Учебники, методички / Ряды. Кратные интегралы. Теория поля / t06

\section*{‹ҐЄжЁп 6.}

ђ §«®¦Ґ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ ў б⥯Ґ­­®© ап¤. …¤Ё­б⢥­­®бвм а §«®¦Ґ­Ёп.
ђп¤л ’Ґ©«®а  Ё Њ Є«®аҐ­ . ђ §«®¦Ґ­ЁҐ ў б⥯Ґ­­®© ап¤ ­ҐЄ®в®але
н«Ґ¬Ґ­в а­ле дг­ЄжЁ©. ЏаЁ¬Ґ­Ґ­ЁҐ б⥯Ґ­­ле а冷ў.

\noindent Ѓг¤Ґ¬ ®Ў®§­ з вм зҐаҐ§ $D^n(a,b)$ Є« бб дг­ЄжЁ©, Є®в®алҐ
ў Є ¦¤®© в®зЄҐ Ё­вҐаў «  $(a,b)$ ®Ў« ¤ о⠢ᥬЁ Їа®Ё§ў®¤­л¬Ё
Ї®ап¤Є  ®в 1 ¤® $n$ ўЄ«озЁвҐ«м­®. Ќ Ї®¬Ё­ ­ЁҐ.

\noindent{’Ґ®аҐ¬ } (д®а¬г«  ’Ґ©«®а  б ®бв в®з­л¬ з«Ґ­®¬ ў д®а¬Ґ
‹ Ја ­¦ )/$f:(a,b)\to\RR$, $n\in\NN$, $x_0\in(a,b)$, $f\in
D^n(a,b)$/$\Rightarrow$ §­ зҐ­ЁҐ $f(x)$, $x\in (a,b)$, ¬®¦Ґв Ўлвм
ЇаҐ¤бв ў«Ґ­® ў ўЁ¤Ґ
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2
+\dots +\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{(n-1)}+
\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\,(x-x_0)^{n},$$ Ј¤Ґ $\xi$ -- ­ҐЄ®в®а п
Їа®¬Ґ¦гв®з­ п в®зЄ  Ё­вҐаў «  $(a,b)$.


\noindent{ђп¤ ’Ґ©«®а }. Џгбвм $f\in C(a,b)$ ®Ў« ¤ Ґв Їа®Ё§ў®¤­л¬Ё
«оЎ®Ј® Ї®ап¤Є  ($f\in C^{\infty}(a,b)$). ЋЎ®§­ зЁ¬
$$T_n(f,x,x_0)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k$$ --
Ї®«Ё­®¬ ’Ґ©«®а  Ї®ап¤Є  $n\in\NN$ дг­ЄжЁЁ $f$ ў в®зЄҐ $x_0\in
(a,b)$. ђп¤®¬ ’Ґ©«®а  дг­ЄжЁЁ $f$ ў в®зЄҐ $x_0$ ­ §лў ов ап¤
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k.$$ ќв®в
ап¤ ЇаЁ $x_0=0$ Ё­®Ј¤  ­ §лў ов а冷¬ Њ Є«®аҐ­ . ”г­ЄжЁп $f$
­ §лў Ґвбп  ­ «ЁвЁзҐбЄ®© ­  $(a,b)$, Ґб«Ё ў Є ¦¤®© в®зЄҐ $x\in
(a,b)$ зЁб«®ў п Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм $T_n(f,x,x_0)$ б室Ёвбп ЇаЁ
$n\to\infty$ Є $f(x)$: $$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k.$$ Љ« бб  ­ «ЁвЁзҐбЄЁе ­ 
$(a,b)$ дг­ЄжЁ© ®Ў®§­ з ов ${\cal A}(a,b)$.

\noindent{ЏаЁ¬Ґа}. …б«Ё $p(x)$ --- Їа®Ё§ў®«м­л© Ї®«Ё­®¬, в® $p\in
{\cal A}(a,b)$.

\noindent{’Ґ®аҐ¬  1.} (¤®бв в®з­л© ЇаЁ§­ Є  ­ «ЁвЁз­®бвЁ дг­ЄжЁЁ)
/$f\in C^{\infty}(a,b)$, ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® $M>0$ ўлЇ®«­пҐвбп
$|f^{(n)}(x)|\leqslant M$ ЇаЁ Є ¦¤®¬ $x\in (a,b)$ Ё Є ¦¤®¬
$n\in\NN$/ $\Rightarrow$ $f\in {\cal A}(a,b)$.\\ „®Є § вҐ«мбвў®.
“бв ­®ўЁ¬ ЇаҐ¤ў аЁвҐ«м­®, зв® $$\lim_{n\to\infty}\frac
{a^n}{n!}=0\eqno (1)$$ ЇаЁ «оЎ®¬ дЁЄбЁа®ў ­­®¬ $a\in\RR$.
„Ґ©б⢨⥫쭮, ап¤ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac {a^n}{n!}$$ б室Ёвбп
Ї® ЇаЁ§­ Єг „ « ¬ЎҐа  ЇаЁ «оЎ®¬ $a\in\RR$ Ё, §­ зЁв, Ї®
­Ґ®Ўе®¤Ё¬®¬г ЇаЁ§­ Єг б室Ё¬®бвЁ нв®Ј® ап¤  ўлЇ®«­Ґ­® (1). „«п
Їа®ўҐаЄЁ  ­ «ЁвЁз­®бвЁ $f(\cdot)$ вॡгҐвбп гбв ­®ўЁвм, зв®
$$\lim_{n\to\infty}(f(x)-T_n(f,x,x_0))=0.$$ ‘®Ј« б­® д®а¬г«Ґ
’Ґ©«®а  б ®бв в®з­л¬ з«Ґ­®¬ ў д®а¬Ґ ‹ Ја ­¦ ,
$$\lim_{n\to\infty}|f(x)-T_n(f,x,x_0)|=
\lim_{n\to\infty}|\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\,(x-x_0)^{n}|\leqslant
M\lim_{n\to\infty}|\frac{(x-x_0)^{n}}{n!}|=0,$$ зв® Ё вॡ®ў «®бм
Їа®ўҐаЁвм.

\noindent{ЏаЁ¬Ґал}.

1) $f(x)=e^x$, $x_0=0$, $f^{(n)}(0)=1$, $f^{(n)}(x)=e^x$ ЇаЁ
$n\in\NN$ $\Rightarrow$ $|f^{(n)}(x)|\leqslant M=\max\{e^a, e^b\}$
­  $(a,b)$. Џ® ¤®бв в®з­®¬г ЇаЁ§­ Єг  ­ «ЁвЁз­®бвЁ дг­ЄжЁЁ
$$e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{x^k}{k\,!}$$ ­  Їа®Ё§ў®«м­®¬
Є®­Ґз­®¬ Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$,  , §­ зЁв, Ё ­  $\RR$.

2) $f(x)=\sin x$, $f^{(2k)}(0)=0$ ¤«п зҐв­ле $n=2k$ Ё $0$,
$f^{(2k+1)}(0)=(-1)^k$ ¤«п ­ҐзҐв­ле $n=2k+1$; Єа®¬Ґ в®Ј®
$|f^{(n)}(x)|\leqslant 1$ ­  $(a,b)$. Џ®н⮬г $$\sin
x=\sum_{k=0}^{\infty}\ (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\,,\qquad
x\in\RR.$$

3) $f(x)=\cos x$, $f^{(2k)}(0)=(-1)^k$ ¤«п зҐв­ле $n=2k$ Ё $0$,
$f^{(2k+1)}(0)=0$ ¤«п ­ҐзҐв­ле $n=2k+1$; Єа®¬Ґ в®Ј®
$|f^{(n)}(x)|\leqslant 1$ ­  $(a,b)$. Џ®нв®¬г  $$\cos
x=\sum_{k=0}^{\infty}\ (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}\,,\qquad
x\in\RR.$$

4) $${\rm sh}\,x=\frac{e^x-e^{-x}}2=\sum_{k=0}^{\infty}\
\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\,,\qquad x\in\RR.$$

5) $${\rm ch}\,x=\frac{e^x+e^{-x}}2=\sum_{k=0}^{\infty}\
\frac{x^{2k}}{(2k)!}\,,\qquad x\in\RR.$$

6) Їгбвм $a\in\RR$ -- дЁЄбЁа®ў ­®. ’®Ј¤ 
$$(1+x)^a=1+\sum_{k=1}^{\infty}\ \frac{a(a-1)\dots (a-k+1)
}{k!}x^{k}\,,\qquad x\in (-1,1).$$

„«п а §«®¦Ґ­Ёп  ­ «ЁвЁзҐбЄЁе дг­ЄжЁ© ў б⥯Ґ­­лҐ ап¤л ЇаЁ¬Ґ­повбп
в Є¦Ґ вҐ®аҐ¬л ® Ї®з«Ґ­­®¬ ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁЁ Ё Ё­вҐЈаЁа®ў ­ЁЁ
б⥯Ґ­­ле а冷ў. Ќ Ї®¬Ё­ ­ЁҐ.\\ ’Ґ®аҐ¬ . /$R>0$ -- а ¤Ёгб
б室Ё¬®бвЁ ап¤  $S(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n$/ $\Rightarrow$
$S(\cdot)\in C^1(-R,R)$ Ё $$S'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cdot n)
z^{n-1},\quad \int_0^z S(t)\,dt=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n/(n+1))
z^{n+1},\quad z\in(-R,R).$$

7) $$\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}\
(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}\,,\qquad x\in (-1,1),$$ в.Є. $$\frac
1{1+x}=1-x+x^2-x^3+\dots+ (-1)^k x^k+\dots\,,\qquad x\in (-1,1).$$
{\scriptsize 8) Ќ ©¤Ґ¬ а §«®¦Ґ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ $\arcsin$ ў ап¤. „«п
нв®Ј® § ¬ҐвЁ¬, зв® $(\arcsin x)'=(1-x^2)^{-1/2}$. Џ®н⮬г
$$(\arcsin x)'=1+\sum_{k=1}^{\infty}\ \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot
\dots\,\cdot (2k-1) }{2^k k!}x^{2k}\,,\qquad x\in (-1,1),$$
$$\arcsin x=x+\sum_{k=1}^{\infty}\ \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot
\dots\,\cdot (2k-1) }{2^k k!}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\,,\qquad x\in
(-1,1).$$ 9) Ђ­ «®ЈЁз­®, Ї®«м§гпбм а ўҐ­бвў®¬ $(\arctan
x)'=(1+x^2)^{-1}$, ­ ©¤Ґ¬ $$\arctan x=\sum_{k=1}^{\infty}\
(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\,,\qquad x\in (-1,1).$$}

„«п Ёбб«Ґ¤®ў ­Ёп ЇаҐ¤бв ў«Ґ­Ё© дг­ЄжЁ© б⥯Ґ­­л¬Ё ап¤ ¬Ё
®Є §лў Ґвбп Ї®«Ґ§­®© ⥮६  ® Ґ¤Ё­б⢥­­®бвЁ в Є®Ј®
ЇаҐ¤бв ў«Ґ­Ёп:\\ ’Ґ®аҐ¬  2. /$\sum_{n=0}^{\infty}a_n
(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^{\infty}b_n (x-x_0)^n$, $|x-x_0|<R$, $R>0$/
$\Rightarrow$ $a_n=b_n$, $n=0,1,2,\dots\,$.\\ „®Є § вҐ«мбвў®. Џ®
гб«®ўЁп¬ ⥮६л $$a_0-b_0=(x-x_0)\cdot f(x),$$ Ј¤Ґ
$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(b_n-a_n)(x-x_0)^{n-1}$ -- ­ҐЇаҐалў­ п ­ 
$(x_0-R,x_0+R)$ дг­ЄжЁп. Џ®н⮬г $$a_0-b_0=\lim_{x\to x_0}
(a_0-b_0)=\lim_{x\to x_0}(x-x_0)\cdot f(x)=0,$$ $a_0=b_0$. „ «ҐҐ,
®Їпвм ¦Ґ Ё§ гб«®ўЁ© ⥮६л б«Ґ¤гҐв, зв®
$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cdot n\cdot (x-x_0)^{n-1}=
\sum_{n=1}^{\infty}b_n\cdot n\cdot (x-x_0)^{n-1},\quad
|x-x_0|<R.$$ Џ®н⮬г, Ї®  ­ «®ЈЁз­®© ЇаЁзЁ­Ґ, $a_1=b_1$ Ё,
Ї®ўв®апп а бб㦤Ґ­Ёп,  $a_n=b_n$, $n=0,1,2,\dots\,$.

‘⥯Ґ­­лҐ ап¤л ­ е®¤пв иЁа®Є®Ґ ЇаЁ¬Ґ­Ґ­ЁҐ ў а §­ле ­ Їа ў«Ґ­Ёпе. ‚
Є зҐб⢥ ЇаЁ¬Ґа®ў б«Ґ¤гҐв ЇаҐ¦¤Ґ ўбҐЈ® ўл¤Ґ«Ёвм Ёе ЁбЇ®«м§®ў ­ЁҐ
¤«п ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­­ле ўлзЁб«Ґ­Ё©. Ќ ЇаЁ¬Ґа, зв®Ўл ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­­® ­ ©вЁ
$\sin 1$ ¬®¦­® ў®бЇ®«м§®ў вмбп а冷¬ $$\sin 1=1-\frac 1{3!}+\frac
1{5!}-\frac 1{7!}+\dots\,.$$ ‚лзЁб«пп Є Єго-­ЁЎг¤м з бвЁз­го б㬬г
нв®Ј® ап¤ , Ї®«гз ов в® Ё«Ё Ё­®Ґ ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­­®Ґ §­ зҐ­ЁҐ ¤«п $\sin
1$. Ћ¤­ Є® з бв® ­ҐЇ®б।б⢥­­®Ґ ЁбЇ®«м§®ў ­ЁҐ а冷ў ’Ґ©«®а  ў
нвЁе 楫пе ­Ґнд䥪⨢­® -- ЇаҐ¤ў аЁвҐ«м­® вॡговбп ­ҐЄ®в®алҐ
¤®Ї®«­ЁвҐ«м­лҐ ¤Ґ©бвўЁп. ’ Є, зв®Ўл ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­­® ўлзЁб«Ёвм
$\sqrt[3]{9}$ § ЇЁблў ов $$\sqrt[3]{9}=2(1+1/8)^{1/3}$$ Ё Ї®в®¬
Ї®«м§говбп а冷¬ Ё§ ЇаЁ¬Ґа  6). ‚ Є зҐб⢥ ҐйҐ ®¤­®Ј® ЇаЁ¬Ґа 
ЇаЁўҐ¤Ґ¬ ў®§¬®¦­®бвм ўлзЁб«Ґ­Ёп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­ле Ё­вҐЈа «®ў ®в
"­ҐЎҐагйЁебп Ё­вҐЈа «®ў": $$\int_0^1\frac{\sin x}x\,dx=
\int_0^1(1-\frac {x^2}{3!}+\frac {x^4}{5!}-\frac
{x^6}{7!}+\dots)\,dx= 1-\frac 1{3!\cdot 3}+\frac 1{5!\cdot
5}-\frac 1{7!\cdot 7}+\dots$$