Добавил:
Studfiles
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:
\section*{‹ҐЄжЁп 8.}
‚лзЁб«ҐЁҐ ¤ў®©®Ј® ЁвҐЈа « Їг⥬ ᢥ¤ҐЁп ҐЈ® Є Ї®ўв®а®¬г.
‚лзЁб«ҐЁҐ ¤ў®©®Ј® ЁвҐЈа « ў Ї®«па®© бЁб⥬Ґ Є®®а¤Ё в.
„«п ҐЇаҐалўле дгЄжЁ© $f\in C(T)$, § ¤ ле ¬®¦Ґбвў е
$T\subset\mathbb{R}^2$ ўЁ¤ $Y(\varphi_1,\varphi_2)$ Ё«Ё
$X(\phi_1,\phi_2)$, Ё¬ҐҐвбп д®а¬г« , Ї®§ў®«пой п ᢥбвЁ ўлзЁб«ҐЁҐ
¤ў®©®Ј® ЁвҐЈа « ®в $f(\cdot)$ Ї® $T$ Є ўлзЁб«ҐЁо ®¤®Єа вле
ЁвҐЈа «®ў. Џгбвм $\varphi_1(\cdot),\varphi_2(\cdot)\in C[a,b]$
$$Y(\varphi_1,\varphi_2)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ x\in [a,b],\
\varphi_1(x) \leqslant y \leqslant\varphi_2(x)\},$$
$\varphi_1(x)\leqslant\varphi_2(x)$ ЇаЁ Є ¦¤®¬ $x\in[a,b]$. ’®Ј¤
$$\int\!\!\int_{Y}f(x,y)\,dx\,dy= \lim_{n\to\infty} S_n(f,Y),\quad
{\rm Ј¤Ґ}\ S_n(f,Y)=n^{-2}\sum_{(\frac in,\frac jn)\in
Y}f\left(\frac in,\frac jn\right).$$ ’Ґ®аҐ¬ 1 (ЎҐ§
¤®Є § ⥫мбвў ). /$\varphi_1,\varphi_2\in C[a,b]$,
$\varphi_1(x)\leqslant\varphi_2(x)$, $x\in[a,b]$, $f\in
C(Y(\varphi_1,\varphi_2))$/ $\Rightarrow$
$$\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy\in C[a,b].$$
{\scriptsize Ќ Ї®¬Ё¬ ®¤® Ё§ ў®§¬®¦ле ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁ© ®¤®Єа в®Ј®
ЁвҐЈа « ®в ҐЇаҐалў®© дгЄжЁЁ $g\in C[a,b]$ Ї® ®в१Єг $[a,b]$:
$$\int_a^bg(x)\,dx=\lim_{n\to\infty} S_n(g,[a,b]),\quad
S_n(g,[a,b])=n^{-1}\sum_{\frac in\in[a,b]}g\left(\frac
in\right).$$ ЏаҐ®Ўа §гҐ¬ ўла ¦ҐЁҐ ¤«п $S_n(f,Y)$:
$$S_n(f,Y)=n^{-1}\sum_{\frac in\in [a,b]}\left(n^{-1}\sum_{\frac
jn\in [\varphi_1(\frac in),\varphi_2(\frac in)]} f\left(\frac
in,\frac jn\right)\right).\eqno (1)$$ ‚гваҐпп б㬬 ў (1) ЇаЁ
Є ¦¤®¬ $i$, 㤮ў«Ґвў®апойЁ¬ гб«®ўЁо $\frac in\in [a,b]$, б®ўЇ ¤ Ґв
б $S_n(f(\frac in,\cdot),[\varphi_1(\frac in),\varphi_2(\frac
in)])$. ЏаЁ $n$ бв६п饬бп Є ЎҐбЄ®Ґз®бвЁ Ё Є ¦¤®¬ дЁЄбЁа®ў ®¬
$x\in [a,b]$ бг¬¬л ўЁ¤
$S_n(f(x,\cdot),[\varphi_1(x),\varphi_2(x)])$ б室пвбп Є
$$F(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy.$$ ЋЎа §гҐ¬
$$S_n(F,[a,b])=n^{-1}\sum_{\frac in\in[a,b]}F\left(\frac
in\right),\eqno (2)$$ Є®в®а п б а®б⮬ $n$ б室Ёвбп Є $$\int_a^b
F(x)\,dx=\int_a^b\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}
f(x,y)\,dy\right)\,dx.$$ ‚ҐиҐ Їа ў п з бвм (1) Ё ЁвҐЈа «млҐ
бг¬¬л Ё§ (2) ўҐбм¬ Ї®е®¦Ё: б ®¤®© бв®а®л -- нв® (1), б ¤агЈ®©
$$n^{-1}\sum_{\frac in\in [a,b]}\left((n_i)^{-1}\sum_{\frac
j{n_i}\in [\varphi_1(\frac i{n_i}),\varphi_2(\frac i{n_i})]}
f\left(\frac i{n_i},\frac j{n_i}\right)\right).$$ ‚ ЇҐаў®¬ б«гз Ґ
¤«п ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп ЁвҐЈа «мле б㬬 㦮 ўлЎа вм ®¤® $n$, ў®
ўв®а®¬ ЁвҐЈа «млҐ бг¬¬л ®ЇаҐ¤Ґ«повбп § ¤ ЁҐ¬ Ў®а вга «мле
зЁбҐ« $n$ Ё $n_i$, $i=1,\dots,n$. „®Є § ⥫мбвў® в®Ј®, зв®
®Ўа §®ў лҐ ЁвҐЈа «млҐ бг¬¬л Ё¬Ґов ®¤Ё Є®ўл© ЇаҐ¤Ґ« вॡгҐв
ҐЄ®в®але а бб㦤ҐЁ©, бўп§ ле б Ї®пвЁҐ¬ а ў®¬Ґа®©
ҐЇаҐалў®бвЁ дгЄжЁ©. Њл Ґ Ўг¤Ґ¬ Ёе Їа®ў®¤Ёвм, ЇЁиҐ¬
®б®ў®Ґ б«Ґ¤бвўЁҐ нв®Ј® д Єв :}\\ ’Ґ®аҐ¬ 2 (ЎҐ§ ¤®Є § ⥫мбвў ).
/$f\in C(T)$, $T=Y(\varphi_1,\varphi_2)$/ $\Rightarrow$
$$\int\!\!\int_{T}f(x,y)\,dx\,dy=\int_a^b
\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}
f(x,y)\,dy\right)\,dx.\eqno (3)$$ Ђ «®ЈЁз®, Ґб«Ё $f\in C(T)$,
$T=X(\phi_1,\phi_2)$, $\phi_1(\cdot),\phi_2(\cdot)\in C[c,d]$ в®
$$\int\!\!\int_{T}f(x,y)\,dx\,dy=\int_a^b \left(
\int_{\phi_1(y)}^{\phi_2(y)} f(x,y)\,dx\right)\,dy.\eqno (4)$$
Џа ўлҐ з бвЁ (3) Ё (4) §лў ов Ї®ўв®ал¬Ё ЁвҐЈа « ¬Ё, б ¬Ё
а ўҐбвў (3) Ё (4) -- ᢥ¤ҐЁҐ¬ ¤ў®©®Ј® ЁвҐЈа « Є Ї®ўв®а®¬г.
„агЈЁ¬ ў ¦л¬ ў®Їа®б®¬, з бв® ў®§ЁЄ ойЁ¬ ЇаЁ ўлзЁб«ҐЁЁ Єа вле
ЁвҐЈа «®ў, пў«пҐвбп ў®Їа®б ® § ¬ҐҐ ЇҐаҐ¬Ґле ў в Є®¬ ЁвҐЈа «Ґ.
—в®Ўл Ї®пвм Є Є Їа®Ё§ў®¤Ёвбп в Є п § ¬Ґ , а бᬮваЁ¬ Їа®б⥩訩
б«гз © ЇаҐ®Ўа §®ў Ёп Ї«®бЄ®бвЁ: $$x\leftrightarrow 2t,\quad
y\leftrightarrow y.\eqno (5)$$ Џгбвм $f\in C(T)$,
$$T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ x,y\in [0,1]\}.$$ „Ґ« п § ¬Ґг
ЇҐаҐ¬Ґле (5), ¬л ў¬Ґбв® ўҐ«ЁзЁ ўЁ¤ $x$ Ї®¤бв ў«пҐ¬ $2t$,
ўҐ«ЁзЁл ўЁ¤ $y$ ®бв ў«пҐ¬ ЎҐ§ Ё§¬ҐҐЁп. ЏаЁ н⮬ Єў ¤а в
$T\subset (Oxy)$ ЇаҐ®Ўа §гҐвбп ў Їаאַ㣮«мЁЄ
$$S=\{(t,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ t\in [0,1/2],\ y\in[0,1]\},$$
$S\subset (Oty)$. ”гЄжЁп $f(\cdot)$ ЇҐаҐ¬Ґле $(x,y)$
ЇаҐ®Ўа §гҐвбп ў дгЄжЁо $g(\cdot)$ ЇҐаҐ¬Ґле $(t,y)$. ќв дгЄжЁп
ўлзЁб«пҐвбп Ї® Їа ўЁ«г $g(t,y)=f(2t,y)$. Њл е®вЁ¬ ®в
ЁвҐЈаЁа®ў Ёп $f$ Ї® ®Ў« бвЁ $T$ ЇҐаҐ©вЁ Є ўлзЁб«ҐЁо ¤ў®©®Ј®
ЁвҐЈа « Ї® ®Ў« бвЁ $S$ ®в ҐЄ®в®а®© дгЄжЁЁ $h$, Є ЄЁ¬-в®
бЇ®б®Ў®¬ бўп§ ®© б $g$, б ⥬ зв®Ўл
$$\int\!\!\int_{T}f(x,y)\,dx\,dy=
\int\!\!\int_{S}h(t,y)\,dt\,dy.$$ ќв § ¤ з «ҐЈЄ® аҐи Ґвбп ЇаЁ
Ї®¬®йЁ д®а¬г«л (3): $$\int\!\!\int_{T}f(x,y)\,dx\,dy=
\int\limits_0^1 \left( \int\limits_0^1
f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int\limits_0^{1/2} \left(\int\limits_0^1
g(t,y)\,dy\right)2\,dt= \int\!\!\int_S g(t,y)2\,dt\,dy$$ Ё,
§ зЁв, $h(t,y)=2g(t,y)$.
{\scriptsize Ќ ¬ҐвЁ¬ б奬г, Ї® Є®в®а®© ¬®¦® ўлўҐбвЁ нв®в
१г«мв в ҐЇ®б।б⢥®. Ѓг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® ўҐ ®Ў« бвЁ $T$
дгЄжЁп $f$ ўбо¤г а ў г«о. ‡ дЁЄбЁа㥬 $n\in\mathbb{N}$ Ё
®Ў®§ зЁ¬ $$T_{i,j}=\{(x,y)\ |\ i/n\leqslant x\leqslant(i+1)/n,\
j/n\leqslant y\leqslant(j+1)/n\}$$ -- Єў ¤а в ў Ї«®бЄ®бвЁ $(Oxy)$
б® бв®а®®© $1/n$. ЋЎа §®¬ нв®Ј® Єў ¤а в (ў Ї«®бЄ®бвЁ $(Oty)$)
ЇаЁ Ё§гз Ґ¬®¬ ®в®Ўа ¦ҐЁЁ Ўг¤Ґв Їаאַ㣮«мЁЄ $$T'_{i,j}=\{(t,y)\
|\ i/(2n) \leqslant t\leqslant(i+1)/(2n),\ j/n\leqslant
y\leqslant(j+1)/n\}$$ б® бв®а® ¬Ё $1/(2n)$ Ё $1/n$. …Ј® Ї«®й ¤м
ў ¤ў а § ¬ҐмиҐ Ї«®й ¤Ё Єў ¤а в $T_{i,j}$. ‚믨襬 ҐЄ®в®а®Ґ
Є®«ЁзҐбвў® а ўҐбвў, Ё§ Є®в®але Ї®«гз Ґвбп вॡ㥬®Ґ (ҐЄ®в®алҐ Ё§
а ўҐбвў ЇаЁў®¤пвбп ЎҐ§ ¤®бв в®з®Ј® ®Ў®б®ў Ёп):
$$S_n(f,T)=n^{-2}\sum_{(\frac in,\frac jn)\in T}f\left(\frac
in,\frac jn\right)= n^{-2}\sum_{(\frac {i}{2n},\frac {2j}{2n})\in
S}g\left(\frac i{2n},\frac{2j}{2n}\right)\approx$$ $$\approx
n^{-2}\sum_{(\frac {i}{2n},\frac {2j}{2n})\in S}\frac
12(g\left(\frac i{2n},\frac {2j}{2n} \right)+g\left(\frac
{i}{2n},\frac {2j+1}{2n}\right))=2\cdot(2n)^{-2}\sum_{(\frac
i{2n},\frac j{2n})\in S}g\left(\frac i{2n},\frac j{2n}\right).$$
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, $$S_n(f,T)\approx 2S_{2n}(g,S).$$ ‚ ЇаҐ¤Ґ«Ґ ЇаЁ
$n\to\infty$ ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®Ґ а ўҐбвў® § ¬ҐпҐвбп в®зл¬,
ЁвҐЈа «млҐ б㬬л -- Єа вл¬Ё ЁвҐЈа « ¬Ё.}
ђ бᬮвॠп б奬 ¤®Є § ⥫мбвў а бЇа®бва пҐвбп Ё ®ЎйЁ©
б«гз © § ¬Ґл ЇҐаҐ¬Ґле. …Ґ ®б®ў п з бвм б®бв®Ёв ў ®б®ў®¬ ў
«Ё§Ґ в®Ј®, ў® бЄ®«мЄ® а § Ї«®й ¤м н«Ґ¬Ґв а®© п祩ЄЁ (в.Ґ.
Ї«®й ¤м $T_{i,j}$ ў а §®Ўа ®¬ ЇаЁ¬ҐаҐ) ЇаҐўли Ґв Ї«®й ¤м ®Ўа §
($T'_{i,j}$ ў ЇаЁ¬ҐаҐ): ў ¤ў а § ў ¤ ®¬ б«гз Ґ. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬
иҐ ЇаҐ®Ўа §®ў ЁҐ б®Єа й Ґв Ї«®й ¤Ё ў ¤ў а § . —в®Ўл
Є®¬ЇҐбЁа®ў вм нв® б®Єа 饨Ґ ЇаЁ $g$ Ї®пў«пҐвбп Є®нддЁжЁҐв --
зЁб«® 2.
‚ ®ЎйҐ¬ б«гз Ґ, Є®Ј¤ § ¤ § ¬Ґ ЇҐаҐ¬Ґле $$x\leftrightarrow
u(s,t),\quad y\leftrightarrow v(s,t)\eqno (6)$$ в®з®Ј® а ўҐбвў ,
бўп§лў о饣® Ї«®й ¤Ё Єў ¤а в $T_{i,j}$ (Ё§ Ї«®бЄ®бвЁ $(Ost)$) Ё
ҐЈ® ®Ўа § (Ё§ Ї«®бЄ®бвЁ $(Oxy)$), § вм Ґ вॡгҐвбп, ®
вॡгҐвбп § вм 祬г а ўҐ ЇаҐ¤Ґ« ®в®иҐЁп Ёе Ї«®й ¤Ґ© б а®б⮬
$n$. „«п ®в®Ўа ¦ҐЁ© (6), ®Ў« ¤ ойЁе ҐЇаҐалўл¬Ё з бвл¬Ё
Їа®Ё§ў®¤л¬Ё Ї® ЇҐаҐ¬Ґл¬ $s$ Ё $t$, в Є®Ґ а ўҐбвў® Ё§ўҐбв®.
Ћ® ®Ўлз® ®д®а¬«пҐвбп ў ўЁ¤Ґ $$dx\,dy=|J|\,ds\,dt$$ Ё ®§ з Ґв,
зв® гЄ § л© ЇаҐ¤Ґ« а ўҐ ¬®¤г«о зЁб« $J=J(s,t)$, $$J(s,t)={\rm
det}
\begin{vmatrix}\frac {\partial u}{\partial s}& \frac {\partial
u}{\partial t}\\\frac {\partial v}{\partial s}& \frac {\partial
v}{\partial t}\end{vmatrix}=\frac{\partial u}{\partial s}\frac
{\partial v}{\partial t}-\frac {\partial u}{\partial t}\frac
{\partial v}{\partial s},$$ Ї®¤бзЁв ®Ј® ў в®зЄҐ б Є®®а¤Ё в ¬Ё
$(s,t)$. ’ Є®© ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м §лў Ґвбп пЄ®ЎЁ ®¬ ®в®Ўа ¦ҐЁп (6) ў
в®зЄҐ $(s,t)$. Џ®пбЁ¬ Є Є ў®§ЁЄ Ґв нв ўҐ«ЁзЁ . ЌҐбЄ®«мЄ®
Ё§¬ҐЁ¬ ўўҐ¤ҐлҐ а миҐ ®Ў®§ 票п: Їгбвм $n\in\mathbb{N}$,
$$T_{i,j}=\{(s,t)\ |\ i/n\leqslant s\leqslant(i+1)/n,\
j/n\leqslant t\leqslant(j+1)/n\}$$ -- Єў ¤а в ў Ї«®бЄ®бвЁ $(Ost)$,
$$A=\left(u(\frac in,\frac jn),v(\frac in,\frac jn)\right),\quad
B=\left(u(\frac in,\frac {j+1}n),v(\frac in,\frac
{j+1}n)\right),\quad C=\left(u(\frac {i+1}n,\frac jn),v(\frac
{i+1}n,\frac jn)\right)$$ -- ваЁ в®зЄЁ Ї«®бЄ®бвЁ $(Oxy)$. ЋЎа §®¬
¬®¦Ґбвў $T_{i,j}$ ЇаЁ ®в®Ўа ¦ҐЁЁ (6) Ўг¤Ґв б®ў®ЄгЇ®бвм
$$\{(x,y)\ |\ x=u(s,t),\ y=v(s,t),\quad (s,t)\in T_{i,j}\}\eqno
(7)$$ в®зҐЄ Ї«®бЄ®бвЁ $(Oxy)$. ‘¤Ґ« лҐ ЇаҐ¤Ї®«®¦ҐЁп ®
ҐЇаҐалў®бвЁ з бвле Їа®Ё§ў®¤ле Ї®§ў®«пов § Є«озЁвм, зв® в Є®Ґ
¬®¦Ґбвў®, ЇаЁЎ«Ё§ЁвҐ«м®, б®ўЇ ¤ Ґв б Ї а ««Ґ«®Ја ¬¬®¬,
®в«®¦Ґл¬ ®в в®зЄЁ $A$ б Їа ў«пойЁ¬Ё $AB$ Ё $AC$. ‡ ЇЁиҐ¬
Є®®а¤Ё вл ўҐЄв®а $AB$: $$\left(u(\frac in,\frac {j+1}n)-u(\frac
in,\frac jn),\quad v(\frac in,\frac {j+1}n)-v(\frac in,\frac
jn)\right)\approx \left(\frac {\partial u}{\partial t}\cdot\frac
1n,\quad \frac {\partial v}{\partial t}\cdot\frac 1n\right)=
\left(\frac {\partial u}{\partial t}, \frac {\partial v}{\partial
t}\right)\cdot\frac 1n,$$ Ј¤Ґ з бвлҐ Їа®Ё§ў®¤лҐ ўлзЁб«Ґл ў
в®зЄҐ $(\frac in,\frac jn)$. Ђ «®ЈЁз®, Є®®а¤Ё вл ўҐЄв®а $AC$
ЇаЁЎ«Ё§ЁвҐ«м® а ўл $$\left(\frac {\partial u}{\partial s}, \frac
{\partial v}{\partial s}\right)\cdot\frac 1n.$$ ‚бЇ®¬Ё п
®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ ўҐЄв®а®Ј® Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁп, Ї®«гз Ґ¬, зв® Ї«®й ¤м (7)
ЇаЁЎ«Ё§ЁвҐ«м® а ў $|J|/n^2$, ®в®иҐЁҐ Ї«®й ¤Ё (7) Є Ї«®й ¤Ё
$T_{i,j}$ -- нв® ЇаЁЎ«Ё§ЁвҐ«м® $|J|$ ў в®зЄҐ $(\frac in,\frac
jn)$. ‘д®а¬г«Ёа㥬 ⥯Ґам ⥮६㠮 § ¬ҐҐ ЇҐаҐ¬Ґле ў ¤ў®©®¬
ЁвҐЈа «Ґ. Ѓг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® ¬ § ¤ ® ®¤®§ 箥
ЇаҐ®Ўа §®ў ЁҐ (6) ¬®¦Ґбвў $S\in\mathcal{T}_2$, $S\subset
(Ost)$, ў® ¬®¦Ґбвў® $T\in\mathcal{T}_2$, $T\subset (Oxy)$. ќв®
®§ з Ґв, зв®
1) ¤«п Є ¦¤®Ј® $(s,t)\in S$ в®зЄ б Є®®а¤Ё в ¬Ё $x=u(s,t)$,
$y=v(s,t)$ ЇаЁ ¤«Ґ¦Ёв $T$,
2) ¤«п Є ¦¤®Ј® $(x,y)\in T$ ©¤Ґвбп Ї а $(s,t)\in S$ в Є п, зв®
$x=u(s,t)$, $y=v(s,t)$,
3) а §л¬ $(s,t)\in S$ ᮮ⢥вбвўгов а §лҐ $(x,y)\in T$.\\ Џгбвм
ЇаҐ®Ўа §®ў ЁҐ (6) Ё ҐЈ® з бвлҐ Їа®Ё§ў®¤лҐ Ї® ЇҐаҐ¬Ґл¬ $s$ Ё
$t$ ҐЇаҐалўл $S$ (¤«п ўлзЁб«ҐЁп з бвле Їа®Ё§ў®¤ле $S$
®Ўлз® ЇаҐ¤Ї®« Ј ов, зв® ЇаҐ®Ўа §®ў ЁҐ (6) § ¤ ® згвм Ў®«м襬
¬®¦Ґб⢥, ᮤҐа¦ 饬 $S$); Їгбвм пЄ®ЎЁ $J(s,t)$ б®еа пҐв
Ї®бв®пл© § Є ў $S$. ’®Ј¤ ўлЇ®«пҐвбп д®а¬г« § ¬Ґл
ЇҐаҐ¬Ґле: $$\int\!\!\int_{T}f(x,y)\,dx\,dy=
\int\!\!\int_{S}g(s,t)|J|\,ds\,dt,$$ $g(s,t)= f(u(s,t),v(s,t))$.\\
ђ бᬮваЁ¬ ®¤Ё з бвл© б«гз © нв®© д®а¬г«л: ЇҐаҐе®¤ Є Ї®«па®©
бЁб⥬Ґ Є®®а¤Ё в. Љ ¦¤®© в®зЄҐ $(x,y)$ Ї«®бЄ®бвЁ
$\mathbb{R}^2$ б®Ї®бв ўЁ¬ ҐҐ Ї®«палҐ Є®®а¤Ё вл: а ¤Ёгб
$r=\sqrt{x^2+y^2}>0$ Ё гЈ®« $\phi\in [0,2\pi)$, ®¤®§ з®
®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬л© Ё§ а ўҐбвў $$x=r\cos\phi,\quad y=r\sin\phi.$$
‚лзЁб«Ё¬ пЄ®ЎЁ нв®Ј® ®в®Ўа ¦ҐЁп:
$$J=r\cos^2\phi+r\sin^2\phi=r.$$ ”®а¬г« § ¬Ґл ЇҐаҐ¬Ґле Ўг¤Ґв
ўлЈ«п¤Ґвм в Є: $$\int\!\!\int_{T}f(x,y)\,dx\,dy=
\int\!\!\int_{S}g(r,\phi)r\,dr\,d\phi,$$ $g(r,\phi)=
f(r\cos\phi,r\sin\phi)$, $T$ -- ®Ўа § ¬®¦Ґбвў $S$ ЇаЁ
®в®Ўа ¦ҐЁЁ $(r,\phi)\to(r\cos\phi,r\sin\phi)$. ќв® а ўҐбвў®
бЇа ўҐ¤«Ёў®, ЇаЁ¬Ґа, ў б«гз Ґ, Є®Ј¤ ®Є § «®бм, зв®
$T\in\mathcal{T}_2$ Є Є ¬®¦Ґбвў® Ё§ $(Oxy)$ Ё $S\in\mathcal{T}_2$
Є Є ¬®¦Ґбвў® Ё§ $(Or\phi)$, «Ґ¦ 饥 ў Ї®«гЇ®«®бҐ $\{(r,\phi)\ |\
r>0,\ \phi\in [0,2\pi)\}$.
Соседние файлы в папке Ряды. Кратные интегралы. Теория поля