Учебники, методички / Ряды. Кратные интегралы. Теория поля / t05

\section*{‹ҐЄжЁп 5.}

‘⥯Ґ­­лҐ ап¤л. ’Ґ®аҐ¬  ЂЎҐ«п. ЋЎ« бвм б室Ё¬®бвЁ б⥯Ґ­­®Ј® ап¤ .
ђ ¤Ёгб б室Ё¬®бвЁ. Ћб­®ў­лҐ бў®©бвў  б⥯Ґ­­ле а冷ў: а ў­®¬Ґа­ п
б室Ё¬®бвм, ­ҐЇаҐалў­®бвм Ё ЎҐбЄ®­Ґз­ п ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®бвм б㬬л.
Џ®з«Ґ­­®Ґ Ё­вҐЈаЁа®ў ­ЁҐ Ё ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ б⥯Ґ­­ле а冷ў.

Ћ¤­Ё¬ Ё§ ­ ЁЎ®«ҐҐ Ё§ўҐбв­ле Ё Ё§г祭­ле ЇаҐ¤бв ўЁвҐ«Ґ©
дг­ЄжЁ®­ «м­ле а冷ў пў«повбп в Є ­ §лў Ґ¬лҐ б⥯Ґ­­лҐ ап¤л.
”г­ЄжЁ®­ «м­л© ап¤ ўЁ¤  $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,\eqno
(1)$$ Ј¤Ґ $a_n$, $x_0$ -- § ¤ ­­лҐ ¤Ґ©б⢨⥫м­лҐ зЁб« , $x$ --
ЇҐаҐ¬Ґ­­ п, ­ §лў Ґвбп б⥯Ґ­­л¬ а冷¬, зЁб«  $a_n$, $n\in\NN$, --
Є®нддЁжЁҐ­в ¬Ё нв®Ј® ап¤ . ‚®Їа®б ® б室Ё¬®бвЁ ап¤  (1) ®Ўлз­®
бў®¤пв Є Ёбб«Ґ¤®ў ­Ёо ап¤  $\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n$.\\ ’Ґ®аҐ¬ 
1 (ЂЎҐ«м). /$\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n$ б室Ёвбп ЇаЁ $z=z_0$/
$\Rightarrow$ ®­ б室Ёвбп  Ўб®«ов­® $\forall z$: $|z|<|z_0|$.\\
„®Є § вҐ«мбвў®. Џ®бЄ®«мЄг $\sum_{n=1}^{\infty}a_n z_0^n$ --
б室пйЁ©бп ап¤, в® Ї® ­Ґ®Ўе®¤Ё¬®¬г ЇаЁ§­ Єг б室Ё¬®бвЁ ®ЎйЁ© з«Ґ­
нв®Ј® ап¤  ¤®«¦Ґ­ бв६Ёвмбп Є ­г«о б а®б⮬ $n$:
$$\lim_{n\to\infty}a_nz_0^n=0.$$ Ћвбо¤  б«Ґ¤гҐв, ў з бв­®бвЁ, зв®
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм $\{a_nz_0^n\}_{n=1}^{\infty}$ ®Ја ­ЁзҐ­ ,
бЄ ¦Ґ¬ ­ҐЄ®в®ал¬ зЁб«®¬ $M>0$: $$|a_nz_0^n|<M,\quad n=1,2,3,\dots
.\eqno (2)$$ Џа®ўҐаЁ¬, зв® Ё§ (2) б«Ґ¤гҐв г⢥তҐ­ЁҐ ⥮६л:
Їгбвм $|z|<|z_0|$. ’®Ј¤  $$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n z^n|=
\sum_{n=1}^{\infty}|a_n z_0^n| \left|\frac{z}{z_0}\right|^n.\eqno
(3)$$ ‘¤Ґ« ­­®Ґ ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ Ї®Є §лў Ґв, зв® ЇаЁ Ёбб«Ґ¤®ў ­ЁЁ
б室Ё¬®бвЁ ­Ґ®ваЁж вҐ«м­®Ј® ап¤  (3) 㤮Ў­® ў®бЇ®«м§®ў вмбп
ЇаЁ§­ Є®¬ ба ў­Ґ­Ёп Ё а бᬮваҐвм ап¤$$\sum_{n=1}^{\infty}M
\left|\frac{z}{z_0}\right|^n.$$ ќв®в ап¤ б室Ёвбп, в.Є.
$|\frac{z}{z_0}|<1$. Џ®н⮬г, Ї®«м§гпбм (2), § Є«оз Ґ¬, зв® ап¤
(3) б室Ёвбп.\\ ‘«Ґ¤бвўЁҐ 1. /$\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n$
а б室Ёвбп ЇаЁ $z=z_0$/ $\Rightarrow$ ®­ а б室Ёвбп $\forall z$:
$|z|>|z_0|$.\\ „®Є § вҐ«мбвў® б«Ґ¤бвўЁп Їа®ў®¤Ёвбп ¬Ґв®¤®¬ "®в
Їа®вЁў­®Ј®": ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­ЁҐ ® б室Ё¬®бвЁ ап¤  (3) ЇаЁ Є Є®¬-­ЁЎг¤м
$|z|>|z_0|$ ­Ґ¬Ґ¤«Ґ­­® ЇаЁў®¤Ёв Є Їа®вЁў®аҐзЁо Ї® ⥮६Ґ 1.\\
Џ®«г祭­лҐ г⢥তҐ­Ёп ¤Ґ« ов ҐбвҐб⢥­­л¬ б«Ґ¤го饥 ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ
ЄагЈ  Ё а ¤Ёгб  б室Ё¬®бвЁ: ‚Ґ«ЁзЁ­  $R\geqslant 0$ (зЁб«® Ё«Ё
бЁ¬ў®« $+\infty$) в Є п, зв® ЇаЁ ўбҐе $z$, г Є®в®але $|z|<R$), ап¤
$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n\eqno (4)$$ б室Ёвбп,   ЇаЁ ўбҐе $z$,
г Є®в®але $|z|>R$) -- а б室Ёвбп, ­ §лў Ґвбп а ¤Ёгᮬ б室Ё¬®бвЁ
(4). Њ­®¦Ґбвў® в®зҐЄ $z$, г Є®в®але $|z|<R$, ­ §лў Ґвбп ЄагЈ®¬
б室Ё¬®бвЁ ап¤  (4).\\ ‡ ¬Ґз ­ЁҐ. ЋЎлз­® б⥯Ґ­­лҐ ап¤л (4)
а бб¬ ваЁў ов ¤«п ўбҐе Є®¬Ї«ҐЄб­ле зЁбҐ« $z$. ЏаЁ н⮬ ўбҐ
ᤥ« ­­лҐ ­ ¬Ё ЇаҐ¦¤Ґ г⢥তҐ­Ёп Ё Їа®ўҐ¤Ґ­­лҐ ¤®Є § вҐ«мбвў  Ё«Ё
ў®ўбҐ ЎҐ§ Ё§¬Ґ­Ґ­Ё©, Ё«Ё б ­Ґ§­ зЁвҐ«м­л¬Ё Ї®Їа ўЄ ¬Ё
а бЇа®бва ­повбп ­  нвЁ зЁб« . „«п Є®¬Ї«ҐЄб­ле зЁбҐ« ¬­®¦Ґбвў®
$|z|<R$ ЇаҐ¤бв ў«пҐв Ё§ ЄагЈ. „«п ¤Ґ©б⢨⥫м­ле зЁбҐ« ¬­®¦Ґбвў®
$|z|<R$ нв®, Є®­Ґз­®, Ё­вҐаў « $(-R,R)$, ­® ¬л ўбҐ-в ЄЁ Ўг¤Ґ¬, Ї®
 ­ «®ЈЁЁ, ­ §лў вм ҐЈ® ЄагЈ®¬ б室Ё¬®бвЁ ап¤  (4).

’Ґ®аҐ¬  2. /$\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n$ -- б⥯Ґ­­®© ап¤/
$\Rightarrow$ ®­ ®Ў« ¤ Ґв бў®Ё¬ а ¤Ёгᮬ б室Ё¬®бвЁ $R$. ЏаЁ н⮬
ў Є ¦¤®© в®зЄҐ Ё§ ЄагЈ  б室Ё¬®бвЁ нв®в ап¤ б室Ёвбп  Ўб®«ов­®.
…б«Ё $0<r<R$, в® ­  $[-r,r]$ б⥯Ґ­­®© ап¤ б室Ёвбп а ў­®¬Ґа­®.\\
„®Є § вҐ«мбвў®. ЏҐаў п з бвм вҐ®аҐ¬л Ё­вгЁвЁў­® Ї®­пв­  Ё пў«пҐвбп
б«Ґ¤бвўЁҐ¬ ⥮६л 1: Ґб«Ё б⥯Ґ­­®© ап¤ б室Ёвбп ў в®зЄҐ $z_0$,
в® ў Є ¦¤®© в®зЄҐ $|z|<|z_0|$ ®­ б室Ёвбп  Ўб®«ов­®. Џ®н⮬г $R$
¬®¦­® ў®бЇаЁ­Ё¬ вм, Є Є б ¬®Ґ Ў®«м讥 Ё§ $|z_0|$, ¤«п Є®в®але
Ёб室­л© ап¤ б室Ёвбп. ЏаЁ н⮬ ¬®¦Ґв ®Є § вмбп, зв® $R=0$ (в.Ґ.
­ и б⥯Ґ­­®© ап¤ б室Ёвбп ЇаЁ $z=0$,   ў® ўбҐе ®бв «м­ле в®зЄ е
а б室Ёвбп). Њ®¦Ґв ®Є § вмбп, зв® $R=+\infty$, зв® ®§­ з Ґв
 Ўб®«ов­го б室Ё¬®бвм б⥯Ґ­­®Ј® ап¤  ў Є ¦¤®© в®зЄҐ $z$. € ¬®¦Ґв
б«гзЁвмбп, зв® $0<R<+\infty$. ќв® ®§­ з Ґв  Ўб®«ов­го б室Ё¬®бвм
б⥯Ґ­­®Ј® ап¤  ў Є ¦¤®© в®зЄҐ $|z|<R$ Ё а б室Ё¬®бвм б⥯Ґ­­®Ј®
ап¤  ¤«п $|z|>R$. ”®а¬ «м­®Ґ ¤®Є § вҐ«мбвў® ЇҐаў®© Ї®«®ўЁ­л
⥮६л вॡгҐв Ў®«ҐҐ  ЄЄга в­®Ј® а бᬮв७Ёп, -- ¬л ­Ґ Ўг¤Ґ¬ ҐЈ®
ЇаЁў®¤Ёвм. Џгбвм ⥯Ґам $R>0$ Ё $0<r<R$.

Ќ Ї®¬Ё­ ­ЁҐ: ’Ґ®аҐ¬  /$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$, $x\in T$, --
дг­ЄжЁ®­ «м­л© ап¤, $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ -- б室пйЁ©бп
зЁб\-«®\-ў®© ап¤, $|u_n(x)|\leqslant v_n$ ЇаЁ $x\in T$, $n\in\NN$/
$\Rightarrow$ ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}u_n(\cdot)$ б室Ёвбп ­  $T$
а ў­®¬Ґа­®.\\ Љ Є Ўл«® гбв ­®ў«Ґ­®, зЁб«®ў®© ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|r^n$ б室Ёвбп. ЏаЁ¬Ґ­пп бд®а¬г«Ёа®ў ­­го
⥮६㠪 дг­ЄжЁ®­ «м­®¬г ап¤г $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n,\quad
z\in [-r,r]\eqno (5)$$ Ё ап¤г $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|r^n$,
Ї®«гзЁ¬ а ў­®¬Ґа­го б室Ё¬®бвм ап¤  (5) ­  $[-r,r]$.\\ ‘«Ґ¤бвўЁҐ
2. /$S(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n$ -- б⥯Ґ­­®© ап¤, $R>0$ --
ҐЈ® а ¤Ёгб б室Ё¬®бвЁ, $0<r<R$/ $\Rightarrow$ $S(\cdot)\in
C[-r,r]$.\\ „®Є § вҐ«мбвў® нв®Ј® г⢥তҐ­Ёп б«Ґ¤гҐв Ё§ ⥮६л 2
Ё вҐ®аҐ¬л ® ­ҐЇаҐалў­®бвЁ б㬬л а ў­®¬Ґа­® б室п饣®бп ап¤ ,
б®бв ў«Ґ­­®Ј® Ё§ ­ҐЇаҐалў­ле б« Ј Ґ¬ле.

ЏаЁ¬Ґа 1. ђп¤ $$\sum_{n=1}^{\infty}n!z^n$$ ­Ґ пў«пҐвбп  Ўб®«ов­®
б室пйЁ¬бп ­Ё ў ®¤­®© в®зЄҐ $z\ne 0$ (Ї® ЇаЁ§­ Єг „ « ¬ЎҐа ).
Џ®н⮬㠮­ ­Ґ ¬®¦Ґв б室Ёвмбп ­Ё ў ®¤­®© в®зЄҐ $z\ne 0$ (Ї®
⥮६Ґ 1). ‡­ зЁв, ¤«п нв®Ј® ап¤  $R=0$.

ЏаЁ¬Ґа 2. ђп¤ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$$  Ўб®«ов­®
б室Ёвбп ЇаЁ «оЎ®¬ $z\in\RR$ (Ї® ЇаЁ§­ Єг „ « ¬ЎҐа ). „«п нв®Ј®
ап¤  $R=\infty$.

ЏаЁ¬Ґа 3. ђп¤ $$\sum_{n=1}^{\infty}z^n$$ б室Ёвбп ЇаЁ $|z|<1$ Ё
а б室Ёвбп ЇаЁ $|z|\geqslant 1$. „«п нв®Ј® ап¤  $R=1$.

ЏаЁ¬Ґа 4. ђп¤ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n^2}$$ б室Ёвбп ЇаЁ
$|z|\leqslant 1$ (Ё§-§  б室Ё¬®бвЁ ап¤  $\sum_{n=1}^{\infty}
1/n^2$) Ё а б室Ёвбп ЇаЁ $|z|>1$ (Ї® ЇаЁ§­ Єг „ « ¬ЎҐа ). „«п
нв®Ј® ап¤  $R=1$.

ЏаЁ¬Ґа 5. ђп¤ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n}$$ б室Ёвбп ЇаЁ
$|z|< 1$ Ё а б室Ёвбп ЇаЁ $|z|>1$ (Ї® ЇаЁ§­ Єг „ « ¬ЎҐа ). Ља®¬Ґ
в®Ј®, ®­ б室Ёвбп ЇаЁ $z=-1$ Ё а б室Ёвбп ЇаЁ $z=1$. „«п нв®Ј®
ап¤  $R=1$.

Џ®б«Ґ¤­ЁҐ ваЁ ЇаЁ¬Ґа  ¤Ґ¬®­бваЁагов ў аЁ ­вл Ї®ўҐ¤Ґ­Ёп бў®©бвў 
б室Ё¬®бвЁ ¤«п а §­ле б⥯Ґ­­ле а冷ў ­  Ја ­ЁжҐ ЄагЈ  б室Ё¬®бвЁ.
‚лзЁб«Ґ­ЁҐ а ¤Ёгб  б室Ё¬®бвЁ, ў ­ҐЄ®в®але б«гз пе, ¬®¦Ґв
Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­® б Ї®¬®ймо ЇаЁ§­ Є®ў „ « ¬ЎҐа  Ё Љ®иЁ:

’Ґ®аҐ¬  3. /$\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n$ -- б⥯Ґ­­®© ап¤, $a_n\ne
0$, $n\in\NN$, $\lim_{n\to\infty}|a_{n+1}/a_n|=q$/ $\Rightarrow$
$R=1/q$.\\ „®Є § вҐ«мбвў®. ЏаЁ¬Ґ­пҐ¬ ЇаЁ§­ Є „ « ¬ЎҐа  Є Ё§г祭Ёо
б室Ё¬®бвЁ ап¤  $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n z^n|$:
$$\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1} z^{n+1}}{a_n z^n}|=|z|\cdot
\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|z\cdot q|,$$ зв® ®§­ з Ґв
 Ўб®«ов­го б室Ё¬®бвм $\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n$ ЇаЁ $|z\cdot
q|<1$ Ё ҐЈ® а б室Ё¬®бвм ЇаЁ $|z\cdot q|>1$.

’Ґ®аҐ¬  4. /$\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n$ -- б⥯Ґ­­®© ап¤,
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=q$/ $\Rightarrow$ $R=1/q$.\\
„®Є § вҐ«мбвў® Ї®«­®бвмо Ї®ўв®апҐв ¤®Є § вҐ«мбвў® ⥮६л 3.

ђ бᬮваЁ¬ ў®Їа®б ® Ї®з«Ґ­­®¬ ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁЁ Ё Ё­вҐЈаЁа®ў ­ЁЁ
б⥯Ґ­­ле а冷ў. ЏаЁ ҐЈ® Ё§г祭ЁЁ ®Є §лў Ґвбп Ї®«Ґ§­л¬ б«Ґ¤го饥
§ ¬Ґз ­ЁҐ: ЇаЁ Ї®з«Ґ­­®¬ ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁЁ Ё«Ё Ё­вҐЈаЁа®ў ­ЁЁ
б⥯Ґ­­ле а冷ў а ¤Ёгб б室Ё¬®бвЁ ­Ґ Ё§¬Ґ­пҐвбп: ап¤л
$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n,\quad \sum_{n=1}^{\infty}a_n \cdot n
z^{n-1},\quad \sum_{n=1}^{\infty}(a_n/(n+1)) z^{n+1}$$ ®Ў« ¤ ов
®¤­Ё¬ Ё ⥬ ¦Ґ а ¤Ёгᮬ б室Ё¬®бвЁ $R$. ЋЎ®§­ зЁ¬ ¤®Є § вҐ«мбвў®
б«Ґ¤гойЁ¬Ё а бб㦤Ґ­Ёп¬Ё: Їгбвм $R$ -- а ¤Ёгб б室Ё¬®бвЁ ап¤ 
$\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n$, $0<|z|<r<R$. Љ Є Ё ЇаҐ¦¤Ґ Ё§-§ 
б室Ё¬®бвЁ ап¤  $\sum_{n=1}^{\infty}a_n r^n$ б«Ґ¤гҐв, зв®
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм $\{a_n r^n\}_{n=1}^{\infty}$ ®Ја ­ЁзҐ­ 
­ҐЄ®в®ал¬ зЁб«®¬ $M>0$: $|a_n r^n|<M,\quad n=1,2,3,\dots.$ Џ®н⮬г
$$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n \cdot n z^{n-1}|=\frac
1r\sum_{n=1}^{\infty}|a_n r^n| n\left|\frac{z}{r}\right|^{n-1}<
\frac Mr\sum_{n=1}^{\infty} n\left|\frac{z}{r}\right|^{n-1}.$$
Џ®б«Ґ¤­Ё© ап¤ б室Ёвбп, Ї®н⮬г ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cdot
n z^{n-1}$  Ўб®«ов­® б室Ёвбп. €,  ­ «®ЈЁз­®,  Ўб®«ов­® б室Ёвбп
ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}(a_n/(n+1)) z^{n+1}$:
$$\sum_{n=1}^{\infty} |(a_n/(n+1))
z^{n+1}|=r\sum_{n=1}^{\infty}|a_n r^n| \frac
1{n+1}\left|\frac{z}{r}\right|^{n+1}<Mr\sum_{n=1}^{\infty} \frac
1{n+1}\left|\frac{z}{r}\right|^{n+1}.$$ ‡­ зЁв, ЇаЁ Ї®з«Ґ­­®¬
Ё­вҐЈаЁа®ў ­ЁЁ Ё ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁЁ ап¤  $\sum_{n=1}^{\infty}a_n
z^n$ ҐЈ® а ¤Ёгб б室Ё¬®бвЁ ­ҐгЎлў Ґв (в.Ґ. ¬®¦Ґв «Ёим ў®§а бвЁ).
Ќ® ॠ«м­® ®­ 㢥«ЁзЁвмбп ­Ґ ¬®¦Ґв Ї® в®«мЄ® зв® Їа®ўҐ¤Ґ­­л¬
а бб㦤Ґ­Ёп¬: Ґб«Ё ®­ бв « Ў®«миҐ, ­ ЇаЁ¬Ґа, ЇаЁ Ї®з«Ґ­­®¬
Ё­вҐЈаЁа®ў ­ЁЁ, в®, ¤ЁддҐаҐ­жЁагп Ї®з«Ґ­­® ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n/(n+1)) z^{n+1}$, Ї®«гзЁ¬ зв® ­Ґ $R$,  
Є Є®Ґ-в® Ў®«м襥 зЁб«® пў«пҐвбп а ¤Ёгᮬ б室Ё¬®бвЁ ап¤ 
$\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n$.

Ќ Ї®¬Ё­ ­ЁҐ: ’Ґ®аҐ¬  /$v_n\in C^1[a,b]$, $n\in\NN$,
$\sum_{n=1}^{\infty}v_n'(x)$, $x\in [a,b]$, а ў­®¬Ґа­® б室Ёвбп/
$\Rightarrow$ Ґб«Ё ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}v_n(x)$ б室Ёвбп е®вп
Ўл ў ®¤­®© в®зЄҐ $c\in [a,b]$, в® ®­ б室Ёвбп а ў­®¬Ґа­® ­ 
$[a,b]$, ҐЈ® б㬬  $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}v_n(x)$
¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬  ­  $[a,b]$ Ё $$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}v_n'(x)=
\sum_{n=1}^{\infty} v_n'(x).$$

‘«Ґ¤бвўЁҐ 3. /$S(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n$ -- б⥯Ґ­­®© ап¤,
$R>0$ -- ҐЈ® а ¤Ёгб б室Ё¬®бвЁ/ $\Rightarrow$ $S(\cdot)\in
C^1(-R,R)$ Ё $S'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cdot n) z^{n-1}$ ¤«п
«оЎ®Ј® $z\in(-R,R)$.

‡ ¬Ґз ­ЁҐ. ЏаЁ¬Ґ­пп б«Ґ¤бвўЁҐ 3 Ї®ўв®а­®, Ї®«гз ов ЎҐбЄ®­Ґз­го
¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®бвм $S(\cdot)$ ­  $(-R,R)$ Ё ўбҐў®§¬®¦­лҐ д®а¬г«л
¤«п Їа®Ё§ў®¤­ле. Ќ ЇаЁ¬Ґа,
$$S^{(2)}(z)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cdot n(n-1)) z^{n-2},\quad
z\in(-R,R).$$

’®з­® в Є¦Ґ (Є Є б«Ґ¤бвўЁҐ вҐ®аҐ¬л ® Ї®з«Ґ­­®¬ Ё­вҐЈаЁа®ў ­ЁЁ
а ў­®¬Ґа­® б室пйЁебп а冷ў Ё§ ­ҐЇаҐалў­ле дг­ЄжЁ©) § ЇЁиҐ¬

‘«Ґ¤бвўЁҐ 4. /$S(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n$ -- б⥯Ґ­­®© ап¤,
$R>0$ -- ҐЈ® а ¤Ёгб б室Ё¬®бвЁ/ $\Rightarrow$ $$\int_0^z
S(t)\,dt=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n/(n+1)) z^{n+1},\quad
z\in(-R,R).$$ ‚ᥠЇ®«г祭­лҐ г⢥তҐ­Ёп ­ҐЇ®б।б⢥­­®
а бЇа®бва ­повбп ­  ап¤л ўЁ¤  (1). ‡ ЇЁиҐ¬, ­ ЇаЁ¬Ґа, Є Є ўлЈ«п¤Ёв
 ­ «®Ј ⥮६л 1:\\ ’Ґ®аҐ¬  $1'$. /$\sum_{n=1}^{\infty}a_n
(z-z_1)^n$ б室Ёвбп ЇаЁ $z=z_0$/ $\Rightarrow$ ®­ б室Ёвбп
 Ўб®«ов­® $\forall z$: $|z-z_1|<|z_0-z_1|$.