Учебники, методички / Ряды. Кратные интегралы. Теория поля / t09

\section*{‹ҐЄжЁп 9.}

‚лзЁб«Ґ­ЁҐ ва®©­®Ј® Ё­вҐЈа « . ЉаЁў®«Ё­Ґ©­лҐ бЁбвҐ¬л Є®®а¤Ё­ в.
џЄ®ЎЁ ­ Ё ҐЈ® ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб«. ‡ ¬Ґ­  ЇҐаҐ¬Ґ­­ле ў Єа в­ле
Ё­вҐЈа « е. ЏҐаҐе®¤ Є жЁ«Ё­¤аЁзҐбЄЁ¬ Ё бдҐаЁзҐбЄЁ¬ Є®®а¤Ё­ в ¬ ў
ва®©­®¬ Ё­вҐЈа «Ґ.

ђ бᬮв७­лҐ ЇаҐ¦¤Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп Ё вҐ®аҐ¬л ®Ў®Ўй овбп ­  Ё­вҐЈа «
®в дг­ЄжЁ© ваҐе Ё Ў®«м襣® зЁб«  ЇҐаҐ¬Ґ­­ле. Џ®ўв®аЁ¬ Ёе ¤«п
б«гз п ва®©­®Ј® Ё­вҐЈа « .

Ћ¤­Ё¬ Ё§ Їа®б⥩иЁе ўЁ¤®ў ®Ў« б⥩ Ё­вҐЈаЁа®ў ­Ёп пў«пҐвбп
б®ў®ЄгЇ­®бвм в®зҐЄ Їа®бва ­бвў  $\mathbb{R}^3$ ўЁ¤ 
$$Z(\varphi_1,\varphi_2)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ |\ (x,y)\in T,\
\varphi_1(x,y) \leqslant z \leqslant\varphi_2(x,y)\},\eqno (1)$$
Ј¤Ґ $T\in\mathcal{T}_2$, $\varphi_1(\cdot)$, $\varphi_2(\cdot)\in
C(T)$, $\varphi_1(x,y)\leqslant\varphi_2(x,y)$ ЇаЁ Є ¦¤®¬
$(x,y)\in T$. ‚­гв७­Ё¬Ё в®зЄ ¬Ё в Є®© ®Ў« бвЁ Ўг¤Ґ¬ ­ §лў вм
¬­®¦Ґбвў®
$$\widehat{Z}(\varphi_1,\varphi_2)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ |\
(x,y)\in \widehat{T},\ \varphi_1(x,y)<z<\varphi_2(x,y)\}.$$ Џ®
 ­ «®ЈЁЁ а бб¬ ваЁў ов ¬­®¦Ґбвў  $Y(\varphi_1,\varphi_2)$,
$X(\varphi_1,\varphi_2)$. ‚ᥠЁе Ўг¤Ґ¬ ®Ў®§­ з вм ¬­®¦Ґбвў ¬Ё ўЁ¤ 
(1).

Џгбвм ⥯Ґам $f(\cdot)$ -- ­ҐЇаҐалў­ п ­  ®Ў« бвЁ
$Z=Z(\varphi_1,\varphi_2)$ ўЁ¤  (1) дг­ЄжЁп ваҐе ЇҐаҐ¬Ґ­­ле.
ЋЇаҐ¤Ґ«Ё¬, зв® пў«пҐвбп Ё­вҐЈа «®¬ ®в $f$ Ї® $Z$. „«п нв®Ј®
§ ¤ ¤Ё¬бп ­ вга «м­л¬ $n\in\mathbb{N}$ Ё а бᬮваЁ¬ б㬬г
$$S_n(f,Z)=n^{-3}\sum_{(\frac in,\frac jn,\frac kn)\in
Z}f\left(\frac in,\frac jn,\frac kn\right),\eqno (2)$$ Ј¤Ґ
б㬬Ёа®ў ­ЁҐ ў (2) а бЇа®бва ­пҐвбп ­  ўбҐ жҐ«лҐ §­ зҐ­Ёп Ё­¤ҐЄб®ў
$i$, $j$, $k$, ¤«п Є®в®але $(i/n,j/n)\in T$ Ё, ®¤­®ўаҐ¬Ґ­­®,
$\varphi_1(i/n,j/n)\leqslant k/n \leqslant\varphi_2(i/n,j/n)$.\\
’Ґ®аҐ¬  1 (ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў ). /$f\in C(Z)$,
$Z=Z(\varphi_1,\varphi_2)$/ $\Rightarrow$
$$\exists\lim_{n\to\infty}S_n(f,Z).$$ ќв® зЁб«® Ё ­ §лў Ґвбп
ва®©­л¬ Ё­вҐЈа «®¬ ®в $f$ Ї® $Z$:
$$\int\!\!\int\!\!\int_{Z}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\lim_{n\to\infty}
S_n(f,Z).$$ ђ бЇа®бва ­Ё¬ ᤥ« ­­®Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ ­  ®ЎкҐ¤Ё­Ґ­ЁҐ
­ҐбЄ®«мЄЁе ®Ў« б⥩ ўЁ¤  (1). Џгбвм § ¤ ­® Є®­Ґз­®Ґ ᥬҐ©бвў®
®Ў« б⥩ $\{W_k\}_{k=1}^n$ ўЁ¤  (1), ­Ґ Ё¬ҐойЁе ®ЎйЁе ў­гв७­Ёе
в®зҐЄ: $\widehat{W}_k\cap \widehat{W}_m=\emptyset$, Ґб«Ё $k\ne m$.
Ѓг¤Ґ¬ ®Ў®§­ з вм, ¤«п Єа вЄ®бвЁ, б®ў®ЄгЇ­®бвм ¬­®¦Ґбвў
$W\subset\mathbb{R}^3$, ¤®ЇгбЄ ойЁе а §«®¦Ґ­ЁҐ $W=\cup_{k=1}^n
W_k$ а бᬮв७­®Ј® ўЁ¤ , бЁ¬ў®«®¬ $\mathcal{T}_3$. Ља®¬Ґ в®Ј®,
ў­гв७­Ё¬Ё в®зЄ ¬Ё $\widehat{W}$ ¬­®¦Ґбвў  $W$, Ї® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо,
Ўг¤Ґ¬ ­ §лў вм ⥠$(x,y,z)\in W$, Є®в®алҐ Ї®Ї ¤ ов ў $\cup_{k=1}^n
\widehat{W}_k$ е®вп Ўл ¤«п ®¤­®Ј® а §«®¦Ґ­Ёп $W=\cup_{k=1}^n W_k$,
Ј¤Ґ Є ¦¤®Ґ $W_k$ ўЁ¤  (1). Џгбвм $f\in C(W)$. Џ® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо
$$\int\!\!\int\!\!\int_{W}{f}(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\sum_{k=1}^n
\int\!\!\int\!\!\int_{W_k} f_k(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.\eqno (3)$$
’ Є¦Ґ Є Є Ё ¤«п ¤ў®©­ле Ё­вҐЈа «®ў ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ (3) ­Ґ § ўЁбЁв ®в
бЇ®б®Ў  а §¤Ґ«Ґ­Ёп $W\in\mathcal{T}_3$ ­  з бвЁ ўЁ¤  (1). Ћб­®ў­лҐ
бў®©бвў  ¤ў®©­®Ј® Ё­вҐЈа «  б ҐбвҐб⢥­­л¬Ё Ё§¬Ґ­Ґ­Ёп¬Ё
ЇҐаҐ­®бпвбп ­  ва®©­®© Ё­вҐЈа «.\\ ’Ґ®аҐ¬  2 ( ¤¤ЁвЁў­®бвм
Ё­вҐЈа « ). /$W_1,W_2\in\mathcal{T}_3$, $\widehat{W}_1\cap
\widehat{W}_2=\emptyset$, $f\in C(W_1\cup W_2)$/ $\Rightarrow$
$$\int\!\!\int\!\!\int_{W_1\cup W_2}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=
\int\!\!\int\!\!\int_{W_1}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
+\int\!\!\int\!\!\int_{W_2}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$$ Љ Є Ё ¤«п
б«гз п ¤ў®©­®Ј® Ё­вҐЈа «  ¤®Є § вҐ«мбвў® ⥮६л 2 пў«пҐвбп
б«Ґ¤бвўЁҐ¬ (3).

‚롥६ $f$ ⮦¤Ґб⢥­­® а ў­®© Ґ¤Ё­ЁжҐ ўбо¤г ­ 
$W\in\mathcal{T}_3$. ќв® ­ҐЇаҐалў­ п ­  $W$ дг­ЄжЁп. €­вҐЈа « ®в
в Є®© $f$ Ї® $W$ ­ §лў Ґвбп ®ЎкҐ¬®¬ $W$. Ѓг¤Ґ¬ ®Ў®§­ з вм нвг
ўҐ«ЁзЁ­г $V(W)$: $$V(W)=\int\!\!\int\!\!\int_{W}\,dx\,dy\,dz.$$
„®Є § вҐ«мбвў  ®б­®ў­ле бў®©бвў Ё­вҐЈа «  ЎҐ§ Ё§¬Ґ­Ґ­Ё©
ЇҐаҐ­®бЁвбп б ¤ў®©­ле Ё­вҐЈа «®ў ­  ва®©­лҐ Ё­вҐЈа «л.\\ ’Ґ®аҐ¬  3
(«Ё­Ґ©­®бвм Ё­вҐЈа « ). /$W\in\mathcal{T}_3$, $f_1,f_2\in ‘(W)$ Ё
$a,b\in\mathbb{R}$/ $\Rightarrow$
$$\int\!\!\int\!\!\int_{W}(af_1+bf_2)\,dx\,dy\,dz=
a\int\!\!\int\!\!\int_{W}f_1\,dx\,dy\,dz
+b\int\!\!\int\!\!\int_{W}f_2\,dx\,dy\,dz.$$ ’Ґ®аҐ¬  4
(¬®­®в®­­®бвм Ё­вҐЈа « ). /$W\in\mathcal{T}_3$, $f_1,f_2\in ‘(W)$
Ё $f_1(x,y,z)\leqslant f_2(x,y,z)$ ¤«п ўбҐе $(x,y,z)\in W$/
$\Rightarrow$ $$\int\!\!\int\!\!\int_{W}f_1(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
\leqslant \int\!\!\int\!\!\int_{W}f_2(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$$
‘«Ґ¤бвўЁп. $$\left |\int\!\!\int\!\!\int_{W}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
\right| \leqslant\int\!\!\int\!\!\int_{W}|f(x,y,z)|\,dx\,dy\,dz,$$
$$V(W)\cdot m \leqslant \int\!\!\int_{W}f\,dx\,dy\,dz\leqslant
V(W)\cdot M,$$ ўлЇ®«­пойЁҐбп Ґб«Ё $m\leqslant f(x,y,z)\leqslant M$
ЇаЁ ўбҐе $(x,y,z)\in W$.

’ Є¦Ґ Є Є Ё ¤ў®©­лҐ Ё­вҐЈа «л, ва®©­лҐ Ё­вҐЈа «л ¬®¦­® ўлзЁб«пвм
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®. Ћб­®ў®© н⮬г б«г¦Ёв\\ ’Ґ®аҐ¬  5 (ЎҐ§
¤®Є § вҐ«мбвў ). /$T\in\mathcal{T}_2$, $\varphi_1(\cdot)$,
$\varphi_2(\cdot)\in C(T)$, $W=Z(\varphi_1,\varphi_2)$, $f\in
C(W)$/ $\Rightarrow$
$$\int\!\!\int\!\!\int_{W}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\int_T
\left(\int_{\varphi_1(x,y)}^{\varphi_2(x,y)}
f(x,y,z)\,dz\right)\,dx\,dy.$$ …йҐ а § а бᬮваЁ¬ ў®Їа®б ® § ¬Ґ­Ґ
ЇҐаҐ¬Ґ­­®© ЇаЁ ўлзЁб«Ґ­ЁЁ Ё­вҐЈа « . Љ Є®© Ўл Ё­вҐЈа « ¬л ­Ґ
Ё§гз «Ё, -- ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­л©, ¤ў®©­®©, ва®©­®© Ё«Ё Ў®«м襣® зЁб« 
ЇҐаҐ¬Ґ­­ле, ўбпЄЁ© а § Ї®«гз Ґвбп, Ї® бгйҐбвўг, ®¤­  Ё в  ¦Ґ
д®а¬г« , гб«®ў­® § ЇЁблў Ґ¬ п ў ўЁ¤Ґ $$\int_{T}f\,dt=
\int_{S}g\cdot|J|\,ds.$$ ЋЎбг¤Ё¬ ҐҐ ҐйҐ а § ¤«п ва®©­®Ј®
Ё­вҐЈа « . Џгбвм § ¤ ­  ®¤­®§­ з­ п § ¬Ґ­  ЇҐаҐ¬Ґ­­ле, бўп§лў ой п
в®зЄЁ $(x,y,z)$ б в®зЄ ¬Ё $(r,s,t)$: $$x\leftrightarrow
u(r,s,t),\quad y\leftrightarrow v(r,s,t),\quad z\leftrightarrow
w(r,s,t).\eqno (4)$$ ‘зЁв Ґ¬, зв® ®­  ЇҐаҐў®¤Ёв ¬­®¦Ґбвў®
$S\in\mathcal{T}_3$ Їа®бва ­бвў  $(Orst)$ ў® ¬­®¦Ґбвў®
$T\in\mathcal{T}_3$ Їа®бва ­бвў  $(Oxyz)$ Ё ЇаЁ н⮬

1) ¤«п Є ¦¤®Ј® $(r,s,t)\in S$ в®зЄ  б Є®®а¤Ё­ в ¬Ё $x=u(r,s,t)$,
$y=v(r,s,t)$, $z=w(r,s,t)$ ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв $T$,

2) ¤«п Є ¦¤®Ј® $(x,y,z)\in T$ ­ ©¤Ґвбп ва®©Є  $(r,s,t)\in S$
в Є п, зв® $x=u(r,s,t)$, $y=v(r,s,t)$, $z=w(r,s,t)$,

3) а §­л¬ $(r,s,t)\in S$ ᮮ⢥вбвўгов а §­лҐ $(x,y,z)\in T$.\\
Џгбвм ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ (4) Ё ҐЈ® з бв­лҐ Їа®Ё§ў®¤­лҐ Ї® ЇҐаҐ¬Ґ­­л¬
$r$, $s$ Ё $t$ ­ҐЇаҐалў­л ­  ­ҐЄ®в®а®¬, ᮤҐа¦ йҐ¬ $S$ ¬­®¦Ґб⢥
Ё§ $(Orst)$; Їгбвм пЄ®ЎЁ ­ $J=J(r,s,t)$, $$J(r,s,t)={\rm det}
\begin{vmatrix}\frac {\partial u}{\partial r}& \frac {\partial
u}{\partial s}& \frac {\partial u}{\partial t}\\\frac {\partial
v}{\partial r}& \frac {\partial v}{\partial s}& \frac {\partial
v}{\partial t}\\\frac {\partial w}{\partial r}& \frac {\partial
w}{\partial s}& \frac {\partial w}{\partial t}\end{vmatrix},$$
б®еа ­пҐв Ї®бв®п­­л© §­ Є ў $S$ (¬®¤г«м нв®Ј® ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«п
ЇаҐ¤бв ў«пҐв ®ЎкҐ¬ Ї а ««Ґ«ҐЇЁЇҐ¤ , Ї®бв஥­­®Ј® ­  ўҐЄв®а е Ё§
з бв­ле Їа®Ё§ў®¤­ле -- ᬥ蠭­®Ј® Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп нвЁе ўҐЄв®а®ў). Љ Є
Ё ¤«п б«гз п ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле ўлЇ®«­пҐвбп а ўҐ­бвў®
$$dx\,dy\,dz=|J|\,dr\,ds\,dt,$$ ®§­ з о饥, зв® ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ (4)
ЁбЄ ¦ Ґв ЄгЎ б ॡ஬ $1/n$ б ўҐаиЁ­®© ў в®зЄҐ $(r,s,t)$ в Є, зв®
®ЎкҐ¬ ЁбЄ ¦Ґ­­®Ј® ЄгЎ  Ё§¬Ґ­пҐвбп ЇаЁЎ«Ё§ЁвҐ«м­® ў $|J(r,s,t)|$
а § Ї® ба ў­Ґ­Ёо б Ёб室­л¬. ЏаЁ н⮬ ®в­®бЁвҐ«м­ п Ї®ЈаҐи­®бвм
в Є®© § ¬Ґ­л бв६Ёвбп Є ­г«о б а®б⮬ $n$. ‚ ᤥ« ­­ле
ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­Ёпе бЇа ўҐ¤«Ёў  д®а¬г«  § ¬Ґ­л ЇҐаҐ¬Ґ­­ле:
$$\int\!\!\int\!\!\int_{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=
\int\!\!\int\!\!\int_{S}g(r,s,t)|J|\,dr\,ds\,dt,$$ $g(r,s,t)=
f(u(r,s,t),v(r,s,t),w(r,s,t))$.\\ ђ бᬮваЁ¬ ЇаЁ¬Ґал. ‚
жЁ«Ё­¤аЁзҐбЄ®© бЁб⥬Ґ Є®®а¤Ё­ в Є ¦¤®© в®зЄҐ
$(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ б®Ї®бв ўЁ¬ ҐҐ жЁ«Ё­¤аЁзҐбЄЁҐ Є®®а¤Ё­ вл
$(r,\phi,h)$, $r>0$, $\phi\in[0,2\pi)$, $h\in\mathbb{R}$:
$$x=r\cos\phi,\quad y=r\sin\phi,\quad z=h.$$ ‚лзЁб«Ё¬ пЄ®ЎЁ ­
нв®Ј® ®в®Ўа ¦Ґ­Ёп: $$J=r\cos^2\phi+r\sin^2\phi=r.$$ ”®а¬г«  § ¬Ґ­л
ЇҐаҐ¬Ґ­­ле Ўг¤Ґв ўлЈ«п¤Ґвм в Є:
$$\int\!\!\int\!\!\int_{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=
\int\!\!\int\!\!\int_{S}g(r,\phi,h)r\,dr\,d\phi\,dh,$$
$g(r,\phi,h)=f(r\cos\phi,r\sin\phi,h)$, $T$ -- ®Ўа § ¬­®¦Ґбвў  $S$
ЇаЁ а бб¬ ваЁў Ґ¬®© § ¬Ґ­Ґ ЇҐаҐ¬Ґ­­®©.

‚ бдҐаЁзҐбЄ®© бЁб⥬Ґ Є®®а¤Ё­ в Є ¦¤®© в®зЄҐ
$(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ б®Ї®бв ўЁ¬ ҐҐ бдҐаЁзҐбЄЁҐ Є®®а¤Ё­ вл
$(r,\phi,\psi)$, $r>0$, $\phi\in[0,2\pi)$,
$\psi\in[-\pi/2,\pi/2)$: $$x=r\cos\phi\cos\psi,\quad
y=r\sin\phi\cos\psi,\quad z=r\sin\psi.$$ ‚лзЁб«Ё¬ пЄ®ЎЁ ­ нв®Ј®
®в®Ўа ¦Ґ­Ёп:
$$J=r^2\cos^3\psi+r^2\cos\psi\sin^2\psi=r^2\cos\psi.$$ ”®а¬г« 
§ ¬Ґ­л ЇҐаҐ¬Ґ­­ле Ўг¤Ґв ўлЈ«п¤Ґвм в Є:
$$\int\!\!\int\!\!\int_{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=
\int\!\!\int\!\!\int_{S}g(r,\phi,h)r^2\cos\psi\,dr\,d\phi\,dh,$$
$g(r,\phi,h)=f(r\cos\phi\cos\psi,r\sin\phi\cos\psi,r\sin\psi)$,
$T$ -- ®Ўа § ¬­®¦Ґбвў  $S$ ЇаЁ а бб¬ ваЁў Ґ¬®© § ¬Ґ­Ґ ЇҐаҐ¬Ґ­­®©.