Скачиваний:
82
Добавлен:
24.04.2014
Размер:
7.61 Кб
Скачать
\section*{‹ҐЄжЁп 12.}

ЋаЁҐ­в жЁп Ї®ўҐае­®бвЁ. Џ®в®Є ўҐЄв®а­®Ј® Ї®«п. Џ®ўҐае­®бв­л©
Ё­вҐЈа « ўв®а®Ј® த , ҐЈ® бў®©бвў  Ё ўлзЁб«Ґ­ЁҐ. ‘ўп§м
Ї®ўҐае­®бв­ле Ё­вҐЈа «®ў ЇҐаў®Ј® Ё ўв®а®Ј® த .\\ Џгбвм
$$\Gamma=\{r(u,v)=\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr)\in\mathbb{R}^3\
|\ (u,v)\in T\},\eqno (1)$$ -- ­Ґўл஦¤Ґ­­ п Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ п
Ї®ўҐае­®бвм ў $\mathbb{R}^3$,  $T\subset\mathbb{R}^2$. ’®Ј¤ ,
б®Ј« б­® ᤥ« ­­л¬ а ­ҐҐ ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­Ёп¬ ® ­Ґўл஦¤Ґ­­®бвЁ
Ї а ¬ҐваЁ§ жЁЁ, ў Є ¦¤®© ў­гв७­Ґ© в®зЄҐ нв®© Ї®ўҐае­®бвЁ
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  Є б вҐ«м­ п Ї«®бЄ®бвм, Ї®а®¦¤Ґ­­ п Ї а®© «Ё­Ґ©­®
­Ґ§ ўЁбЁ¬ле Є б вҐ«м­ле ўҐЄв®а®ў
$$r_u(u_0,v_0)=\left(\frac{\partial x(u_0,v_0)}{\partial
u},\frac{\partial y(u_0,v_0)}{\partial u}, \frac{\partial
z(u_0,v_0)}{\partial u}\right),$$
$$r_v(u_0,v_0)=\left(\frac{\partial x(u_0,v_0)}{\partial
v},\frac{\partial y(u_0,v_0)}{\partial v}, \frac{\partial
z(u_0,v_0)}{\partial v}\right),$$ $(u_0,v_0)$ -- ў­гв७­пп в®зЄ 
$T$, Ё ўҐЄв®а ­®а¬ «Ё Є Ї®ўҐае­®бвЁ $[r_u(u_0,v_0),r_v(u_0,v_0)]$.
ђ бᬮваЁ¬ Ґ¤Ё­Ёз­л© ўҐЄв®а ­®а¬ «Ё, в.Ґ. ўҐЄв®а
$$n(u_0,v_0)=\frac{[r_u(u_0,v_0),r_v(u_0,v_0)]}
{|[r_u(u_0,v_0),r_v(u_0,v_0)]|}$$ (Ї® ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­Ёп¬ ®
­Ґўл஦¤Ґ­­®бвЁ Ї а ¬ҐваЁ§ жЁЁ §­ ¬Ґ­ вҐ«м ­Ґ ®Ўа й Ґвбп ў ­г«м).
Џ® ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­Ёп¬ ® Ј« ¤Є®бвЁ Ї а ¬ҐваЁ§ жЁЁ, Є®®а¤Ё­ вл ўҐЄв®а 
$n$ ­ҐЇаҐалў­® § ўЁбпв ®в $(u_0,v_0)$ Ё§ ў­гв७­®бвЁ $T$. …б«Ё
$n(u_0,v_0)$ ¬®¦­® ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм ­  ўбҐ¬ $T$ в Є, зв®Ўл Ї®«гзЁ« бм
­ҐЇаҐалў­ п дг­ЄжЁп ­  $T$, в® нв  дг­ЄжЁп ­ §лў Ґвбп ®аЁҐ­в жЁҐ©
­Ґўл஦¤Ґ­­®© Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®© Ї®ўҐае­®бвЁ $\Gamma$. ЏаЁ н⮬
$-n(u_0,v_0)$, Є®в®а п ў н⮬ б«гз Ґ ⮦Ґ пў«пҐвбп ®аЁҐ­в жЁҐ©
$\Gamma$, ­ §лў Ґвбп ®аЁҐ­в жЁҐ© Їа®вЁў®Ї®«®¦­®© $n(u_0,v_0)$.
…б«Ё ¦Ґ в Є®Ј® ­ҐЇаҐалў­®Ј® Їа®¤®«¦Ґ­Ёп Ї®¤®Ўа вм ­Ґ г¤ Ґвбп, в®
Ї®ўҐае­®бвм (1) ­ §лў Ґвбп ­Ґ®аЁҐ­вЁа㥬®©. ‡ ЇЁбм $\Gamma^+$
®§­ з Ґв, зв® ®аЁҐ­вЁа㥬 п Ї®ўҐае­®бвм $\Gamma$ а бб¬ ваЁў Ґвбп
ў¬ҐбвҐ б Є Є®©-­ЁЎг¤м Ё§ ¤ўге бў®Ёе ®аЁҐ­в жЁ© $n(u_0,v_0)$ Ё«Ё
$-n(u_0,v_0)$. ‡ ЇЁбм $\Gamma^-$ ®§­ з Ґв ЇаЁ н⮬ ўлЎ®а
Їа®вЁў®Ї®«®¦­®© ®аЁҐ­в жЁЁ.

Џ®ўҐае­®бв­л¬Ё Ё­вҐЈа « ¬Ё ўв®а®Ј® த  ®в ­ҐЇаҐалў­®© ­  $T$
дг­ЄжЁЁ $f$ Ї® Ї а ¬ҐваЁ§®ў ­­®© Ї®ўҐае­®бвЁ $\Gamma^+$ ­ §лў овбп
3 Ё­вҐЈа « 
$$\int_{\Gamma^+}f(x,y,z)\,dx\,dy=\int_{\Gamma}f(x,y,z)
\bigl(n,(0,0,1)\bigr)\,dS,$$
$$\int_{\Gamma^+}f(x,y,z)\,dy\,dz=\int_{\Gamma}f(x,y,z)
\bigl(n,(1,0,0)\bigr)\,dS,\eqno (2)$$
$$\int_{\Gamma^+}f(x,y,z)\,dz\,dx=\int_{\Gamma}f(x,y,z)
\bigl(n,(0,1,0)\bigr)\,dS,$$ Ј¤Ґ $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$
-- Ґ¤Ё­Ёз­лҐ ўҐЄв®а  ­  Є®®а¤Ё­ в­ле ®бпе $Ox$, $Oy$, $Oz$ ў
Їа®бва ­б⢥ $\mathbb{R}^3$, $n(\cdot)$ -- ўлЎа ­­ п ®аЁҐ­в жЁп
Ї®ўҐае­®бвЁ, $\bigl(n,(0,0,1)\bigr)$ -- бЄ «па­®Ґ Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ
ўҐЄв®а®ў (®­® ¦Ґ, Є Є Ё§ўҐбв­®, пў«пҐвбп Є®бЁ­гᮬ гЈ«  ¬Ґ¦¤г
ўҐЄв®а ¬Ё $n$ Ё $(1,0,0)$). €§ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп б«Ґ¤гҐв, зв® ЇаЁ
ЇҐаҐе®¤Ґ Є Їа®вЁў®Ї®«®¦­®© ®аЁҐ­в жЁЁ Ї®ўҐае­®бвЁ, §­ Є нвЁе
Ё­вҐЈа «®ў ¬Ґ­пҐвбп ­  ®Ўа в­л©.

‚ ®ЎйҐ¬ б«гз Ґ, Є®Ј¤  $\Gamma$ -- Ї®ўҐае­®бвм Ё§ Є« бб 
$\mathcal{B}_3$, ®Ў« ¤ ой п Ґ¤Ё­Ёз­л¬ ўҐЄв®а®¬ ­®а¬ «Ё ў Є ¦¤®©
ў­гв७­Ґ© в®зЄҐ (Ё, §­ зЁв, ў ¤Ґ©б⢨⥫쭮бвЁ, ¤ўг¬п в ЄЁ¬Ё
ўҐЄв®а ¬Ё $n$ Ё $-n$) ᤥ« ­­®Ґ ўлиҐ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ в Є¦Ґ ¬®¦Ґв Ўлвм
ўлЎа ­® Є Є ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ ®аЁҐ­в жЁЁ. …б«Ё ­  $T$ г¤ Ґвбп ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм
­ҐЇаҐалў­го дг­ЄжЁо $n(M)$ в®зЄЁ $M\in T$, в Є зв® ¤«п ў­гв७­Ёе
в®зҐЄ $M\in T$ ўҐЄв®а $n(M)$ -- Ґ¤Ё­Ёз­ п ­®а¬ «м Є $\Gamma$, в®
нвг дг­ЄжЁо $n$ ­ §лў ов ®аЁҐ­в жЁҐ© $\Gamma$, дг­ЄжЁо $-n$ --
Їа®вЁў®Ї®«®¦­®© ®аЁҐ­в жЁҐ©,   Ї®ўҐае­®бвм $\Gamma$ --
®аЁҐ­вЁа㥬®© Ї®ўҐае­®бвмо. Љ Є Ё ўлиҐ ®аЁҐ­вЁагҐ¬лҐ Ї®ўҐае­®бвЁ
®Ў®§­ з ов $\Gamma^+$ Ё $\Gamma^-$. …б«Ё ¦Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм ­ҐЇаҐалў­го
­  $T$ дг­ЄжЁо $n(M)$ ­Ґў®§¬®¦­®, в® Ї®ўҐае­®бвм $\Gamma$ ­ §лў ов
­Ґ®аЁҐ­вЁа㥬®©. ЏаЁ¬Ґа ¬Ё ®аЁҐ­вЁа㥬ле Ї®ўҐае­®б⥩ пў«повбп
бдҐа , Ў®Є®ў п Ї®ўҐае­®бвм жЁ«Ё­¤а  Ё ¬­®ЈЁҐ ¤агЈЁҐ. Љ« ббЁзҐбЄЁ¬
ЇаЁ¬Ґа®¬ ­Ґ®аЁҐ­вЁа㥬®© Ї®ўҐае­®бвЁ (Ё«Ё, Є Є ҐйҐ Ј®ў®апв,
®¤­®бв®а®­­Ґ© Ї®ўҐае­®бвЁ) пў«пҐвбп «Ёбв ЊсЎЁгб . —в®Ўл Ї®пб­Ёвм,
Є Є гбв஥­  нв  Ї®ўҐае­®бвм, § ¬ҐвЁ¬ б­ з « , зв® Ў®Є®ў п
Ї®ўҐае­®бвм жЁ«Ё­¤а  ¬®¦Ґв Ўлвм Ї®«г祭  ᮥ¤Ё­Ґ­ЁҐ¬
Їа®вЁў®Ї®«®¦­ле бв®а®­ Їаאַ㣮«м­ЁЄ  $ABCD$ ў ваҐе¬Ґа­®¬
Їа®бва ­б⢥ (Ґб«Ё $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ -- бв®а®­л
Їаאַ㣮«м­ЁЄ , в® Ў®Є®ў п Ї®ўҐае­®бвм жЁ«Ё­¤а  Ї®«гзЁвбп
б®ў¬ҐйҐ­ЁҐ¬ бв®а®­ $AB$ Ё $CD$ -- ўҐаиЁ­л $A$ б ўҐаиЁ­®© $D$,  
ўҐаиЁ­л $B$ б ўҐаиЁ­®© $C$). ‹Ёбв ЊсЎЁгб  Ї®«гз Ґвбп б Ї®¬®ймо
в Є®Ј® ¦Ґ  «Ј®аЁв¬ , в®«мЄ® б®ў¬ҐйҐ­ЁҐ гЄ § ­­ле бв®а®­
Їа®Ё§ў®¤Ёвбп б ®¤­®ўаҐ¬Ґ­­л¬ ЇҐаҐў®а®в®¬ ®¤­®© Ё§ бв®а®­: ўҐаиЁ­ 
$A$ б®ў¬Ґй Ґвбп б ўҐаиЁ­®© $C$,   ўҐаиЁ­  $B$ б ўҐаиЁ­®© $D$. …б«Ё
¦Ґ а бᬮв७­го бв®а®­г ¬л ЇҐаҐўҐа­Ґ¬ ҐйҐ а § ў ⮬ ¦Ґ
­ Їа ў«Ґ­ЁЁ Ё ў­®ўм ᮥ¤Ё­Ё¬ в®зЄЁ $A$ б $D$,   $B$ б $C$, в® ¬л
®Їпвм Ї®«гзЁ¬ ®аЁҐ­вЁа㥬го Ї®ўҐае­®бвм.

Ћ¤­ Є® ¤®бв в®з­® з бв® ЇаЁе®¤Ёвбп Ё¬Ґвм ¤Ґ«® б Ї®ўҐае­®бвп¬Ё
$\Gamma\in\mathcal{B}_3$, г Є®в®але Ґ¤Ё­Ёз­лҐ ­®а¬ «Ё Ё¬Ґовбп ­Ґ
ў® ўбҐе в®зЄ е Ї®ўҐае­®бвЁ. ‚ н⮬ б«гз Ґ Ї®­пвЁҐ ®аЁҐ­вЁа㥬®©
Ї®ўҐае­®бвЁ ўў®¤пв Ї® ¤агЈ®¬г. „«п б«гз п Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®©
Ї®ўҐае­®бвЁ (1) Ї®­пвЁҐ ®аЁҐ­в жЁЁ ­Ґ Ё§¬Ґ­пҐвбп. „ «ҐҐ ¤Ґ« Ґвбп
в Є®Ґ § ¬Ґз ­ЁҐ: ўлЎ®а ­ Їа ў«Ґ­Ёп ­®а¬ «Ё ¤«п Ї®ўҐае­®бвЁ (1)
®¤­®§­ з­® бўп§ ­ б «Ґў®бв®а®­­Ё¬ ®Ўе®¤®¬ нв®© Ї®ўҐае­®бвЁ ў¤®«м
Ја ­Ёжл, ў§Ј«п­гў ­  Ї®ўҐае­®бвм б Їа®вЁў®Ї®«®¦­®© бв®а®­л (в.Ґ.
ўлЎа ў Їа®вЁў®Ї®«®¦­®Ґ ­ Їа ў«Ґ­ЁҐ Ґ¤Ё­Ёз­®© ­®а¬ «Ё), ¬л гўЁ¤Ё¬,
зв® «Ґў®бв®а®­­Ё© ®Ўе®¤ бв « Їа ў®бв®а®­­Ё¬ Ё ­ ®Ў®а®в. „ «ҐҐ,
Їгбвм Ё¬ҐҐвбп $\Gamma\in\mathcal{B}_3$ Ё
$$\Gamma=\cup_{i=1}^n\Gamma_i,$$ $\Gamma_i$ -- Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁҐ
Ї®ўҐае­®бвЁ ўЁ¤  (1), ­ЁЄ ЄЁҐ ¤ўҐ Ё§ Є®в®але ­Ґ Ё¬Ґов ®ЎйЁе
ў­гв७­Ёе в®зҐЄ. …б«Ё е®вп Ўл ®¤­  Ё§ $\Gamma_i$ ­Ґ пў«пҐвбп
®аЁҐ­вЁа㥬®©, в® Ї® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо Ї®ўҐае­®бвм $\Gamma$ в Є¦Ґ
бзЁв Ґвбп ­Ґ ®аЁҐ­вЁа㥬®©. Џгбвм ⥯Ґам Є ¦¤ п Ё§ Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁе
Ї®ўҐае­®б⥩ $\Gamma_i$ пў«пҐвбп ®аЁҐ­вЁа㥬®©. ќв®, ў з бв­®бвЁ,
®§­ з Ґв, зв® ўлЎа ­ ®¤Ё­ Ё§ ¤ўге ў аЁ ­в®ў ®Ўе®¤  Ја ­Ёж Є ¦¤®©
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®© Ї®ўҐае­®бвЁ $\Gamma_i$. Ѓг¤Ґ¬ ­ §лў вм ®Ўе®¤л
Ја ­Ёж $\Gamma_i$ б®Ј« б®ў ­­л¬Ё ¬Ґ¦¤г б®Ў®©, Ґб«Ё ¤«п «оЎ®© Ї ал
$\Gamma_i$, $\Gamma_k$ ®ЎйЁҐ в®зЄЁ нвЁе ¬­®¦Ґбвў, Є®в®алҐ,
Є®­Ґз­®, ¬®Јгв ­ е®¤Ёвмбп в®«мЄ® ­  Ја ­Ёж е нвЁе ¬­®¦Ґбвў,
Їа®е®¤пвбп ЇаЁ ўлЎа ­­ле ®Ўе®¤ е ў Їа®вЁў®Ї®«®¦­ле ­ Їа ў«Ґ­Ёпе.
€в Є, Ґб«Ё ®Ўе®¤л Ја ­Ёж ¬­®¦Ґбвў $\Gamma_i$ ¬®¦­® б®Ј« б®ў вм, в®
$\Gamma$ ­ §лў Ґвбп ®аЁҐ­вЁа㥬®©,  Ґб«Ё ®Ўе®¤л б®Ј« б®ў вм
­Ґў®§¬®¦­®, в® $\Gamma$ ­ §лў Ґвбп ­Ґ®аЁҐ­вЁа㥬®©. ‚ б«гз Ґ
®аЁҐ­вЁа㥬®© Ї®ўҐае­®бвЁ Ї®б«Ґ ўлЎ®а  ўбҐе ­ Їа ў«Ґ­Ё© ®Ўе®¤ 
Ја ­Ёж $\Gamma_i$, ­ Їа ў«Ґ­Ёп ­®а¬ «Ґ© ў­гваЁ $\Gamma_i$ ўлЎЁа ов
в Є, зв®Ўл Ї®«гз ойЁ©бп ®Ўе®¤ Ја ­Ёжл Ё§ ўҐаиЁ­л ­®а¬ «Ё ўЁ¤Ё«бп
«Ґў®бв®а®­­Ё¬.

ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ Ї®ўҐае­®бв­ле Ё­вҐЈа «®ў ўв®а®Ј® த  ¤«п
а бᬮв७­ле ®аЁҐ­вЁа㥬ле Ї®ўҐае­®б⥩ б®ўЇ ¤ Ґв б (2).
ЌҐЄ®в®ал¬ ®Ў®ЎйҐ­ЁҐ¬ нв®Ј® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп пў«пҐвбп Ї®­пвЁҐ Ї®в®Є 
­ҐЇаҐалў­®Ј® ўҐЄв®а­®Ј® Ї®«п $a=(a_x,a_y,a_z)$ зҐаҐ§
®аЁҐ­вЁа®ў ­­го Ї®ўҐае­®бвм $\Gamma^+$. ’ Є ­ §лў ов Ё­вҐЈа «
$$\int_{\Gamma}\bigl(n,a\bigr)\,dS,$$ Ј¤Ґ $n(\cdot)$ -- ўлЎа ­­ п
®аЁҐ­в жЁп Ї®ўҐае­®бвЁ, $\bigl(n,a\bigr)$ -- бЄ «па­®Ґ
Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ ўҐЄв®а®ў. ЏаЁ н⮬ Ї®ўҐае­®бв­лҐ Ё­вҐЈа «л ўв®а®Ј®
த  ¬®¦­® бзЁв вм Ї®в®Є ¬Ё бЇҐжЁ «м­®Ј® ўЁ¤  ўҐЄв®а­ле Ї®«Ґ©. Љ
ЇаЁ¬Ґаг, ў б«гз Ґ ЇҐаў®Ј® Ё§ Ё­вҐЈа «®ў ў (2) ўҐЄв®а­®Ґ Ї®«Ґ $a$
Ё¬Ґ«® ўЁ¤ $(0,0,f(x,y,z))$.

‘ў®©бвў  Ї®ўҐае­®бв­ле Ё­вҐЈа «®ў ўв®а®Ј® த  пў«повбп б«Ґ¤бвўЁҐ¬
бў®©бвў Ї®ўҐае­®бв­ле Ё­вҐЈа «®ў ЇҐаў®Ј® த . ЏҐаҐзЁб«Ё¬ Ёе
­ §ў ­Ёп:\\ 1)  ¤¤ЁвЁў­®бвм (Ї® ®Ў« бвЁ Ё­вҐЈаЁа®ў ­Ёп),\\ 2)
«Ё­Ґ©­®бвм (Ї® Ё­вҐЈаЁагҐ¬л¬ дг­ЄжЁп¬).\\ ’ Є¦Ґ Є Є Ё ¤«п
ЄаЁў®«Ё­Ґ©­ле Ё­вҐЈа «®ў ўв®а®Ј® த , бў®©бвў® Ї®«®¦ЁвҐ«м­®бвЁ
¤«п Ї®ўҐае­®бв­ле Ё­вҐЈа «®ў ўв®а®Ј® த , ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап, ­Ґ
ўлЇ®«­пҐвбп.
Соседние файлы в папке Ряды. Кратные интегралы. Теория поля