Добавил:
Studfiles
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:
\section*{‹ҐЄжЁп 12.}
ЋаЁҐв жЁп Ї®ўҐае®бвЁ. Џ®в®Є ўҐЄв®а®Ј® Ї®«п. Џ®ўҐае®бвл©
ЁвҐЈа « ўв®а®Ј® த , ҐЈ® бў®©бвў Ё ўлзЁб«ҐЁҐ. ‘ўп§м
Ї®ўҐае®бвле ЁвҐЈа «®ў ЇҐаў®Ј® Ё ўв®а®Ј® த .\\ Џгбвм
$$\Gamma=\{r(u,v)=\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr)\in\mathbb{R}^3\
|\ (u,v)\in T\},\eqno (1)$$ -- Ґўл஦¤Ґ п Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ п
Ї®ўҐае®бвм ў $\mathbb{R}^3$, $T\subset\mathbb{R}^2$. ’®Ј¤ ,
б®Ј« ᮠᤥ« л¬ а ҐҐ ЇаҐ¤Ї®«®¦ҐЁп¬ ® Ґўл஦¤Ґ®бвЁ
Ї а ¬ҐваЁ§ жЁЁ, ў Є ¦¤®© ўгв॥© в®зЄҐ нв®© Ї®ўҐае®бвЁ
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ Є б ⥫м п Ї«®бЄ®бвм, Ї®а®¦¤Ґ п Ї а®© «ЁҐ©®
Ґ§ ўЁбЁ¬ле Є б ⥫мле ўҐЄв®а®ў
$$r_u(u_0,v_0)=\left(\frac{\partial x(u_0,v_0)}{\partial
u},\frac{\partial y(u_0,v_0)}{\partial u}, \frac{\partial
z(u_0,v_0)}{\partial u}\right),$$
$$r_v(u_0,v_0)=\left(\frac{\partial x(u_0,v_0)}{\partial
v},\frac{\partial y(u_0,v_0)}{\partial v}, \frac{\partial
z(u_0,v_0)}{\partial v}\right),$$ $(u_0,v_0)$ -- ўгваҐпп в®зЄ
$T$, Ё ўҐЄв®а ®а¬ «Ё Є Ї®ўҐае®бвЁ $[r_u(u_0,v_0),r_v(u_0,v_0)]$.
ђ бᬮваЁ¬ Ґ¤ЁЁзл© ўҐЄв®а ®а¬ «Ё, в.Ґ. ўҐЄв®а
$$n(u_0,v_0)=\frac{[r_u(u_0,v_0),r_v(u_0,v_0)]}
{|[r_u(u_0,v_0),r_v(u_0,v_0)]|}$$ (Ї® ЇаҐ¤Ї®«®¦ҐЁп¬ ®
Ґўл஦¤Ґ®бвЁ Ї а ¬ҐваЁ§ жЁЁ § ¬Ґ вҐ«м Ґ ®Ўа й Ґвбп ў г«м).
Џ® ЇаҐ¤Ї®«®¦ҐЁп¬ ® Ј« ¤Є®бвЁ Ї а ¬ҐваЁ§ жЁЁ, Є®®а¤Ё вл ўҐЄв®а
$n$ ҐЇаҐалў® § ўЁбпв ®в $(u_0,v_0)$ Ё§ ўгв८бвЁ $T$. …б«Ё
$n(u_0,v_0)$ ¬®¦® ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм ўбҐ¬ $T$ в Є, зв®Ўл Ї®«гзЁ« бм
ҐЇаҐалў п дгЄжЁп $T$, в® нв дгЄжЁп §лў Ґвбп ®аЁҐв жЁҐ©
Ґўл஦¤Ґ®© Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®© Ї®ўҐае®бвЁ $\Gamma$. ЏаЁ н⮬
$-n(u_0,v_0)$, Є®в®а п ў н⮬ б«гз Ґ ⮦Ґ пў«пҐвбп ®аЁҐв жЁҐ©
$\Gamma$, §лў Ґвбп ®аЁҐв жЁҐ© Їа®вЁў®Ї®«®¦®© $n(u_0,v_0)$.
…б«Ё ¦Ґ в Є®Ј® ҐЇаҐалў®Ј® Їа®¤®«¦ҐЁп Ї®¤®Ўа вм Ґ г¤ Ґвбп, в®
Ї®ўҐае®бвм (1) §лў Ґвбп Ґ®аЁҐвЁа㥬®©. ‡ ЇЁбм $\Gamma^+$
®§ з Ґв, зв® ®аЁҐвЁа㥬 п Ї®ўҐае®бвм $\Gamma$ а бб¬ ваЁў Ґвбп
ў¬ҐбвҐ б Є Є®©-ЁЎг¤м Ё§ ¤ўге бў®Ёе ®аЁҐв жЁ© $n(u_0,v_0)$ Ё«Ё
$-n(u_0,v_0)$. ‡ ЇЁбм $\Gamma^-$ ®§ з Ґв ЇаЁ н⮬ ўлЎ®а
Їа®вЁў®Ї®«®¦®© ®аЁҐв жЁЁ.
Џ®ўҐае®бвл¬Ё ЁвҐЈа « ¬Ё ўв®а®Ј® த ®в ҐЇаҐалў®© $T$
дгЄжЁЁ $f$ Ї® Ї а ¬ҐваЁ§®ў ®© Ї®ўҐае®бвЁ $\Gamma^+$ §лў овбп
3 ЁвҐЈа «
$$\int_{\Gamma^+}f(x,y,z)\,dx\,dy=\int_{\Gamma}f(x,y,z)
\bigl(n,(0,0,1)\bigr)\,dS,$$
$$\int_{\Gamma^+}f(x,y,z)\,dy\,dz=\int_{\Gamma}f(x,y,z)
\bigl(n,(1,0,0)\bigr)\,dS,\eqno (2)$$
$$\int_{\Gamma^+}f(x,y,z)\,dz\,dx=\int_{\Gamma}f(x,y,z)
\bigl(n,(0,1,0)\bigr)\,dS,$$ Ј¤Ґ $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$
-- Ґ¤ЁЁзлҐ ўҐЄв®а Є®®а¤Ё вле ®бпе $Ox$, $Oy$, $Oz$ ў
Їа®бва б⢥ $\mathbb{R}^3$, $n(\cdot)$ -- ўлЎа п ®аЁҐв жЁп
Ї®ўҐае®бвЁ, $\bigl(n,(0,0,1)\bigr)$ -- бЄ «п஥ Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁҐ
ўҐЄв®а®ў (®® ¦Ґ, Є Є Ё§ўҐбв®, пў«пҐвбп Є®бЁгᮬ гЈ« ¬Ґ¦¤г
ўҐЄв®а ¬Ё $n$ Ё $(1,0,0)$). €§ ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп б«Ґ¤гҐв, зв® ЇаЁ
ЇҐаҐе®¤Ґ Є Їа®вЁў®Ї®«®¦®© ®аЁҐв жЁЁ Ї®ўҐае®бвЁ, § Є нвЁе
ЁвҐЈа «®ў ¬ҐпҐвбп ®Ўа вл©.
‚ ®ЎйҐ¬ б«гз Ґ, Є®Ј¤ $\Gamma$ -- Ї®ўҐае®бвм Ё§ Є« бб
$\mathcal{B}_3$, ®Ў« ¤ ой п Ґ¤ЁЁзл¬ ўҐЄв®а®¬ ®а¬ «Ё ў Є ¦¤®©
ўгв॥© в®зЄҐ (Ё, § зЁв, ў ¤Ґ©б⢨⥫м®бвЁ, ¤ўг¬п в ЄЁ¬Ё
ўҐЄв®а ¬Ё $n$ Ё $-n$) ᤥ« ®Ґ ўлиҐ ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ в Є¦Ґ ¬®¦Ґв Ўлвм
ўлЎа ® Є Є ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ ®аЁҐв жЁЁ. …б«Ё $T$ г¤ Ґвбп ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм
ҐЇаҐалўго дгЄжЁо $n(M)$ в®зЄЁ $M\in T$, в Є зв® ¤«п ўгв२е
в®зҐЄ $M\in T$ ўҐЄв®а $n(M)$ -- Ґ¤ЁЁз п ®а¬ «м Є $\Gamma$, в®
нвг дгЄжЁо $n$ §лў ов ®аЁҐв жЁҐ© $\Gamma$, дгЄжЁо $-n$ --
Їа®вЁў®Ї®«®¦®© ®аЁҐв жЁҐ©, Ї®ўҐае®бвм $\Gamma$ --
®аЁҐвЁа㥬®© Ї®ўҐае®бвмо. Љ Є Ё ўлиҐ ®аЁҐвЁагҐ¬лҐ Ї®ўҐае®бвЁ
®Ў®§ з ов $\Gamma^+$ Ё $\Gamma^-$. …б«Ё ¦Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм ҐЇаҐалўго
$T$ дгЄжЁо $n(M)$ Ґў®§¬®¦®, в® Ї®ўҐае®бвм $\Gamma$ §лў ов
Ґ®аЁҐвЁа㥬®©. ЏаЁ¬Ґа ¬Ё ®аЁҐвЁа㥬ле Ї®ўҐае®б⥩ пў«повбп
бдҐа , Ў®Є®ў п Ї®ўҐае®бвм жЁ«Ё¤а Ё ¬®ЈЁҐ ¤агЈЁҐ. Љ« ббЁзҐбЄЁ¬
ЇаЁ¬Ґа®¬ Ґ®аЁҐвЁа㥬®© Ї®ўҐае®бвЁ (Ё«Ё, Є Є ҐйҐ Ј®ў®апв,
®¤®бв®а®Ґ© Ї®ўҐае®бвЁ) пў«пҐвбп «Ёбв ЊсЎЁгб . —в®Ўл Ї®пбЁвм,
Є Є гбв஥ нв Ї®ўҐае®бвм, § ¬ҐвЁ¬ б з « , зв® Ў®Є®ў п
Ї®ўҐае®бвм жЁ«Ё¤а ¬®¦Ґв Ўлвм Ї®«гзҐ б®Ґ¤ЁҐЁҐ¬
Їа®вЁў®Ї®«®¦ле бв®а® Їаאַ㣮«мЁЄ $ABCD$ ў ваҐе¬Ґа®¬
Їа®бва б⢥ (Ґб«Ё $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ -- бв®а®л
Їаאַ㣮«мЁЄ , в® Ў®Є®ў п Ї®ўҐае®бвм жЁ«Ё¤а Ї®«гзЁвбп
б®ў¬ҐйҐЁҐ¬ бв®а® $AB$ Ё $CD$ -- ўҐаиЁл $A$ б ўҐаиЁ®© $D$,
ўҐаиЁл $B$ б ўҐаиЁ®© $C$). ‹Ёбв ЊсЎЁгб Ї®«гз Ґвбп б Ї®¬®ймо
в Є®Ј® ¦Ґ «Ј®аЁв¬ , в®«мЄ® б®ў¬ҐйҐЁҐ гЄ § ле бв®а®
Їа®Ё§ў®¤Ёвбп б ®¤®ўаҐ¬Ґл¬ ЇҐаҐў®а®в®¬ ®¤®© Ё§ бв®а®: ўҐаиЁ
$A$ б®ў¬Ґй Ґвбп б ўҐаиЁ®© $C$, ўҐаиЁ $B$ б ўҐаиЁ®© $D$. …б«Ё
¦Ґ а бᬮваҐго бв®а®г ¬л ЇҐаҐўҐаҐ¬ ҐйҐ а § ў ⮬ ¦Ґ
Їа ў«ҐЁЁ Ё ў®ўм ᮥ¤ЁЁ¬ в®зЄЁ $A$ б $D$, $B$ б $C$, в® ¬л
®Їпвм Ї®«гзЁ¬ ®аЁҐвЁа㥬го Ї®ўҐае®бвм.
Ћ¤ Є® ¤®бв в®з® з бв® ЇаЁе®¤Ёвбп Ё¬Ґвм ¤Ґ«® б Ї®ўҐае®бвп¬Ё
$\Gamma\in\mathcal{B}_3$, г Є®в®але Ґ¤ЁЁзлҐ ®а¬ «Ё Ё¬Ґовбп Ґ
ў® ўбҐе в®зЄ е Ї®ўҐае®бвЁ. ‚ н⮬ б«гз Ґ Ї®пвЁҐ ®аЁҐвЁа㥬®©
Ї®ўҐае®бвЁ ўў®¤пв Ї® ¤агЈ®¬г. „«п б«гз п Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®©
Ї®ўҐае®бвЁ (1) Ї®пвЁҐ ®аЁҐв жЁЁ Ґ Ё§¬ҐпҐвбп. „ «ҐҐ ¤Ґ« Ґвбп
в Є®Ґ § ¬Ґз ЁҐ: ўлЎ®а Їа ў«ҐЁп ®а¬ «Ё ¤«п Ї®ўҐае®бвЁ (1)
®¤®§ з® бўп§ б «Ґў®бв®а®Ё¬ ®Ўе®¤®¬ нв®© Ї®ўҐае®бвЁ ў¤®«м
Ја Ёжл, ў§Ј«пгў Ї®ўҐае®бвм б Їа®вЁў®Ї®«®¦®© бв®а®л (в.Ґ.
ўлЎа ў Їа®вЁў®Ї®«®¦®Ґ Їа ў«ҐЁҐ Ґ¤ЁЁз®© ®а¬ «Ё), ¬л гўЁ¤Ё¬,
зв® «Ґў®бв®а®Ё© ®Ўе®¤ бв « Їа ў®бв®а®Ё¬ Ё ®Ў®а®в. „ «ҐҐ,
Їгбвм Ё¬ҐҐвбп $\Gamma\in\mathcal{B}_3$ Ё
$$\Gamma=\cup_{i=1}^n\Gamma_i,$$ $\Gamma_i$ -- Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁҐ
Ї®ўҐае®бвЁ ўЁ¤ (1), ЁЄ ЄЁҐ ¤ўҐ Ё§ Є®в®але Ґ Ё¬Ґов ®ЎйЁе
ўгв२е в®зҐЄ. …б«Ё е®вп Ўл ®¤ Ё§ $\Gamma_i$ Ґ пў«пҐвбп
®аЁҐвЁа㥬®©, в® Ї® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁо Ї®ўҐае®бвм $\Gamma$ в Є¦Ґ
бзЁв Ґвбп Ґ ®аЁҐвЁа㥬®©. Џгбвм ⥯Ґам Є ¦¤ п Ё§ Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁе
Ї®ўҐае®б⥩ $\Gamma_i$ пў«пҐвбп ®аЁҐвЁа㥬®©. ќв®, ў з бв®бвЁ,
®§ з Ґв, зв® ўлЎа ®¤Ё Ё§ ¤ўге ў аЁ в®ў ®Ўе®¤ Ја Ёж Є ¦¤®©
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®© Ї®ўҐае®бвЁ $\Gamma_i$. Ѓг¤Ґ¬ §лў вм ®Ўе®¤л
Ја Ёж $\Gamma_i$ б®Ј« б®ў л¬Ё ¬Ґ¦¤г б®Ў®©, Ґб«Ё ¤«п «оЎ®© Ї ал
$\Gamma_i$, $\Gamma_k$ ®ЎйЁҐ в®зЄЁ нвЁе ¬®¦Ґбвў, Є®в®алҐ,
Є®Ґз®, ¬®Јгв 室Ёвмбп в®«мЄ® Ја Ёж е нвЁе ¬®¦Ґбвў,
Їа®е®¤пвбп ЇаЁ ўлЎа ле ®Ўе®¤ е ў Їа®вЁў®Ї®«®¦ле Їа ў«ҐЁпе.
€в Є, Ґб«Ё ®Ўе®¤л Ја Ёж ¬®¦Ґбвў $\Gamma_i$ ¬®¦® б®Ј« б®ў вм, в®
$\Gamma$ §лў Ґвбп ®аЁҐвЁа㥬®©, Ґб«Ё ®Ўе®¤л б®Ј« б®ў вм
Ґў®§¬®¦®, в® $\Gamma$ §лў Ґвбп Ґ®аЁҐвЁа㥬®©. ‚ б«гз Ґ
®аЁҐвЁа㥬®© Ї®ўҐае®бвЁ Ї®б«Ґ ўлЎ®а ўбҐе Їа ў«ҐЁ© ®Ўе®¤
Ја Ёж $\Gamma_i$, Їа ў«ҐЁп ®а¬ «Ґ© ўгваЁ $\Gamma_i$ ўлЎЁа ов
в Є, зв®Ўл Ї®«гз ойЁ©бп ®Ўе®¤ Ја Ёжл Ё§ ўҐаиЁл ®а¬ «Ё ўЁ¤Ё«бп
«Ґў®бв®а®Ё¬.
ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ Ї®ўҐае®бвле ЁвҐЈа «®ў ўв®а®Ј® த ¤«п
а бᬮваҐле ®аЁҐвЁа㥬ле Ї®ўҐае®б⥩ б®ўЇ ¤ Ґв б (2).
ЌҐЄ®в®ал¬ ®Ў®ЎйҐЁҐ¬ нв®Ј® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп пў«пҐвбп Ї®пвЁҐ Ї®в®Є
ҐЇаҐалў®Ј® ўҐЄв®а®Ј® Ї®«п $a=(a_x,a_y,a_z)$ зҐаҐ§
®аЁҐвЁа®ў го Ї®ўҐае®бвм $\Gamma^+$. ’ Є §лў ов ЁвҐЈа «
$$\int_{\Gamma}\bigl(n,a\bigr)\,dS,$$ Ј¤Ґ $n(\cdot)$ -- ўлЎа п
®аЁҐв жЁп Ї®ўҐае®бвЁ, $\bigl(n,a\bigr)$ -- бЄ «п஥
Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁҐ ўҐЄв®а®ў. ЏаЁ н⮬ Ї®ўҐае®бвлҐ ЁвҐЈа «л ўв®а®Ј®
த ¬®¦® бзЁв вм Ї®в®Є ¬Ё бЇҐжЁ «м®Ј® ўЁ¤ ўҐЄв®але Ї®«Ґ©. Љ
ЇаЁ¬Ґаг, ў б«гз Ґ ЇҐаў®Ј® Ё§ ЁвҐЈа «®ў ў (2) ўҐЄв®а®Ґ Ї®«Ґ $a$
Ё¬Ґ«® ўЁ¤ $(0,0,f(x,y,z))$.
‘ў®©бвў Ї®ўҐае®бвле ЁвҐЈа «®ў ўв®а®Ј® த пў«повбп б«Ґ¤бвўЁҐ¬
бў®©бвў Ї®ўҐае®бвле ЁвҐЈа «®ў ЇҐаў®Ј® த . ЏҐаҐзЁб«Ё¬ Ёе
§ў Ёп:\\ 1) ¤¤ЁвЁў®бвм (Ї® ®Ў« бвЁ ЁвҐЈаЁа®ў Ёп),\\ 2)
«ЁҐ©®бвм (Ї® ЁвҐЈаЁагҐ¬л¬ дгЄжЁп¬).\\ ’ Є¦Ґ Є Є Ё ¤«п
ЄаЁў®«ЁҐ©ле ЁвҐЈа «®ў ўв®а®Ј® த , бў®©бвў® Ї®«®¦ЁвҐ«м®бвЁ
¤«п Ї®ўҐае®бвле ЁвҐЈа «®ў ўв®а®Ј® த , ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап, Ґ
ўлЇ®«пҐвбп.