«пҐвбп Єў ¤а вЁз®© д®а¬®© «оЎ®Ј® Ў®«м襣®
зЁб« ЇҐаҐ¬Ґле), $$B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\3& 1 & 0\\-4&0& 0
\end{pmatrix},$$
4) $2x_1x_2+x_2x_3-x_1x_3+x_4^2$ -- Єў ¤а вЁз п д®а¬ зҐвлаҐе
ЇҐаҐ¬Ґле (® ¦Ґ пў«пҐвбп Єў ¤а вЁз®© д®а¬®© «оЎ®Ј® Ў®«м襣®
зЁб« ЇҐаҐ¬Ґле), $$B=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\2&0&0&0\\-1&1&0&0
\\0&0&0&1\end{pmatrix}.$$
ЏаҐ¤бв ў«ҐЁҐ «оЎ®© Єў ¤а вЁз®© д®а¬л ў ўЁ¤Ґ
$q(\bar{z})=\bar{z}^\ast B\bar z$ ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап Ґ®¤®§ з®:
¬®¦® ЇаЁўҐбвЁ ¬®Ј® ЇаЁ¬Ґа®ў ¬ ваЁж $T$, ¤«п Є®в®але
$\bar{z}^\ast B\bar z=\bar{z}^\ast T\bar z$. ’ Є ў ЇаЁ¬ҐаҐ 3
$q(\bar{z})=x_1^2+x_2^2+3x_1x_2-4x_1x_3=x_1^2+x_2^2+3/2x_1x_2+
3/2x_2x_1-2x_1x_3-2x_3x_1$ Ё ў Є зҐб⢥ ¬ ваЁжл $T$ ¬®¦® ўлЎа вм
$$T=\begin{pmatrix}1 & 3/2 & -2\\3/2& 1 & 0\\-2&0& 0
\end{pmatrix}.$$ Ђ «®ЈЁз®, ¤«п ЇаЁ¬Ґа 4 $q(\bar{z})=
x_1x_2+x_2x_1+1/2x_2x_3+1/2x_3x_2-1/2x_1x_3-1/2x_3x_1+x_4^2$,
$$T=\begin{pmatrix}0&1&-1/2&0\\1&0&1/2&0\\-1/2&1/2&0&0
\\0&0&0&1\end{pmatrix}.$$
‘।Ё ўбҐе в ЄЁе ЇаҐ¤бв ў«ҐЁ© ®¤® ЁЈа Ґв ®б®Ўго а®«м. ќв®
ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ, ў Є®в®а®¬ ¬ ваЁж $T$ пў«пҐвбп бЁ¬¬ҐваЁз®©.
\noindent{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ}. Њ ваЁж $T$ §лў Ґвбп бЁ¬¬ҐваЁз®©,
Ґб«Ё $T=T^{\ast}$.
\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬ 1}. ‚бпЄ п Єў ¤а вЁз п д®а¬ $q$ ¬®¦Ґв Ўлвм
§ ¤ ў ўЁ¤Ґ $q(\bar{z})=\bar{z}^\ast T\bar z$ б бЁ¬¬ҐваЁз®©
¬ ваЁжҐ© $T$; ЇаЁ н⮬ ¬ ваЁж $T$ Ї® д®а¬Ґ $q$ ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп
Ґ¤ЁбвўҐл¬ ®Ўа §®¬.
$\vartriangleleft:$ Џгбвм $q(\bar{z})=\bar{z}^\ast B\bar z$. ’®Ј¤
$$q(\bar{z})=(q(\bar{z}))^\ast=(\bar{z}^\ast B\bar z)^\ast=
\bar{z}^\ast B^\ast\bar z.$$ Џ®н⮬г $$q(\bar{z})=\frac 12(
q(\bar{z})+(q(\bar{z}))^\ast)=\frac 12(\bar{z}^\ast B\bar z+
\bar{z}^\ast B^\ast\bar z)=\bar{z}^\ast\cdot (B+B^\ast)/2\cdot
\bar z.$$ ‚®§м¬Ґ¬ $T=(B+B^{\ast})/2$. ’®Ј¤ $T=T^{\ast}$, зв®
¤®Є §лў Ґв ЇҐаўго Ї®«®ўЁг ⥮६л. ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬
$q(\bar{z})=\bar{z}^\ast U\bar z$ ҐйҐ ®¤® ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ д®а¬л $q$
б бЁ¬¬ҐваЁз®© ¬ ваЁжҐ© $U$. ’®Ј¤ $$0=(\bar{z}_1+\bar{z}_2)^\ast
\cdot (T-U)\cdot (\bar{z}_1+\bar{z}_2)=\bar{z}_2^\ast \cdot
(T-U)\cdot \bar{z}_1+\bar{z}_1^\ast \cdot (T-U)\cdot
\bar{z}_2=2\bar{z}_1^\ast \cdot (T-U)\cdot \bar{z}_2$$ Ё§-§
бЁ¬¬ҐваЁЁ ¬ ваЁжл $T-U$. …б«Ё ў н⮬ а ўҐб⢥ ў§пвм $\bar{z}_1=
(T-U)\cdot \bar{z}_2$, в® Ї®«гзЁвбп, зв® $(T-U)\cdot \bar{z}_2$ --
г«Ґў®© ўҐЄв®а-бв®«ЎҐж. Џ®н⮬г $T\cdot \bar{z}_2=U\cdot
\bar{z}_2$ ЇаЁ $\bar{z}_2\in\RR^n$. $\vartriangleright$\\
\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬ 2}. ‘®ЎбвўҐлҐ зЁб« бЁ¬¬ҐваЁз®© ¬ ваЁжл
$B$ пў«повбп ¤Ґ©б⢨⥫мл¬Ё зЁб« ¬Ё.\\ $\vartriangleleft:$ ЌҐ
ў¤ ў пбм ў Ї®¤а®Ў®б⨠ॠ«Ё§ жЁЁ, «Ёим ¬ҐвЁ¬ бЇ®б®Ў, Є®в®ал¬
нв® г⢥তҐЁҐ ¬®¦Ґв Ўлвм гбв ®ў«Ґ®. ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, $a+ib$ --
Є®¬Ї«ҐЄб®Ґ б®Ўб⢥®Ґ зЁб«® ¬ ваЁжл $B$, $a$ Ё $b$ -- ҐЈ®
¤Ґ©б⢨⥫м п Ё ¬Ё¬ п з бвЁ, $\bar z_1+i\bar z_2$ -- б®Ўб⢥л©
ўҐЄв®а, ᮮ⢥вбвўгойЁ© $a+ib$, $\bar z_1$ Ё $\bar z_2$ -- ҐЈ®
¤Ґ©б⢨⥫м п Ё ¬Ё¬ п Є®¬Ї®Ґвл: $$B(\bar z_1+i\bar z_2)=
(a+ib)(\bar z_1+i\bar z_2).$$ ’®Ј¤ $B\bar z_1=a\bar z_1-b\bar
z_2$, $B\bar z_2=b\bar z_1+a\bar z_2$, $$B(\lambda\bar z_1+
\mu\bar z_2)=(a\lambda+b\mu)\bar z_1+(-b\lambda+a\mu)\bar
z_2.\eqno (1)$$ —Ёб« $\lambda$ Ё $\mu$ ¬®¦® ў®бЇаЁЁ¬ вм, Є Є
Є®®а¤Ё вл ўҐЄв®а®ў ў Ї«®бЄ®бвЁ, ᮤҐа¦ 饩 ¤ў ўҐЄв®а -- $\bar
z_1$ Ё $\bar z_2$. ЏаЁ н⮬ $\bar z_1$ Ё $\bar z_2$ -- ҐҐ Ў §Ёб.
„Ґ©бвўЁҐ ®ЇҐа в®а $L[B]$, б®Ј« б® (1), б®бв®Ёв ў Ё§¬ҐҐЁЁ нвЁе
Є®®а¤Ё в Ї® Їа ўЁ«г $$\begin{pmatrix}\lambda \\
\mu\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}a & b \\ -b&
a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda \\ \mu\end{pmatrix}.$$ ’ Є
Є Є $B$ -- бЁ¬¬ҐваЁз п ¬ ваЁж , в® Ё ¬ ваЁж $\begin{pmatrix}a &
b \\ -b& a\end{pmatrix}$ ¤®«¦ Ўлвм бЁ¬¬ҐваЁз®©, в. Ґ. $b=0$.
$\vartriangleright$
\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬ 3}. ‘®ЎбвўҐлҐ ўҐЄв®а , ᮮ⢥вбвўгойЁҐ
а §«Ёзл¬ б®ЎбвўҐл¬ § зҐЁп¬ бЁ¬¬ҐваЁз®© ¬ ваЁжл $B$ ў§ Ё¬®
®ав®Ј® «мл.\\ $\vartriangleleft:$ Џгбвм $\lambda_1$, $\lambda_2$
-- 2 а §«Ёзле б®Ўб⢥ле § 票п $B$, $\bar z_1$, $\bar z_2$ --
Ё¬ ᮮ⢥вбвўгойЁҐ б®ЎбвўҐлҐ ўҐЄв®а . ’®Ј¤ $$\lambda_2(\bar
z_1, \bar z_2)=\lambda_2\bar z_1^\ast\cdot\bar z_2=\bar
z_1^\ast\cdot B\cdot\bar z_2=(\bar z_1^\ast\cdot B\cdot\bar
z_2)^\ast=\bar z_2^\ast\cdot B\cdot\bar z_1=\lambda_1(\bar z_2,
\bar z_1).$$ ‘а ўЁў п з «® Ё Є®Ґж Ї®«г祮Ј® а ўҐбвў ,
§ Є«оз Ґ¬, зв® $(\bar z_1, \bar z_2)=0$. $\vartriangleright$
Њ®¦® Ї®Є § вм, зв® бЇа ўҐ¤«Ёў \\ {\bf ’Ґ®аҐ¬ 4}. „«п
бЁ¬¬ҐваЁз®© ¬ ваЁжл $B$ Ї®ап¤Є $n$ Ё¬ҐҐвбп Ў®а Ё§ $n$ Ї®Ї а®
®ав®Ј® «мле б®Ўб⢥ле ўҐЄв®а®ў б ўҐйҐб⢥묨
е а ЄвҐаЁбвЁзҐбЄЁ¬Ё зЁб« ¬Ё.
‚лпбЁ¬, Є Є Ё§¬ҐпҐвбп Єў ¤а вЁз п д®а¬ $q$ ЇаЁ «ЁҐ©ле
ЇаҐ®Ўа §®ў Ёпе $L[A]$ Їа®бва бвў $\RR^n$. €¬ҐҐ¬ $\bar
w=L[A](\bar z)$ Ё«Ё $$\bar w=A\bar z,\quad \bar z=A^{-1}\bar w,$$
Ё, § зЁв, д®а¬ $q(\bar{z})=\bar{z}^\ast B\bar z$ ЇаҐ®Ўа §гҐвбп ў
д®а¬г $q(\bar w)=(A^{-1}\bar w)^\ast B(A^{-1}\bar w)$. ’ ЄЁ¬
®Ўа §®¬, Ґб«Ё ў Є®®а¤Ё в е, бўп§ ле б $z$, Єў ¤а вЁз п д®а¬
$q$ ®ЇаҐ¤Ґ«п« бм ¬ ваЁжҐ© $B$, в® ў Є®®а¤Ё в е, бўп§ ле б $w$,
® Ўг¤Ґв ®ЇаҐ¤Ґ«пвмбп ¬ ваЁжҐ© $(A^{-1})^\ast\cdot B\cdot
A^{-1}$.
\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬ 5}. ‚бпЄ п Єў ¤а вЁз п д®а¬ $q$ ў
ҐЄ®в®а®¬ Ї®¤е®¤п饬 Ў §ЁбҐ ¬®¦Ґв Ўлвм § ¤ ў ўЁ¤Ґ $q(\bar
z)=\bar z^\ast\cdot T\cdot\bar z$ б ¤Ё Ј® «м®© ¬ ваЁжҐ© $T$.
’ Є®© ўЁ¤ § ¤ Ёп §лў Ґвбп Є ®ЁзҐбЄЁ¬ (Ё«Ё ¤Ё Ј® «мл¬) ўЁ¤®¬
§ ¤ Ёп Єў ¤а вЁз®© д®а¬л.
$\vartriangleleft:$ „®Є § ⥫мбвў® Їа®ўҐ¤Ґ¬ ¤«п б«гз п $n=3$,
$\bar z=(x_1,x_2,x_3)^\ast$; ®ЎйЁ© б«гз © а бб¬ ваЁў Ґвбп Ї®
«®ЈЁЁ. Џгбвм д®а¬ $q$ ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп бЁ¬¬ҐваЁз®© ¬ ваЁжҐ©
$B=(a_{i,j})$. ђ §ЎҐаҐ¬ ¤ў ў®§¬®¦ле ў аЁ в .
1) $a_{i,i}\neq 0$ е®вп Ўл ¤«п ®¤®Ј® $i\in\{1,2,3\}$. Џгбвм,
бЄ ¦Ґ¬, $a_{1,1}\neq 0$. €¬ҐҐ¬ $$q(\bar z)=
a_{1,1}x_1^2+2x_1(a_{1,2}x_2+a_{1,3}x_3)+a_{2,2}x_2^2+2x_2
a_{2,3}x_3+a_{3,3}x_3^2.$$ ‚ н⮬ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁЁ ўл¤Ґ«Ё¬ Ї®«л©
Єў ¤а в $$q(\bar z)=a_{1,1}(x_1+\frac{a_{1,2}}{a_{1,1}}x_2+
\frac{a_{1,3}}{a_{1,1}}x_3)^2+ g((x_2,x_3)),$$ ®Ў®§ зЁў
$g((x_2,x_3))$ --- ®бв ўиЁҐбп Ї®б«Ґ нв®Ј® б« Ј Ґ¬лҐ. ЋЁ
ЇаҐ¤бв ў«пов Ё§ бҐЎп Єў ¤а вЁзго д®а¬г ¤ўг¬Ґале ўҐЄв®а е
$(x_2,x_3)$. ‚ў®¤Ё¬ ®ўлҐ ЇҐаҐ¬ҐлҐ $\bar{y}=(y_1,y_2,y_3)^\ast$
Ї® Їа ўЁ«г $y_1=x_1+a_{1,1}^{-1}(a_{1,2}x_2+a_{1,3}x_3)$,
$y_2=x_2$, $y_3=x_3$. ‚ нвЁе ЇҐаҐ¬Ґле
$q(\bar{y})=a_{1,1}y_1^2+g((y_2,y_3))$.
2) $a_{i,i}=0$ ¤«п $i\in\{1,2,3\}$; Ґб«Ё $q(x)=0$ ЇаЁ ўбҐе $x$, в®
$q(x)=0 x_1^2+0 x_2^2+0 x_3^2$. Џгбвм $q(x)\neq 0$ ЇаЁ Є Є®¬-«ЁЎ®
$x$. ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, ЇаЁ¬Ґа, $a_{1,2}\neq 0$ Ё $$q(x)=
2x_1a_{1,2}x_2+2x_1a_{1,3}x_3+2x_2 a_{2,3}x_3.$$ Џгбвм
$x_1=y_1+y_2$, $x_2=y_1-y_2$, $y_3=x_3$. ‚ ®ўле ЇҐаҐ¬Ґле
$$q(y)=2a_{1,2}(y_1^2-y_2^2)+(2(y_1+y_2)a_{1,3}+ 2(y_1-y_2)
a_{2,3})y_3$$ Єў ¤а вЁз п д®а¬ $q(y)$ ᮤҐа¦Ёв б« Ј Ґ¬лҐ б
$y_1^2$, $y_2^2$ б Ґг«Ґўл¬Ё Є®нддЁжЁҐв ¬Ё. Џ®н⮬㠪 Ґ© ¬®¦®
ЇаЁ¬ҐЁвм а бб㦤ҐЁп ў аЁ в 1) Ё ЇҐаҐ©вЁ Є а бᬮв२о
Єў ¤а вЁз®© д®а¬л б $n=2$. $\vartriangleright$
Соседние файлы в папке Введение в аналитическую геометрию