Добавил:
Studfiles
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:
\section*{‹ҐЄжЁп 13.}
”®а¬г« ѓ гбб -Ћбва®Ја ¤бЄ®Ј®. „ЁўҐаЈҐжЁп ўҐЄв®а®Ј® Ї®«п, ҐҐ
дЁ§ЁзҐбЄЁ© б¬лб«. ”®а¬г« ‘в®Єб . ђ®в®а ўҐЄв®а®Ј® Ї®«п, ҐЈ®
дЁ§ЁзҐбЄЁ© б¬лб«.
ЋЎа вЁ¬бп Є а бᬮв२о д®а¬г«л ѓ гбб -Ћбва®Ја ¤бЄ®Ј®. Џгбвм
$$Z(\varphi_1,\varphi_2)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ |\ (x,y)\in T,\
\varphi_1(x,y) \leqslant z \leqslant\varphi_2(x,y)\},\qquad
T\in\mathcal{T}_2,$$ $\varphi_1(\cdot)$, $\varphi_2(\cdot)$ --
ҐЇаҐалўлҐ $T$ дгЄжЁЁ, ЇаЁ ¤«Ґ¦ йЁҐ Є« ббг
$C^1(\widehat{T})$, $\varphi_1(x,y)\leqslant\varphi_2(x,y)$ ЇаЁ
Є ¦¤®¬ $(x,y)\in T$. ЋЄ §лў Ґвбп, зв® Ја Ёжг $\Gamma$ ¬®¦Ґбвў
$Z$, б®бв®пйго Ё§ $\Gamma_0$ -- Ў®Є®ў®© Ї®ўҐае®бвЁ $Z$ Ё
Ї®ўҐае®б⥩ $$\Gamma_1=\{(x,y,\varphi_1(x,y))\in\mathbb{R}^3\ |\
(x,y)\in T \},\quad
\Gamma_2=\{(x,y,\varphi_2(x,y))\in\mathbb{R}^3\ |\ (x,y)\in T\}$$
¬®¦® ®аЁҐвЁа®ў вм. ќвг ®аЁҐв жЁо, в.Ґ. дгЄжЁо $n(M)$,
$M\in\Gamma$, ¬®¦® ўлЎа вм в Є, зв®Ўл Ї®б«Ґ¤пп Є®¬Ї®Ґв
ўҐЄв®а $n(M)$ ў® ўгв२е в®зЄ е $M\in\Gamma_2$, Ўл« Ўл Ў®«миҐ
г«п (Ёл¬Ё б«®ў ¬Ё ўҐЄв®а $n(M)$ б®бв ў«п« Ўл ®бвал© гЈ®« б
Їа ў«ҐЁҐ¬ ®бЁ $Oz$), ў® ўгв२е в®зЄ е $M\in\Gamma_1$,
Ўл« Ўл ¬ҐмиҐ г«п (Ёл¬Ё б«®ў ¬Ё ўҐЄв®а $n(M)$ б®бв ў«п« Ўл
вгЇ®© гЈ®« б Їа ў«ҐЁҐ¬ ®бЁ $Oz$). ЏаЁ н⮬ ®аЁҐв жЁп, в.Ґ.
§ 票п $n(M)$ ў в®зЄ е Ї®ўҐае®бвЁ $\Gamma_0$ (нв з бвм
Ї®ўҐае®бвЁ б®бв®Ёв Ё§ ®в१Є®ў Їап¬ле, Ї а ««Ґ«мле ®бЁ $Oz$,
Ўлвм ¬®¦Ґв ўл஦¤ ойЁебп ў в®зЄг) ¤«п ¤ «мҐ©иҐЈ® Ґ в Є Ё ў ¦ .
‚ ¦® «Ёим в®, зв® нвЁ § 票п (®Ё ЇаҐ¤бв ў«пов Ё§ бҐЎп ўҐЄв®а
ў $\mathbb{R}^3$) ЇҐаЇҐ¤ЁЄг«пал ®бЁ $Oz$. ‚лЎа го ®аЁҐв жЁо
Ї®ўҐае®бвЁ $\Gamma$ Ўг¤Ґ¬ ®в¬Ґз вм § Є®¬ $"+"$: $\Gamma_0^+$,
$\Gamma_1^+$, $\Gamma_2^+$. „«п ЇаЁ¬Ґа ўлзЁб«Ё¬ Є®¬Ї®Ґвл
®а¬ «Ё ¤«п $\Gamma_2^+$: $${\rm det}\begin{vmatrix}i& j& k\\1& 0&
\frac{\partial\varphi_2}{\partial x}\\0& 1&
\frac{\partial\varphi_2}{\partial y}\end{vmatrix}=
\bigl(-\frac{\partial\varphi_2}{\partial
x},-\frac{\partial\varphi_2}{\partial y},1\bigr)$$ Ё, § зЁв,
ваҐвмп Є®¬Ї®Ґв ўҐЄв®а $n(M)$ ¤«п $M\in\Gamma_2$ а ў
$(1+(\frac{\partial\varphi_2}{\partial x})^2
+(\frac{\partial\varphi_2}{\partial y})^2)^{-1/2}$, ўлзЁб«Ґ®¬г ў
в®зЄҐ $M$. Ђ «®ЈЁз®, ваҐвмп Є®¬Ї®Ґв нв®Ј® ўҐЄв®а ¤«п
$M\in\Gamma_1$ а ў $-(1+(\frac{\partial\varphi_1}{\partial x})^2
+(\frac{\partial\varphi_1}{\partial y})^2)^{-1/2}$.
Џгбвм ⥯Ґам $f(\cdot)$ -- ҐЇаҐалў п ®Ў« бвЁ $Z$ дгЄжЁп,
®Ў« ¤ ой п ҐЇаҐалў®© $Z$ з бв®© Їа®Ё§ў®¤®© $\frac{\partial
f}{\partial z}$. ’®Ј¤ $$\int\!\!\int\!\!\int_{Z}\frac{\partial
f}{\partial z}\,dx\,dy\,dz=\int\!\!\!\int_T
\left(\int_{\varphi_1(x,y)}^{\varphi_2(x,y)} \frac{\partial
f}{\partial z}\,dz\right)\,dx\,dy=\int\!\!\!\int_T \bigl(
f(x,y,\varphi_2(x,y))-f(x,y,\varphi_1(x,y))\bigr)\,dx\,dy=$$
$$=\int\!\!\!\int_T f(x,y,\varphi_2(x,y))
\left(1+(\frac{\partial\varphi_2}{\partial x})^2
+(\frac{\partial\varphi_2}{\partial y})^2\right)^{-1/2}
\left(1+(\frac{\partial\varphi_2}{\partial x})^2
+(\frac{\partial\varphi_2}{\partial y})^2\right)^{1/2}\,dx\,dy-$$
$$-\int\!\!\!\int_T f(x,y,\varphi_1(x,y))
\left(1+(\frac{\partial\varphi_1}{\partial x})^2
+(\frac{\partial\varphi_1}{\partial y})^2\right)^{-1/2}
\left(1+(\frac{\partial\varphi_1}{\partial x})^2
+(\frac{\partial\varphi_1}{\partial y})^2\right)^{1/2}\,dx\,dy=$$
$$=\int\!\!\!\int_{\Gamma_2} f(x,y,z)
\bigl(n(x,y,z),(0,0,1)\bigr)\,dS+\int\!\!\!\int_{\Gamma_1}
f(x,y,z) \bigl(n(x,y,z),(0,0,1)\bigr)\,dS.$$ ’ Є Є Є
$\bigl(n(x,y,z),(0,0,1)\bigr)=0$ ¤«п $(x,y,z)\in\Gamma_0$, в®
®Є®з ⥫м п д®а¬г« Ё¬ҐҐв ўЁ¤
$$\int\!\!\int\!\!\int_{Z}\frac{\partial f}{\partial
z}\,dx\,dy\,dz=\int\!\!\!\int_{\Gamma^+} f(x,y,z)\,dx\,dy$$ --
ва®©®© ЁвҐЈа « Ї® ¬®¦Ґбвўг $Z$ ў ваҐе¬Ґа®¬ Їа®бва б⢥
бў®¤Ёвбп Є Ї®ўҐае®бв®¬г ЁвҐЈа «г ўв®а®Ј® த Ї® Ја ЁжҐ нв®Ј®
¬®¦Ґбвў (б ¤«Ґ¦ йЁ¬ ®Ўа §®¬ ўлЎа ®© ®аЁҐв жЁҐ© нв®©
Ја Ёжл). ќв д®а¬г« ®бв Ґвбп бЇа ўҐ¤«Ёў®© Ё ¤«п Ў®«ҐҐ б«®¦®
гбв஥ле ®Ў« б⥩ $W\in\mathcal{T}_3$. €¬Ґ®, Їгбвм ®Ў« бвм $W$
¬®¦Ґв Ўлвм а §¤Ґ«Ґ Є®Ґз®Ґ зЁб«® з б⥩ $\{Z_i\}_{i=1}^n$
а бᬮв८Ј® ўЁ¤ (Є Є ®Ўлз® ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґвбп, зв® ЁЄ ЄЁҐ ¤ўҐ Ё§
нвЁе з б⥩ Ґ Ё¬Ґов ®ЎйЁе ўгв२е в®зҐЄ). ’®Ј¤ ¬®¦®
Ї®Є § вм, зв® Ја Ёж $\Gamma$ ®Ў« бвЁ $W$ пў«пҐвбп ®аЁҐвЁа㥬®©
Ї®ўҐае®бвмо. ‚лЎЁа п Ї®«®¦ЁвҐ«м®© ®аЁҐв жЁҐ© $\Gamma^+$ вг, ЇаЁ
Є®в®а®© Їа ў«ҐЁҐ ®а¬ «Ё Є Ї®ўҐае®бвЁ $\Gamma$ пў«пҐвбп
ўҐиЁ¬ Ї® ®в®иҐЁо Є ®Ў« бвЁ $W$, ¬®¦® гбв ®ўЁвм, зв®
$$\int\!\!\int\!\!\int_{W}\frac{\partial f}{\partial
z}\,dx\,dy\,dz=\int\!\!\!\int_{\Gamma^+} f(x,y,z)\,dx\,dy$$ (ў
ЇаҐ¤Ї®«®¦ҐЁЁ ҐЇаҐалў®бвЁ дгЄжЁЁ $f$ Ё ҐҐ з бв®© Їа®Ё§ў®¤®©
Ї® ЇҐаҐ¬Ґ®© $z$ ®Ў« бвЁ $W$). ќвг д®а¬г«г Ё ¬®¦® Ўл«® Ўл
§ў вм д®а¬г«®© ѓ гбб -Ћбва®Ја ¤бЄ®Ј®, ®¤ Є® ®Ўлз® ҐҐ
§ ЇЁблў ов ў Ў®«ҐҐ бЁ¬¬ҐваЁз®¬ ўЁ¤Ґ. ЏаЁ н⮬ ¤ ў ©вҐ ᤥ« Ґ¬
¤®Ї®«ЁвҐ«м®Ґ ЇаҐ¤Ї®«®¦ҐЁҐ ® ў®§¬®¦®бвЁ а §¤Ґ«Ёвм ®Ў« бвм $W$
Є®Ґз®Ґ зЁб«® з б⥩ $\{Z_i\}_{i=1}^n$ Ґ в®«мЄ® ў Їа ў«ҐЁЁ
®бЁ $Oz$, ® в Є¦Ґ Ё ў Їа ў«ҐЁЁ Є ¦¤®© Ё§ ¤ўге ¤агЈЁе: $Ox$ Ё
$Oy$. Џгбвм $f$, $g$, $h$ - ҐЇаҐалўлҐ $W$ дгЄжЁЁ Є« бб
$C^1(W)$. ’®Ј¤ $$\int\!\!\int\!\!\int_{W}\left(\frac{\partial
h}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial
f}{\partial z}\right)\,dx\,dy\,dz=\int\!\!\!\int_{\Gamma^+}
h(x,y,z)\,dy\,dz+g(x,y,z)\,dz\,dx+f(x,y,z)\,dx\,dy.$$ ќв д®а¬г«
§лў Ґвбп д®а¬г«®© ѓ гбб -Ћбва®Ја ¤бЄ®Ј®. —Ёб«® $${\rm div}\, a=
\frac{\partial h}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial
y}+\frac{\partial f}{\partial z}$$ §лў Ґвбп ¤ЁўҐаЈҐжЁҐ©
ўҐЄв®а®Ј® Ї®«п $a=(h,g,f)$. ЏаЁ¬Ґпп ᤥ« лҐ ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп,
д®а¬г«г ѓ гбб -Ћбва®Ја ¤бЄ®Ј® ¬®¦® § ЇЁб вм Є Є
$$\int\!\!\int\!\!\int_{W}{\rm div}\,
a\,dx\,dy\,dz=\int\!\!\!\int_{\Gamma} \bigl(a,n\bigr)\,dS\eqno
(1)$$ -- ва®©®© ЁвҐЈа « Ї® ¬®¦Ґбвўг $W$ ®в ¤ЁўҐаЈҐжЁЁ
ўҐЄв®а®Ј® Ї®«п $a=(h,g,f)$ бў®¤Ёвбп Є Ї®ўҐае®бв®¬г ЁвҐЈа «г
ЇҐаў®Ј® த Ї® Ја ЁжҐ $\Gamma$ нв®Ј® ¬®¦Ґбвў ®в бЄ «па®Ј®
Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁп $\bigl(a,n\bigr)$ нв®Ј® ўҐЄв®а®Ј® Ї®«п Ё ўҐиҐ©, Ї®
®в®иҐЁо Є $W$, ®а¬ «Ё Є $\Gamma$ (Ё зҐ, -- а ўҐ Ї®в®Єг нв®Ј®
ўҐЄв®а®Ј® Ї®«п ў Їа ў«ҐЁЁ ўҐиҐ© ®а¬ «Ё Є $\Gamma$). …б«Ё
ў®бЇаЁЁ¬ вм Ї®«Ґ $a$ Є Є бЄ®а®бвм ¤ўЁ¦г饩бп ¦Ё¤Є®бвЁ, в®
ЁвҐЈа « ў Їа ў®© з бвЁ (1) ЇаҐ¤бв ў«пҐв Ё§ бҐЎп Є®«ЁзҐбвў®
¦Ё¤Є®бвЁ, Їа®вҐЄ о饩 зҐаҐ§ Ї®ўҐае®бвм $\Gamma$ ў § ¤ го
бв®а®г ў Ґ¤ЁЁж㠢६ҐЁ. —в®Ўл нв® Є®«ЁзҐбвў® (Ї®в®Є) Ўл«®
®в«Ёз® ®в г«п, б®Ј« б® (1), Ґ®Ўе®¤Ё¬®, зв®Ўл ўгваЁ $W$
室Ё«Ёбм Ёбв®зЁЄЁ (Ё«Ё бв®ЄЁ) ¦Ё¤Є®бвЁ (в.Ґ. ${\rm div}\,a\ne
0$). ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ¤ЁўҐаЈҐжЁп е а ЄвҐаЁ§гҐв Ёбв®зЁЄЁ Ї®«п $a$.
ЋЎбг¤Ё¬ ⥯Ґам ҐйҐ ®¤г д®а¬г«г, ®Ў®Ўй ойго 㦥 а бᬮваҐго
д®а¬г«г ѓаЁ . Ќ Ї®¬Ё¬, зв® д®а¬г« ѓаЁ Ї®§ў®«пҐв ᢥбвЁ
ўлзЁб«ҐЁҐ ¤ў®©®Ј® ЁвҐЈа « Ї® Ї«®бЄ®© ®Ў« бвЁ $S$ Є ўлзЁб«ҐЁо
ЄаЁў®«ЁҐ©®Ј® ЁвҐЈа « Ї® Ја ЁжҐ нв®© ®Ў« бвЁ. ЏаЁ ҐЄ®в®але
ЇаҐ¤Ї®«®¦ҐЁпе ®в®бЁвҐ«м® $S$, $f$ Ё $g$ ® ўлЈ«п¤Ёв в Є
$$\int\!\!\int_S\left(\frac{\partial f}{\partial x}
-\frac{\partial g} {\partial y}\right)\,dx\,dy=\int_{\partial
S^+}g(x,y)\,dx+f(x,y)\,dy.$$ ќв д®а¬г« ¬®¦Ґв Ўлвм а бЇа®бва Ґ
ЁвҐЈа «л Ї® ¬®¦Ґбвў ¬, а бЇ®«®¦Ґл¬ ®в®бЁвҐ«м®
Їа®Ё§ў®«мле Ї®ўҐае®бвпе, в.Ґ. Ї®ўҐае®бвлҐ ЁвҐЈа «л
(Є®®а¤Ё влҐ Ї«®бЄ®бвЁ -- нв® Їа®б⥩訩 ўЁ¤ Ї®ўҐае®бвЁ ў
$\mathbb{R}^3$). Џгбвм $dr=(dx,dy,dz)$, $n=(\cos\alpha,
\cos\beta, \cos\gamma)$ -- Їа ў«ҐЁҐ ®а¬ «Ё Є $S$, ЇаЁ Є®в®а®¬
ўлЎа ®Ґ ¤ўЁ¦ҐЁҐ Ї® Є®вгаг $\partial S^+$ ЇаҐ¤бв ў«пҐвбп
Ї®«®¦ЁвҐ«мл¬, $a=(f,g,h)$ - ҐЇаҐалў®Ґ $S$ ўҐЄв®а®Ґ Ї®«Ґ
Є« бб $C^1(T)$, $T$ -- ҐЄ®в®а п ®Ў« бвм, ᮤҐа¦ й п Ї®ўҐае®бвм
$S$ (®Ў« бвм $T$ вॡгҐвбп, зв®Ўл ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм з бвлҐ Їа®Ё§ў®¤лҐ
дгЄжЁ© $f$, $g$ Ё $h$). ’®Ј¤ $$\int_{\partial
S^+}f\,dx+g\,dy+h\,dz= \int\!\!\int_S{\rm
det}\begin{vmatrix}\cos\alpha&\cos\beta& \cos\gamma\\
\frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}&
\frac{\partial}{\partial z}\\f& g& h\end{vmatrix}\,dS.\eqno (2)$$
‚ҐЄв®а б Є®®а¤Ё в ¬Ё $$\frac{\partial h}{\partial
y}-\frac{\partial g}{\partial z},\qquad \frac{\partial f}{\partial
z}-\frac{\partial h}{\partial x},\qquad \frac{\partial g}{\partial
x}-\frac{\partial f}{\partial y}$$ §лў Ґвбп а®в®а®¬ Ё«Ё ўЁе६
Ї®«п $a$ Ё ®Ў®§ з Ґвбп ${\rm rot}\,a$. ЊҐ¬®ЁзҐбЄ®Ґ Їа ўЁ«® ¤«п
§ ЇЁбЁ нв®Ј® ўҐЄв®а б®бв®Ёв ў ўлЇЁблў ЁЁ ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«п $${\rm
rot}\,a={\rm det}\begin{vmatrix}i& j& k\\ \frac{\partial}{\partial
x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\f&
g& h\end{vmatrix}.$$ ђ®в®а е а ЄвҐаЁ§гҐв "§ ўЁе८бвм" Ї®«п ў
¤ ®© в®зЄҐ. ЏаЁ¬Ґпп ᤥ« лҐ ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп, § ЇЁиҐ¬ (2) ў ўЁ¤Ґ
$$\int_{\partial S^+}(a,\,dr)= \int\!\!\int_S({\rm
rot}\,a,n)\,dS.\eqno (2')$$ ”®а¬г«л (2), $(2')$ гбв ў«Ёў овбп
б з « Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁе Ї®ўҐае®бвпе ба ўҐЁҐ¬ «Ґў®© Ё Їа ў®©
з б⥩ а ўҐбвў (2), Ї®в®¬ а бЇа®бва повбп Ї® ¤¤ЁвЁў®бвЁ
Ў®«ҐҐ б«®¦лҐ Ї®ўҐае®бвЁ. ”Ё§ЁзҐбЄЁ© б¬лб« д®а¬г«л ‘в®Єб
§ Є«оз Ґвбп ў ҐҐ ЁвҐаЇаҐв жЁЁ Є Є $(2')$: жЁаЄг«пжЁп ўҐЄв®а®Ј®
Ї®«п $a$ ў¤®«м § ¬Єгв®Ј® Є®вга $\partial S$ а ў Ї®в®Єг а®в®а
нв®Ј® ўҐЄв®а®Ј® Ї®«п, зҐаҐ§ Ї®ўҐае®бвм, впгвго нв®в
Є®вга. —в®Ўл жЁаЄг«пжЁп Ўл« ®в«Ёз ®в г«п ¤«п ¬ «®Ј® Є®вга ,
®Єаг¦ о饣® ҐЄ®в®аго ўлЎа го в®зЄг Ї®ўҐае®бвЁ, Ї®«Ґ ¤®«¦®
Ї®ў®а зЁў вмбп (Ё¬Ґвм § ўЁе२Ґ) ўЎ«Ё§Ё нв®© в®зЄЁ.