Скачиваний:
81
Добавлен:
24.04.2014
Размер:
10.89 Кб
Скачать
\section*{‹ҐЄжЁп 8.}

‚лзЁб«Ґ­ЁҐ ¤ў®©­®Ј® Ё­вҐЈа «  Їг⥬ ᢥ¤Ґ­Ёп ҐЈ® Є Ї®ўв®а­®¬г.
‚лзЁб«Ґ­ЁҐ ¤ў®©­®Ј® Ё­вҐЈа «  ў Ї®«па­®© бЁб⥬Ґ Є®®а¤Ё­ в.

„«п ­ҐЇаҐалў­ле дг­ЄжЁ© $f\in C(T)$, § ¤ ­­ле ­  ¬­®¦Ґбвў е
$T\subset\mathbb{R}^2$ ўЁ¤  $Y(\varphi_1,\varphi_2)$ Ё«Ё
$X(\phi_1,\phi_2)$, Ё¬ҐҐвбп д®а¬г« , Ї®§ў®«пой п ᢥбвЁ ўлзЁб«Ґ­ЁҐ
¤ў®©­®Ј® Ё­вҐЈа «  ®в $f(\cdot)$ Ї® $T$ Є ўлзЁб«Ґ­Ёо ®¤­®Єа в­ле
Ё­вҐЈа «®ў. Џгбвм $\varphi_1(\cdot),\varphi_2(\cdot)\in C[a,b]$
$$Y(\varphi_1,\varphi_2)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ x\in [a,b],\
\varphi_1(x) \leqslant y \leqslant\varphi_2(x)\},$$
$\varphi_1(x)\leqslant\varphi_2(x)$ ЇаЁ Є ¦¤®¬ $x\in[a,b]$. ’®Ј¤ 
$$\int\!\!\int_{Y}f(x,y)\,dx\,dy= \lim_{n\to\infty} S_n(f,Y),\quad
{\rm Ј¤Ґ}\ S_n(f,Y)=n^{-2}\sum_{(\frac in,\frac jn)\in
Y}f\left(\frac in,\frac jn\right).$$ ’Ґ®аҐ¬  1 (ЎҐ§
¤®Є § вҐ«мбвў ). /$\varphi_1,\varphi_2\in C[a,b]$,
$\varphi_1(x)\leqslant\varphi_2(x)$, $x\in[a,b]$, $f\in
C(Y(\varphi_1,\varphi_2))$/ $\Rightarrow$
$$\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy\in C[a,b].$$
{\scriptsize Ќ Ї®¬­Ё¬ ®¤­® Ё§ ў®§¬®¦­ле ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ё© ®¤­®Єа в­®Ј®
Ё­вҐЈа «  ®в ­ҐЇаҐалў­®© дг­ЄжЁЁ $g\in C[a,b]$ Ї® ®в१Єг $[a,b]$:
$$\int_a^bg(x)\,dx=\lim_{n\to\infty} S_n(g,[a,b]),\quad
S_n(g,[a,b])=n^{-1}\sum_{\frac in\in[a,b]}g\left(\frac
in\right).$$ ЏаҐ®Ўа §гҐ¬ ўла ¦Ґ­ЁҐ ¤«п $S_n(f,Y)$:
$$S_n(f,Y)=n^{-1}\sum_{\frac in\in [a,b]}\left(n^{-1}\sum_{\frac
jn\in [\varphi_1(\frac in),\varphi_2(\frac in)]} f\left(\frac
in,\frac jn\right)\right).\eqno (1)$$ ‚­гв७­пп б㬬  ў (1) ЇаЁ
Є ¦¤®¬ $i$, 㤮ў«Ґвў®апойЁ¬ гб«®ўЁо $\frac in\in [a,b]$, б®ўЇ ¤ Ґв
б $S_n(f(\frac in,\cdot),[\varphi_1(\frac in),\varphi_2(\frac
in)])$. ЏаЁ $n$ бв६п饬бп Є ЎҐбЄ®­Ґз­®бвЁ Ё Є ¦¤®¬ дЁЄбЁа®ў ­­®¬
$x\in [a,b]$ бг¬¬л ўЁ¤ 
$S_n(f(x,\cdot),[\varphi_1(x),\varphi_2(x)])$ б室пвбп Є
$$F(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy.$$ ЋЎа §гҐ¬
$$S_n(F,[a,b])=n^{-1}\sum_{\frac in\in[a,b]}F\left(\frac
in\right),\eqno (2)$$ Є®в®а п б а®б⮬ $n$ б室Ёвбп Є $$\int_a^b
F(x)\,dx=\int_a^b\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}
f(x,y)\,dy\right)\,dx.$$ ‚­Ґи­Ґ Їа ў п з бвм (1) Ё Ё­вҐЈа «м­лҐ
бг¬¬л Ё§ (2) ўҐбм¬  Ї®е®¦Ё: б ®¤­®© бв®а®­л -- нв® (1), б ¤агЈ®©
$$n^{-1}\sum_{\frac in\in [a,b]}\left((n_i)^{-1}\sum_{\frac
j{n_i}\in [\varphi_1(\frac i{n_i}),\varphi_2(\frac i{n_i})]}
f\left(\frac i{n_i},\frac j{n_i}\right)\right).$$ ‚ ЇҐаў®¬ б«гз Ґ
¤«п ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп Ё­вҐЈа «м­ле б㬬 ­г¦­® ўлЎа вм ®¤­® $n$, ў®
ўв®а®¬ Ё­вҐЈа «м­лҐ бг¬¬л ®ЇаҐ¤Ґ«повбп § ¤ ­ЁҐ¬ ­ Ў®а  ­ вга «м­ле
зЁбҐ« $n$ Ё $n_i$, $i=1,\dots,n$. „®Є § вҐ«мбвў® в®Ј®, зв®
®Ўа §®ў ­­лҐ Ё­вҐЈа «м­лҐ бг¬¬л Ё¬Ґов ®¤Ё­ Є®ўл© ЇаҐ¤Ґ« вॡгҐв
­ҐЄ®в®але а бб㦤Ґ­Ё©, бўп§ ­­ле б Ї®­пвЁҐ¬ а ў­®¬Ґа­®©
­ҐЇаҐалў­®бвЁ дг­ЄжЁ©. Њл ­Ґ Ўг¤Ґ¬ Ёе Їа®ў®¤Ёвм,   ­ ЇЁиҐ¬
®б­®ў­®Ґ б«Ґ¤бвўЁҐ нв®Ј® д Єв :}\\ ’Ґ®аҐ¬  2 (ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў ).
/$f\in C(T)$, $T=Y(\varphi_1,\varphi_2)$/ $\Rightarrow$
$$\int\!\!\int_{T}f(x,y)\,dx\,dy=\int_a^b
\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}
f(x,y)\,dy\right)\,dx.\eqno (3)$$ Ђ­ «®ЈЁз­®, Ґб«Ё $f\in C(T)$,
$T=X(\phi_1,\phi_2)$, $\phi_1(\cdot),\phi_2(\cdot)\in C[c,d]$ в®
$$\int\!\!\int_{T}f(x,y)\,dx\,dy=\int_a^b \left(
\int_{\phi_1(y)}^{\phi_2(y)} f(x,y)\,dx\right)\,dy.\eqno (4)$$
Џа ўлҐ з бвЁ (3) Ё (4) ­ §лў ов Ї®ўв®а­л¬Ё Ё­вҐЈа « ¬Ё,   б ¬Ё
а ўҐ­бвў   (3) Ё (4) -- ᢥ¤Ґ­ЁҐ¬ ¤ў®©­®Ј® Ё­вҐЈа «  Є Ї®ўв®а­®¬г.

„агЈЁ¬ ў ¦­л¬ ў®Їа®б®¬, з бв® ў®§­ЁЄ ойЁ¬ ЇаЁ ўлзЁб«Ґ­ЁЁ Єа в­ле
Ё­вҐЈа «®ў, пў«пҐвбп ў®Їа®б ® § ¬Ґ­Ґ ЇҐаҐ¬Ґ­­ле ў в Є®¬ Ё­вҐЈа «Ґ.
—в®Ўл Ї®­пвм Є Є Їа®Ё§ў®¤Ёвбп в Є п § ¬Ґ­ , а бᬮваЁ¬ Їа®б⥩訩
б«гз © ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёп Ї«®бЄ®бвЁ: $$x\leftrightarrow 2t,\quad
y\leftrightarrow y.\eqno (5)$$ Џгбвм $f\in C(T)$,
$$T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ x,y\in [0,1]\}.$$ „Ґ« п § ¬Ґ­г
ЇҐаҐ¬Ґ­­ле (5), ¬л ў¬Ґбв® ўҐ«ЁзЁ­ ўЁ¤  $x$ Ї®¤бв ў«пҐ¬ $2t$,  
ўҐ«ЁзЁ­л ўЁ¤  $y$ ®бв ў«пҐ¬ ЎҐ§ Ё§¬Ґ­Ґ­Ёп. ЏаЁ н⮬ Єў ¤а в
$T\subset (Oxy)$ ЇаҐ®Ўа §гҐвбп ў Їаאַ㣮«м­ЁЄ
$$S=\{(t,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ t\in [0,1/2],\ y\in[0,1]\},$$
$S\subset (Oty)$. ”г­ЄжЁп $f(\cdot)$ ЇҐаҐ¬Ґ­­ле $(x,y)$
ЇаҐ®Ўа §гҐвбп ў дг­ЄжЁо $g(\cdot)$ ЇҐаҐ¬Ґ­­ле $(t,y)$. ќв  дг­ЄжЁп
ўлзЁб«пҐвбп Ї® Їа ўЁ«г $g(t,y)=f(2t,y)$. Њл е®вЁ¬ ®в
Ё­вҐЈаЁа®ў ­Ёп $f$ Ї® ®Ў« бвЁ $T$ ЇҐаҐ©вЁ Є ўлзЁб«Ґ­Ёо ¤ў®©­®Ј®
Ё­вҐЈа «  Ї® ®Ў« бвЁ $S$ ®в ­ҐЄ®в®а®© дг­ЄжЁЁ $h$, Є ЄЁ¬-в®
бЇ®б®Ў®¬ бўп§ ­­®© б $g$, б ⥬ зв®Ўл
$$\int\!\!\int_{T}f(x,y)\,dx\,dy=
\int\!\!\int_{S}h(t,y)\,dt\,dy.$$ ќв  § ¤ з  «ҐЈЄ® аҐи Ґвбп ЇаЁ
Ї®¬®йЁ д®а¬г«л (3): $$\int\!\!\int_{T}f(x,y)\,dx\,dy=
\int\limits_0^1 \left( \int\limits_0^1
f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int\limits_0^{1/2} \left(\int\limits_0^1
g(t,y)\,dy\right)2\,dt= \int\!\!\int_S g(t,y)2\,dt\,dy$$ Ё,
§­ зЁв, $h(t,y)=2g(t,y)$.

{\scriptsize Ќ ¬ҐвЁ¬ б奬г, Ї® Є®в®а®© ¬®¦­® ўлўҐбвЁ нв®в
१г«мв в ­ҐЇ®б।б⢥­­®. Ѓг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® ў­Ґ ®Ў« бвЁ $T$
дг­ЄжЁп $f$ ўбо¤г а ў­  ­г«о. ‡ дЁЄбЁа㥬 $n\in\mathbb{N}$ Ё
®Ў®§­ зЁ¬ $$T_{i,j}=\{(x,y)\ |\ i/n\leqslant x\leqslant(i+1)/n,\
j/n\leqslant y\leqslant(j+1)/n\}$$ -- Єў ¤а в ў Ї«®бЄ®бвЁ $(Oxy)$
б® бв®а®­®© $1/n$. ЋЎа §®¬ нв®Ј® Єў ¤а в  (ў Ї«®бЄ®бвЁ $(Oty)$)
ЇаЁ Ё§гз Ґ¬®¬ ®в®Ўа ¦Ґ­ЁЁ Ўг¤Ґв Їаאַ㣮«м­ЁЄ $$T'_{i,j}=\{(t,y)\
|\ i/(2n) \leqslant t\leqslant(i+1)/(2n),\ j/n\leqslant
y\leqslant(j+1)/n\}$$ б® бв®а®­ ¬Ё  $1/(2n)$ Ё $1/n$. …Ј® Ї«®й ¤м
ў ¤ў  а §  ¬Ґ­миҐ Ї«®й ¤Ё Єў ¤а в  $T_{i,j}$. ‚믨襬 ­ҐЄ®в®а®Ґ
Є®«ЁзҐбвў® а ўҐ­бвў, Ё§ Є®в®але Ї®«гз Ґвбп вॡ㥬®Ґ (­ҐЄ®в®алҐ Ё§
а ўҐ­бвў ЇаЁў®¤пвбп ЎҐ§ ¤®бв в®з­®Ј® ®Ў®б­®ў ­Ёп):
$$S_n(f,T)=n^{-2}\sum_{(\frac in,\frac jn)\in T}f\left(\frac
in,\frac jn\right)= n^{-2}\sum_{(\frac {i}{2n},\frac {2j}{2n})\in
S}g\left(\frac i{2n},\frac{2j}{2n}\right)\approx$$ $$\approx
n^{-2}\sum_{(\frac {i}{2n},\frac {2j}{2n})\in S}\frac
12(g\left(\frac i{2n},\frac {2j}{2n} \right)+g\left(\frac
{i}{2n},\frac {2j+1}{2n}\right))=2\cdot(2n)^{-2}\sum_{(\frac
i{2n},\frac j{2n})\in S}g\left(\frac i{2n},\frac j{2n}\right).$$
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, $$S_n(f,T)\approx 2S_{2n}(g,S).$$ ‚ ЇаҐ¤Ґ«Ґ ЇаЁ
$n\to\infty$ ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­­®Ґ а ўҐ­бвў® § ¬Ґ­пҐвбп в®з­л¬,  
Ё­вҐЈа «м­лҐ б㬬л -- Єа в­л¬Ё Ё­вҐЈа « ¬Ё.}

ђ бᬮв७­ п б奬  ¤®Є § вҐ«мбвў  а бЇа®бва ­пҐвбп Ё ­  ®ЎйЁ©
б«гз © § ¬Ґ­л ЇҐаҐ¬Ґ­­ле. …Ґ ®б­®ў­ п з бвм б®бв®Ёв ў ®б­®ў­®¬ ў
 ­ «Ё§Ґ в®Ј®, ў® бЄ®«мЄ® а § Ї«®й ¤м н«Ґ¬Ґ­в а­®© п祩ЄЁ (в.Ґ.
Ї«®й ¤м $T_{i,j}$ ў а §®Ўа ­­®¬ ЇаЁ¬ҐаҐ) ЇаҐўли Ґв Ї«®й ¤м ®Ўа § 
($T'_{i,j}$ ў ЇаЁ¬ҐаҐ): ў ¤ў  а §  ў ¤ ­­®¬ б«гз Ґ. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬
­ иҐ ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ б®Єа й Ґв Ї«®й ¤Ё ў ¤ў  а § . —в®Ўл
Є®¬ЇҐ­бЁа®ў вм нв® б®Єа йҐ­ЁҐ ЇаЁ $g$ Ї®пў«пҐвбп Є®нддЁжЁҐ­в --
зЁб«® 2.

‚ ®ЎйҐ¬ б«гз Ґ, Є®Ј¤  § ¤ ­  § ¬Ґ­  ЇҐаҐ¬Ґ­­ле $$x\leftrightarrow
u(s,t),\quad y\leftrightarrow v(s,t)\eqno (6)$$ в®з­®Ј® а ўҐ­бвў ,
бўп§лў о饣® Ї«®й ¤Ё Єў ¤а в  $T_{i,j}$ (Ё§ Ї«®бЄ®бвЁ $(Ost)$) Ё
ҐЈ® ®Ўа §  (Ё§ Ї«®бЄ®бвЁ $(Oxy)$), §­ вм ­Ґ вॡгҐвбп, ­®
вॡгҐвбп §­ вм 祬г а ўҐ­ ЇаҐ¤Ґ« ®в­®иҐ­Ёп Ёе Ї«®й ¤Ґ© б а®б⮬
$n$. „«п ®в®Ўа ¦Ґ­Ё© (6), ®Ў« ¤ ойЁе ­ҐЇаҐалў­л¬Ё з бв­л¬Ё
Їа®Ё§ў®¤­л¬Ё Ї® ЇҐаҐ¬Ґ­­л¬ $s$ Ё $t$, в Є®Ґ а ўҐ­бвў® Ё§ўҐбв­®.
Ћ­® ®Ўлз­® ®д®а¬«пҐвбп ў ўЁ¤Ґ $$dx\,dy=|J|\,ds\,dt$$ Ё ®§­ з Ґв,
зв® гЄ § ­­л© ЇаҐ¤Ґ« а ўҐ­ ¬®¤г«о зЁб«  $J=J(s,t)$, $$J(s,t)={\rm
det}
\begin{vmatrix}\frac {\partial u}{\partial s}& \frac {\partial
u}{\partial t}\\\frac {\partial v}{\partial s}& \frac {\partial
v}{\partial t}\end{vmatrix}=\frac{\partial u}{\partial s}\frac
{\partial v}{\partial t}-\frac {\partial u}{\partial t}\frac
{\partial v}{\partial s},$$ Ї®¤бзЁв ­­®Ј® ў в®зЄҐ б Є®®а¤Ё­ в ¬Ё
$(s,t)$. ’ Є®© ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м ­ §лў Ґвбп пЄ®ЎЁ ­®¬ ®в®Ўа ¦Ґ­Ёп (6) ў
в®зЄҐ $(s,t)$. Џ®пб­Ё¬ Є Є ў®§­ЁЄ Ґв нв  ўҐ«ЁзЁ­ . ЌҐбЄ®«мЄ®
Ё§¬Ґ­Ё¬ ўўҐ¤Ґ­­лҐ а ­миҐ ®Ў®§­ зҐ­Ёп: Їгбвм $n\in\mathbb{N}$,
$$T_{i,j}=\{(s,t)\ |\ i/n\leqslant s\leqslant(i+1)/n,\
j/n\leqslant t\leqslant(j+1)/n\}$$ -- Єў ¤а в ў Ї«®бЄ®бвЁ $(Ost)$,
$$A=\left(u(\frac in,\frac jn),v(\frac in,\frac jn)\right),\quad
B=\left(u(\frac in,\frac {j+1}n),v(\frac in,\frac
{j+1}n)\right),\quad C=\left(u(\frac {i+1}n,\frac jn),v(\frac
{i+1}n,\frac jn)\right)$$ -- ваЁ в®зЄЁ Ї«®бЄ®бвЁ $(Oxy)$. ЋЎа §®¬
¬­®¦Ґбвў  $T_{i,j}$ ЇаЁ ®в®Ўа ¦Ґ­ЁЁ (6) Ўг¤Ґв б®ў®ЄгЇ­®бвм
$$\{(x,y)\ |\ x=u(s,t),\ y=v(s,t),\quad (s,t)\in T_{i,j}\}\eqno
(7)$$ в®зҐЄ Ї«®бЄ®бвЁ $(Oxy)$. ‘¤Ґ« ­­лҐ ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­Ёп ®
­ҐЇаҐалў­®бвЁ з бв­ле Їа®Ё§ў®¤­ле Ї®§ў®«пов § Є«озЁвм, зв® в Є®Ґ
¬­®¦Ґбвў®, ЇаЁЎ«Ё§ЁвҐ«м­®, б®ўЇ ¤ Ґв б Ї а ««Ґ«®Ја ¬¬®¬,
®в«®¦Ґ­­л¬ ®в в®зЄЁ $A$ б ­ Їа ў«пойЁ¬Ё $AB$ Ё $AC$. ‡ ЇЁиҐ¬
Є®®а¤Ё­ вл ўҐЄв®а  $AB$: $$\left(u(\frac in,\frac {j+1}n)-u(\frac
in,\frac jn),\quad v(\frac in,\frac {j+1}n)-v(\frac in,\frac
jn)\right)\approx \left(\frac {\partial u}{\partial t}\cdot\frac
1n,\quad \frac {\partial v}{\partial t}\cdot\frac 1n\right)=
\left(\frac {\partial u}{\partial t}, \frac {\partial v}{\partial
t}\right)\cdot\frac 1n,$$ Ј¤Ґ з бв­лҐ Їа®Ё§ў®¤­лҐ ўлзЁб«Ґ­л ў
в®зЄҐ $(\frac in,\frac jn)$. Ђ­ «®ЈЁз­®, Є®®а¤Ё­ вл ўҐЄв®а  $AC$
ЇаЁЎ«Ё§ЁвҐ«м­® а ў­л $$\left(\frac {\partial u}{\partial s}, \frac
{\partial v}{\partial s}\right)\cdot\frac 1n.$$ ‚бЇ®¬Ё­ п
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ ўҐЄв®а­®Ј® Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп, Ї®«гз Ґ¬, зв® Ї«®й ¤м (7)
ЇаЁЎ«Ё§ЁвҐ«м­® а ў­  $|J|/n^2$,   ®в­®иҐ­ЁҐ Ї«®й ¤Ё (7) Є Ї«®й ¤Ё
$T_{i,j}$ -- нв® ЇаЁЎ«Ё§ЁвҐ«м­® $|J|$ ў в®зЄҐ $(\frac in,\frac
jn)$. ‘д®а¬г«Ёа㥬 ⥯Ґам ⥮६㠮 § ¬Ґ­Ґ ЇҐаҐ¬Ґ­­ле ў ¤ў®©­®¬
Ё­вҐЈа «Ґ. Ѓг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® ­ ¬ § ¤ ­® ®¤­®§­ з­®Ґ
ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ (6) ¬­®¦Ґбвў  $S\in\mathcal{T}_2$, $S\subset
(Ost)$, ў® ¬­®¦Ґбвў® $T\in\mathcal{T}_2$, $T\subset (Oxy)$. ќв®
®§­ з Ґв, зв®

1) ¤«п Є ¦¤®Ј® $(s,t)\in S$ в®зЄ  б Є®®а¤Ё­ в ¬Ё $x=u(s,t)$,
$y=v(s,t)$ ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв $T$,

2) ¤«п Є ¦¤®Ј® $(x,y)\in T$ ­ ©¤Ґвбп Ї а  $(s,t)\in S$ в Є п, зв®
$x=u(s,t)$, $y=v(s,t)$,

3) а §­л¬ $(s,t)\in S$ ᮮ⢥вбвўгов а §­лҐ $(x,y)\in T$.\\ Џгбвм
ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ (6) Ё ҐЈ® з бв­лҐ Їа®Ё§ў®¤­лҐ Ї® ЇҐаҐ¬Ґ­­л¬ $s$ Ё
$t$ ­ҐЇаҐалў­л ­  $S$ (¤«п ўлзЁб«Ґ­Ёп з бв­ле Їа®Ё§ў®¤­ле ­  $S$
®Ўлз­® ЇаҐ¤Ї®« Ј ов, зв® ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ (6) § ¤ ­® ­  згвм Ў®«м襬
¬­®¦Ґб⢥, ᮤҐа¦ йҐ¬ $S$); Їгбвм пЄ®ЎЁ ­ $J(s,t)$ б®еа ­пҐв
Ї®бв®п­­л© §­ Є ў $S$. ’®Ј¤  ўлЇ®«­пҐвбп д®а¬г«  § ¬Ґ­л
ЇҐаҐ¬Ґ­­ле: $$\int\!\!\int_{T}f(x,y)\,dx\,dy=
\int\!\!\int_{S}g(s,t)|J|\,ds\,dt,$$ $g(s,t)= f(u(s,t),v(s,t))$.\\
ђ бᬮваЁ¬ ®¤Ё­ з бв­л© б«гз © нв®© д®а¬г«л: ЇҐаҐе®¤ Є Ї®«па­®©
бЁб⥬Ґ Є®®а¤Ё­ в. Љ ¦¤®© в®зЄҐ $(x,y)$ ­  Ї«®бЄ®бвЁ
$\mathbb{R}^2$ б®Ї®бв ўЁ¬ ҐҐ Ї®«па­лҐ Є®®а¤Ё­ вл: а ¤Ёгб
$r=\sqrt{x^2+y^2}>0$ Ё гЈ®« $\phi\in [0,2\pi)$, ®¤­®§­ з­®
®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬л© Ё§ а ўҐ­бвў $$x=r\cos\phi,\quad y=r\sin\phi.$$
‚лзЁб«Ё¬ пЄ®ЎЁ ­ нв®Ј® ®в®Ўа ¦Ґ­Ёп:
$$J=r\cos^2\phi+r\sin^2\phi=r.$$ ”®а¬г«  § ¬Ґ­л ЇҐаҐ¬Ґ­­ле Ўг¤Ґв
ўлЈ«п¤Ґвм в Є: $$\int\!\!\int_{T}f(x,y)\,dx\,dy=
\int\!\!\int_{S}g(r,\phi)r\,dr\,d\phi,$$ $g(r,\phi)=
f(r\cos\phi,r\sin\phi)$, $T$ -- ®Ўа § ¬­®¦Ґбвў  $S$ ЇаЁ
®в®Ўа ¦Ґ­ЁЁ $(r,\phi)\to(r\cos\phi,r\sin\phi)$. ќв® а ўҐ­бвў®
бЇа ўҐ¤«Ёў®, ­ ЇаЁ¬Ґа, ў б«гз Ґ, Є®Ј¤  ®Є § «®бм, зв®
$T\in\mathcal{T}_2$ Є Є ¬­®¦Ґбвў® Ё§ $(Oxy)$ Ё $S\in\mathcal{T}_2$
Є Є ¬­®¦Ґбвў® Ё§ $(Or\phi)$, «Ґ¦ йҐҐ ў Ї®«гЇ®«®бҐ $\{(r,\phi)\ |\
r>0,\ \phi\in [0,2\pi)\}$.
Соседние файлы в папке Ряды. Кратные интегралы. Теория поля