Учебники, методички / Введение в линейную алгебру / Lla04

\section*{\it ‹ҐЄжЁп 4.}

\noindent{\bf ђ ­Ј ¬ ваЁжл. ’Ґ®аҐ¬  ® а ­ЈҐ. ‚лзЁб«Ґ­ЁҐ а ­Ј 
¬ ваЁжл. ‘®ў¬Ґбв­®бвм бЁб⥬ «Ё­Ґ©­ле га ў­Ґ­Ё©. ’Ґ®аҐ¬ 
Ља®­ҐЄҐа -Љ ЇҐ««Ё. ‘вагЄвга  ®ЎйҐЈ® аҐиҐ­Ёп ®¤­®а®¤­®© бЁб⥬л
«Ё­Ґ©­ле га ў­Ґ­Ё©. ЋЎйҐҐ аҐиҐ­ЁҐ ­Ґ®¤­®а®¤­®© бЁбвҐ¬л «Ё­Ґ©­ле
га ў­Ґ­Ё©.}\\ Џгбвм $A=(a_{i,j})$ -- Їа®Ё§ў®«м­ п ¬ ваЁж  а §¬Ґа 
$m\times n$. ‘¤Ґ« Ґ¬ ­ҐбЄ®«мЄ® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ё©.

ЋЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м «оЎ®© Єў ¤а в­®© ¬ ваЁжл Ї®ап¤Є  $k\leqslant {\rm
min}\{m,n\}$, б®бв ў«Ґ­­®© Ё§ н«Ґ¬Ґ­в®ў ¬ ваЁжл $A$, $1\leqslant
i\leqslant m$, $1\leqslant j\leqslant n$, Їг⥬ ўлзҐаЄЁў ­Ёп ҐҐ
бва®Є Ё бв®«Ўж®ў, ­ §лў ов ¬Ё­®а®¬ $A$ Ї®ап¤Є  $k$.

ђ ­Ј®¬ ¬ ваЁжл $A$ ­ §лў ов ¬ ЄбЁ¬ «м­л© Ё§ Ї®ап¤Є®ў ­Ґ­г«Ґўле
¬Ё­®а®ў нв®© ¬ ваЁжл.

ЋЎ®§­ зЁ¬ зҐаҐ§ $\bar{x}^j$, $j=1,\dots,n$, --- $n$
ўҐЄв®а-бв®«Ўж®ў ¬ ваЁжл $A$, зҐаҐ§ $\bar{x}_i$, $i=1,\dots,m$, ---
$m$ ҐҐ ўҐЄв®а-бва®Є.

Ћ Їа®Ё§ў®«м­®© бЁб⥬Ґ ўҐЄв®а-бв®«Ўж®ў $\bar{y}^j$, $j=1,\dots,k$,
(Ё«Ё ўҐЄв®а-бва®Є) Ј®ў®апв, зв® ®­  пў«пҐвбп «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬®©,
Ґб«Ё бЁб⥬  га ў­Ґ­Ё©
$$a_1\bar{y}^1+a_2\bar{y}^2+\dots+a_k\bar{y}^k=\bar{0}$$
®в­®бЁвҐ«м­® ­ҐЁ§ўҐбв­ле $a_j$, $j=1,\dots,k$, Ё¬ҐҐв в®«мЄ® ®¤­®
аҐиҐ­ЁҐ: $a_j=0$, $j=1,\dots,k$. ѓ®ў®апв, зв® нв  бЁб⥬  ўҐЄв®а®ў
«Ё­Ґ©­® § ўЁбЁ¬ , Ґб«Ё ®­  ­Ґ пў«пҐвбп «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬®©.

\noindent ’Ґ®аҐ¬  1 (® бў®©бвў е а ­Ј  ¬ ваЁжл). ђ ­Ј ¬ ваЁжл $A$
б®ўЇ ¤ Ґв б ¬ ЄбЁ¬ «м­л¬ зЁб\-«®¬ «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬ле ўҐЄв®а®ў Ё§
$\bar{x}^j\in\RR^m$, $j=1,\dots,n$ Ё б®ўЇ ¤ Ґв б ¬ ЄбЁ¬ «м­л¬
зЁб\-«®¬ «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬ле ўҐЄв®а®ў Ё§ $\bar{x}_i\in\RR^n$,
$i=1,\dots,m$ ({\bf ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў }).\\ {\footnotesize ’ Є Є Є
ЇаЁ ЇҐаҐбв ­®ўЄҐ ¤ўге бва®Є Ё«Ё ¤ўге бв®«Ўж®ў ¬ ваЁжл $Ђ$ ҐҐ а ­Ј
­Ґ ¬Ґ­пҐвбп, в® б б ¬®Ј® ­ з «  ¬®¦­® бзЁв вм, зв® ­Ґ­г«Ґў®© ¬Ё­®а
¬ ЄбЁ¬ «м­®Ј® Ї®ап¤Є  (нв® зЁб«® ®Ў®§­ зЁ¬ $k$) ¤«п $Ђ$ пў«пҐвбп
®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«Ґ¬ ¬ ваЁжл а бЇ®«®¦Ґ­­®© ў ҐҐ «Ґў®¬ ўҐае­Ґ¬ гЈ«г, в.Ґ.
¬ ваЁжл $A_1=(a_{i,j})$, $i,j=1,\dots,k$. Џ®Є ¦Ґ¬, зв® ЇҐаўлҐ $k$
бва®Є $\bar{x}_i$, $i=1,\dots,k$, Ё ЇҐаўлҐ $k$ бв®«Ўж®ў
$\bar{x}^j$, $j=1,\dots,k$ пў«повбп «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬л¬Ё.
ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, ®­Ё «Ё­Ґ©­® § ўЁбЁ¬л (­ ЇаЁ¬Ґа, бв®«Ўжл):
$$a_1\bar{x}^1+a_2\bar{x}^2+\dots+a_k\bar{x}^k=\bar{0}$$ ¤«п
­ҐЄ®в®а®Ј® ­Ґ Ї®«­®бвмо ­г«Ґў®Ј® ­ Ў®а  зЁбҐ« $a_j$,
$j=1,\dots,k$. ’®Ј¤  ў ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«Ґ Єў ¤а в­®© ¬ ваЁжл $A_1$ ¬®¦­®
б«®¦Ёвм ўбҐ бв®«Ўжл, г¬­®¦Ґ­­лҐ ­  Є®нддЁжЁҐ­вл $a_j$,
$j=1,\dots,k$. …б«Ё, бЄ ¦Ґ¬ $a_1\ne 0$, в® а §¬ҐбвЁ¬ Ї®«г祭­л©
(­г«Ґў®© Ї® ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­Ёо) бв®«ЎҐж ў¬Ґбв® ЇҐаў®Ј®. ’®Ј¤  Ї®
бў®©бвў ¬ ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«Ґ©, б ®¤­®© бв®а®­л ўҐ«ЁзЁ­  ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«п
г¬­®¦Ёвбп ­  $a_1$ Ё, §­ зЁв, ®бв ­Ґвбп ­Ґ­г«Ґў®©,   б ¤агЈ®© нв 
¦Ґ ўҐ«ЁзЁ­  ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«п ¤®«¦­  Ўлвм ­г«Ґ¬, в.Є. Ї®«гзЁўиЁ©бп
®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м ᮤҐа¦Ёв ­г«Ґў®© бв®«ЎҐж. Џ®«г稢襥бп Їа®вЁў®аҐзЁҐ
Ј®ў®аЁв ® ­ҐўҐа­®бвЁ Ёб室­®Ј® ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­Ёп -- «Ё­Ґ©­®©
§ ўЁбЁ¬®бвЁ ЇҐаўле $k$ бв®«Ўж®ў. ’®з­® в Є¦Ґ «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬л
ЇҐаўлҐ $k$ бва®Є.

‚в®а п з бвм вҐ®аҐ¬л ® ⮬, зв® Ґб«Ё $k$ бва®Є (Ё«Ё бв®«Ўж®ў)
¬ ваЁжл $A$ «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬л, в® а ­Ј нв®© ¬ ваЁжл Ў®«миҐ Ё«Ё
а ўҐ­ $k$, ®бв ­Ґвбп ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў . Ћв¬ҐвЁ¬ в®«мЄ®, зв®
¤®Є § вҐ«мбвў® нв®Ј® д Єв  ¬®¦­® ®б­®ўлў вм ­  ЇаЁ¬Ґ­Ґ­ЁЁ ¬Ґв®¤ 
ЁбЄ«о祭Ёп ѓ гбб .}

„«п ўлзЁб«Ґ­Ёп а ­Ј  ¬ ваЁжл ¬®¦­® Ї®бвгЇ вм б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬:
ЇаЁ¬Ґ­Ё¬ ¬Ґв®¤ ЁбЄ«о祭Ёп ѓ гбб  Є бЁб⥬Ґ Ё§ $m$ га ў­Ґ­Ё© ¤«п
­ҐЁ§ўҐбв­ле $y_j$, $j=1,\dots,n$, $${a}_{i,1}y_1+{a}_{i,2}y_2
+\dots+{a}_{i,n}y_{n}={0},\qquad i=1,\dots,m.$$ ЊҐв®¤ ѓ гбб 
б®бв®Ёв ў Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®¬ ўлЇ®«­Ґ­ЁЁ ®¤­®вЁЇ­ле и Ј®ў Ё ў
Є Є®©-в® ¬®¬Ґ­в в Є®© и Ј Ўг¤Ґв ­Ґў®§¬®¦­® ўлЇ®«­Ёвм. ќв®в
 «Ј®аЁв¬ з бв® (¤«п б®Єа йҐ­Ёп § ЇЁбҐ©) ўлЇ®«­пов ­Ґ ­ ¤ гЄ § ­­®©
бЁб⥬®©,   в®«мЄ® ­ ¤ ҐҐ Є®нддЁжЁҐ­в ¬Ё, в.Ґ. ­ ¤ н«Ґ¬Ґ­в ¬Ё
¬ ваЁжл $A$. —Ёб«® ­Ґ­г«Ґўле бва®Є, ®бв ўиЁебп Ї®б«Ґ ўлЇ®«­Ґ­Ёп
нв®Ј®  «Ј®аЁв¬ , Ё ¤ бв а ­Ј $A$. ќв® зЁб«® б®ўЇ ¤ Ґв в Є¦Ґ б
Є®«ЁзҐбвў®¬ ўлЇ®«­Ґ­­ле и Ј®ў ў ¬Ґв®¤Ґ ѓ гбб .

Љ Є 㦥 Ј®ў®аЁ«®бм, бЁб⥬  «Ё­Ґ©­ле га ў­Ґ­Ё© ў б ¬®¬ ®ЎйҐ¬ ўЁ¤Ґ
¬®¦Ґв Ўлвм § ЇЁб ­  Є Є $$A\bar{y}=\bar{a}.\eqno (1)$$ ‚ нв®©
§ ЇЁбЁ $A=(a_{ij})$ -- ¬ ваЁж  Є®нддЁжЁҐ­в®ў а §¬Ґа  $m\times n$,
$\bar{a}=(a_i)$ -- ўҐЄв®а-бв®«ЎҐж а §¬Ґа  $m\times 1$ -- Ё§ўҐбв­лҐ
®ЎкҐЄвл, $\bar{y}=(y_j)$ -- ўҐЄв®а-бв®«ЎҐж а §¬Ґа  $n\times 1$ --
­ҐЁ§ўҐбв­л© ўҐЄв®а. ‘Ёб⥬  га ў­Ґ­Ё© (1) ­ §лў Ґвбп б®ў¬Ґбв­®©,
Ґб«Ё ®­  Ё¬ҐҐв е®вп Ўл ®¤­® аҐиҐ­ЁҐ $\bar{y}$. …б«Ё ¦Ґ в Є®Ј®
аҐиҐ­Ёп ­Ґв, в® бЁб⥬  (1) ­ §лў Ґвбп ­Ґб®ў¬Ґбв­®©.

‘д®а¬г«Ёа㥬 ⥮६㠊஭ҐЄҐа -Љ ЇҐ««Ё ® ў®§¬®¦­®бвЁ аҐиҐ­Ёп
бЁб⥬л (1):

\noindent ’Ґ®аҐ¬  2 (ЄаЁвҐаЁ© а §аҐиЁ¬®бвЁ бЁбвҐ¬л «Ё­Ґ©­ле
га ў­Ґ­Ё©). „«п в®Ј®, зв®Ўл бЁб⥬  (1) га ў­Ґ­Ё©, Ўл«  а §аҐиЁ¬®©
­Ґ®Ўе®¤Ё¬® Ё ¤®бв в®з­®, зв®Ўл б®ўЇ ¤ «Ё а ­ЈЁ ¬ ваЁжл $A$ Ё
а биЁаҐ­­®© ¬ ваЁжл $\bar{A}=(A,\bar{a})$, Ї®«гз о饩бп Ё§
Ёб室­®© ¬ ваЁжл Їг⥬ ¤®Ў ў«Ґ­Ёп б Їа ў®© бв®а®­л ўҐЄв®а-бв®«Ўж 
$\bar{a}$ бў®Ў®¤­ле з«Ґ­®ў ({\bf ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў }).

‘Ёб⥬  га ў­Ґ­Ё© (1) ­ §лў Ґвбп ®¤­®а®¤­®©, Ґб«Ё ўҐЄв®а-бв®«ЎҐж
бў®Ў®¤­ле з«Ґ­®ў $\bar{a}$ пў«пҐвбп ­г«Ґўл¬ ўҐЄв®а®¬. Ћбв «м­лҐ
бЁбвҐ¬л «Ё­Ґ©­ле га ў­Ґ­Ё© ­ §лў овбп ­Ґ®¤­®а®¤­л¬Ё. ‘Ёб⥬л
®¤­®а®¤­ле га ў­Ґ­Ё© ®Ў« ¤ ов а冷¬ бЇҐжЁдЁзҐбЄЁе бў®©бвў:

1. Ћ¤­®а®¤­ п бЁб⥬  га ў­Ґ­Ё© ўбҐЈ¤  б®ў¬Ґбв­ , Ї®бЄ®«мЄг ў¬Ґбв®
­ҐЁ§ўҐбв­®Ј® ўҐЄв®а  $\bar{z}$ ¬®¦­® Ї®¤бв ўЁвм ­г«Ґў®© ўҐЄв®а,

2. …б«Ё $\bar{z}^1$, $\bar{z}^2$ -- ¤ў  Є ЄЁе-в® аҐиҐ­Ёп
®¤­®а®¤­®© бЁбвҐ¬л «Ё­Ґ©­ле га ў­Ґ­Ё©: $$A\bar{z}^1=\bar{0},\quad
A\bar{z}^2=\bar{0},$$ в® Ё Ёе б㬬  пў«пҐвбп аҐиҐ­ЁҐ¬ нв®©
бЁб⥬л: $A(\bar{z}^1+\bar{z}^2)=A\bar{z}^1+A\bar{z}^2=
\bar{0}+\bar{0}=\bar{0}$ б®Ј« б­® Їа ўЁ«г г¬­®¦Ґ­Ёп ¬ ваЁж.

3. …б«Ё $\bar{z}^1$ -- Є Є®Ґ-«ЁЎ® аҐиҐ­ЁҐ ®¤­®а®¤­®© бЁб⥬л
«Ё­Ґ©­ле га ў­Ґ­Ё©: $$A\bar{z}^1=\bar{0},\quad k\in\RR,$$ в® Ё
ўҐЄв®а-бв®«ЎҐж $k\cdot\bar{z}^1$ пў«пҐвбп аҐиҐ­ЁҐ¬ нв®© бЁб⥬л:
$A(k\cdot\bar{z}^1)=k\cdot A\bar{z}^1=k\cdot \bar{0}=\bar{0}$.

ЋЎ®§­ зЁ¬ ¬­®¦Ґбвў® ўбҐе аҐиҐ­Ё© ®¤­®а®¤­®Ј® га ў­Ґ­Ёп
$$A\bar{z}=\bar{0}$$ бЁ¬ў®«®¬ $K(A)$. ‘®Ј« б­® ўлиҐбЄ § ­­®¬г нв®
-- ¬­®¦Ґбвў® ўҐЄв®а-бв®«Ўж®ў а §¬Ґа  $n\times 1$, б।Ё Є®в®але
®Ўп§ вҐ«м­® ЇаЁбгвбвўгҐв ­г«Ґў®© ўҐЄв®а-бв®«ЎҐж Ё ¤«п Є®в®але
ў¬ҐбвҐ б Є ¦¤л¬ ўҐЄв®а®¬ $\bar{z}^1$ ЇаЁбгвбвўгов ўҐЄв®а 
$k\cdot\bar{z}^1$, $k\in\RR$,   ў¬ҐбвҐ б ўҐЄв®а ¬Ё $\bar{z}^1$,
$\bar{z}^2$  ЇаЁбгвбвўгов ўҐЄв®а $\bar{z}^1+\bar{z}^2$.

Џгбвм ⥯Ґам $\bar{y}^1$, $\bar{y}^2$ -- ¤ў  аҐиҐ­Ёп «Ё­Ґ©­®©
бЁб⥬л (1): $A(\bar{y}^1)=A(\bar{y}^2)=\bar{a}$. ’®Ј¤ 
$$\bar{0}=\bar{a}-\bar{a}=A(\bar{y}^1)-A(\bar{y}^2)=
A(\bar{y}^1-\bar{y}^2),$$ в.Ґ. $(\bar{y}^1-\bar{y}^2)$ -- ўҐЄв®а
Ё§ ¬­®¦Ґбвў  $K(A)$. ЋЎа в­®, Їгбвм $\bar{y}^1$ -- Є Є®Ґ-­ЁЎг¤м
аҐиҐ­ЁҐ «Ё­Ґ©­®© бЁб⥬л (1), $\bar{z}^1\in K(A)$ (нв® §­ зЁв
$A\bar{z}^1=\bar{0}$). ’®Ј¤  $$A(\bar{y}^1+\bar{z}^1)=
A\bar{y}^1+A\bar{z}^1= \bar{a}+\bar{0}=\bar{a}.$$ ќв® ®§­ з Ґв,
зв® $(\bar{y}^1+\bar{z}^1)$ в Є¦Ґ пў«пҐвбп аҐиҐ­ЁҐ¬ (1).
ЏаЁўҐ¤Ґ­­лҐ а бб㦤Ґ­Ёп ®Ў®б­®ўлў ов в®, зв® ®ЎйҐҐ аҐиҐ­ЁҐ
$\bar{y}^{®.}$ бЁб⥬л (1) ¬®¦Ґв Ўлвм § ЇЁб ­® ў ўЁ¤Ґ
$$\bar{y}^{®.}= \bar{z}^{®.,\, ®.}+\bar{y}^{з.},$$ (§¤Ґбм
$\bar{z}^{®.,\, ®.}$ --- ®ЎйҐҐ аҐиҐ­ЁҐ ®¤­®а®¤­®© бЁб⥬л,
$\bar{y}^{з.}$ --- з бв­®Ґ аҐиҐ­ЁҐ бЁб⥬л (1)).