Скачиваний:
74
Добавлен:
24.04.2014
Размер:
15.76 Кб
Скачать
\section*{\it ‹ҐЄжЁп 7.}
\noindent {\bf Џап¬ п Ё Ї«®бЄ®бвм ў Їа®бва ­б⢥. “а ў­Ґ­Ёп
Ї«®бЄ®бвЁ Ё Їаאַ© ў Їа®бва ­б⢥. “Ј®« ¬Ґ¦¤г Ї«®бЄ®бвп¬Ё. “Ј®«
¬Ґ¦¤г Їап¬л¬Ё. “Ј®« ¬Ґ¦¤г Їаאַ© Ё Ї«®бЄ®бвмо.}

Ѓг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® ў Їа®бва ­б⢥ $\RR^3$ ўлЎа ­ бв ­¤ ав­л© Ў §Ёб
Ё $(x,y,z)$ б Ё­¤ҐЄб ¬Ё Ё«Ё ЎҐ§ ­Ёе ®§­ з Ґв Є®®а¤Ё­ в­го § ЇЁбм
ўҐЄв®а®ў ў н⮬ Їа®бва ­б⢥. Џ®  ­ «®ЈЁЁ б Ї®­пвЁҐ¬ «Ё­ЁЁ ­ 
Ї«®бЄ®бвЁ а бб¬ ваЁў Ґвбп Ї®­пвЁҐ Ї®ўҐае­®бвЁ ў Їа®бва ­б⢥.
’ Є¦Ґ Є Є Ё ¤«п «Ё­Ё©, Ї®ўҐае­®бвм ¬®¦Ґв § ¤ ў вмбп 1) га ў­Ґ­ЁҐ¬
Ё 2) Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ. ђ бᬮваЁ¬ ЇаЁ¬Ґал Ї®ўҐае­®б⥩, § ¤ ­­ле
га ў­Ґ­ЁҐ¬.

1. $F(x,y,z)=x+y+z$, $U=\RR^3$, -- ¤Ґ©б⢨⥫쭮§­ з­ п дг­ЄжЁп,
$x+y+z=0$ -- га ў­Ґ­ЁҐ Ї®ўҐае­®бвЁ (в®з­ҐҐ -- Ї«®бЄ®бвЁ) ў
Їа®бва ­б⢥. ќв  Ї«®бЄ®бвм Їа®е®¤Ёв зҐаҐ§ ­ з «® Є®®а¤Ё­ в,
ЇҐаҐбҐЄ Ґв Є®®а¤Ё­ в­го Ї«®бЄ®бвм $Oxy$ Ї® Їаאַ© $x+y=0$,
Є®®а¤Ё­ в­го Ї«®бЄ®бвм $Oxz$ -- Ї® Їаאַ© $x+z=0$. Њ®¦­® ЇаЁўҐбвЁ
Ё ¤агЈЁҐ ҐҐ бў®©бвў .

2. $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$, $U=\RR^3$, -- ¤Ґ©б⢨⥫쭮§­ з­ п
дг­ЄжЁп, $x^2+y^2+z^2=0$ -- га ў­Ґ­ЁҐ Ї®ўҐае­®бвЁ ў Їа®бва ­б⢥;
Ґ¤Ё­б⢥­­ п 㤮ў«Ґвў®апой п Ґ¬г в®зЄ  -- ­ з «® Є®®а¤Ё­ в
$(x,y,z)=(0,0,0)$, -- Ї®ўҐае­®бвм ЇаҐ¤бв ў«пҐв Ё§ ᥡп нвг в®зЄг.
„ ­­®Ґ га ў­Ґ­ЁҐ ®ЇаҐ¤Ґ«пҐв ўл஦¤Ґ­­го Ї®ўҐае­®бвм.

3. $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1$, $U=\RR^3$, -- ¤Ґ©б⢨⥫쭮§­ з­ п
дг­ЄжЁп, $x^2+y^2+z^2-1=0$ -- га ў­Ґ­ЁҐ Ї®ўҐае­®бвЁ ў Їа®бва ­б⢥
(бдҐал а ¤Ёгб  1). „ ­­ п Ї®ўҐае­®бвм б®бв®Ёв Ё§ в®зҐЄ, г¤ «Ґ­­ле
®в ­ з «  Є®®а¤Ё­ в ­  а ббв®п­ЁҐ 1.

4. џў«пҐвбп ®Ў®ЎйҐ­ЁҐ¬ ЇаҐ¤л¤гйЁе ¤ўге ЇаЁ¬Ґа®ў. ”ЁЄбЁа㥬
Є Є®Ґ-­ЁЎг¤м ­Ґ®в\-аЁ\-ж \-⥫쭮Ґ зЁб«® $r$.
$F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-r^2$, $U=\RR^3$, -- ¤Ґ©б⢨⥫쭮§­ з­ п
дг­ЄжЁп, $x^2+y^2+z^2-r^2=0$ -- га ў­Ґ­ЁҐ Ї®ўҐае­®бвЁ ў
Їа®бва ­б⢥ (бдҐал а ¤Ёгб  r). „ ­­ п Ї®ўҐае­®бвм б®бв®Ёв Ё§
в®зҐЄ, г¤ «Ґ­­ле ®в ­ з «  Є®®а¤Ё­ в ­  а ббв®п­ЁҐ r.

5. $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+1$, $U=\RR^3$, -- ¤Ґ©б⢨⥫쭮§­ з­ п
дг­ЄжЁп, $x^2+y^2+z^2+1=0$ -- га ў­Ґ­ЁҐ ў Їа®бва ­б⢥.  ќв®¬г
га ў­Ґ­Ёо ­Ґ 㤮ў«Ґвў®апҐв ­Ё ®¤­  в®зЄ , ®­® ­Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«пҐв
Ї®ўҐае­®бвЁ.

6. Љ Є Ё ¤«п «Ё­Ё©, ўла ¦Ґ­Ёп ўЁ¤ 
$(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2-2(xy+xz+yz)\equiv 0$ пў«повбп ⮦¤Ґбвў ¬Ё,
­Ґ пў«повбп га ў­Ґ­Ёп¬Ё Ё ­Ґ § ¤ ов Ї®ўҐае­®бвЁ.

7. ‘ Є ¦¤®© «Ё­ЁҐ© $L$ ­  Ї«®бЄ®бвЁ $Oxy$, § ¤ ­­®© га ў­Ґ­ЁҐ¬
$F(x,y)=0$, $F:U\to\RR$, $U\subset\RR^2$, бўп§ ­  в Є ­ §лў Ґ¬ п
жЁ«Ё­¤аЁзҐбЄ п Ї®ўҐае­®бвм Ё«Ё жЁ«Ё­¤а ­ ¤ $L$. ќв  Ї®ўҐае­®бвм
б®бв®Ёв Ё§ ўбҐў®§¬®¦­ле Їап¬ле ў Їа®бва ­б⢥, Їа®е®¤пйЁе зҐаҐ§
в®зЄЁ $L$ Ї а ««Ґ«м­® ®бЁ $Oz$.

 Џгбвм $F:U\to\RR$ -- ­ҐЄ®в®а п
¤Ґ©б⢨⥫쭮§­ з­ п дг­ЄжЁп, § ¤ ­­ п ­  Ї®¤¬­®¦Ґб⢥
$U\subset\RR^3$ в®зҐЄ $(x,y,z)\in U$. ‘®®в­®иҐ­ЁҐ $F(x,y,z)=0$
­ §лў Ґвбп га ў­Ґ­ЁҐ¬ ­  $U$. Ѓг¤Ґ¬ ЇаҐ¤Ї®« Ј вм, з⮠⥠Ї ал
$(x,y,z)\in U$, Є®в®алҐ Ґ¬г 㤮ў«Ґвў®апов, ­Ґ § Ї®«­пов 楫л©
"Єгб®Є Їа®бва ­бвў ". Џ®ўҐае­®бвмо, § ¤ ў Ґ¬®© дг­ЄжЁҐ© $F$ (Ё«Ё
га ў­Ґ­ЁҐ¬ $F=0$), ­ §лў ов б®ў®ЄгЇ­®бвм $$\{(x,y,z)\in U\ |\
F(x,y,z)=0\}.$$ ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬ Ї®ўҐае­®бвм ў Їа®бва ­б⢥ -- нв®
­ҐЄ®в®ал© ­ Ў®а в®зҐЄ Їа®бва ­бвў .

ЏаЁ ®Ўб㦤Ґ­ЁЁ в®Ј® Є Є § ¤ овбп Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁҐ Ї®ўҐае­®бвЁ
ЁбЇ®«м§гҐвбп Ї®­пвЁҐ ®Ў« бвЁ $\cal V$ ­  Ї«®бЄ®бвЁ. Ћ­® Ё¬ҐҐв
ўЇ®«­Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­л© ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁ© б¬лб«, ®¤­ Є® ­  ¤ ­­л© ¬®¬Ґ­в
¤ ў вм ҐЈ® ­Ґ Ўг¤Ґ¬. Џ®¤ ®Ў« бвмо Ўг¤Ґ¬ Ї®­Ё¬ вм "Єгб®Є Ё«Ё
­ҐбЄ®«мЄ® ЄгбЄ®ў Ї«®бЄ®бвЁ". ЏаЁ¬Ґа ¬Ё ®Ў« б⥩ пў«повбп ЄагЈ,
Єў ¤а в ­  Ї«®бЄ®бвЁ, ®ЎкҐ¤Ё­Ґ­ЁҐ ЄагЈ  Ё Єў ¤а в , ўбп Ї«®бЄ®бвм,
Ї®«гЇ«®бЄ®бвм. ‚ ⮦Ґ ўаҐ¬п «Ё­Ёп ­  Ї«®бЄ®бвЁ ®Ў« бвмо ­Ґ
пў«пҐвбп. Џгбвм $\alpha,\beta,\gamma:{\cal V}\to\RR$ -- ваЁ
¤Ґ©б⢨⥫쭮§­ з­лҐ дг­ЄжЁЁ, § ¤ ­­лҐ ­  ®Ў« бвЁ ${\cal
V}\subset\RR^2$. ѓ®ў®апв, зв® бЁб⥬ 
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    x=\alpha(u,v),\\
    y=\beta(u,v),\\
    z=\gamma(u,v)
  \end{cases}
\qquad (u,v)\in {\cal V},\end{equation*} § ¤ Ґв Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ
ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ Ї®ўҐае­®бвЁ ў Їа®бва ­б⢥. ќв® § ¤ ­ЁҐ Їа®Ёб室Ёв
б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬: Ї®ўҐае­®бвмо бзЁв Ґвбп б®ў®ЄгЇ­®бвм в®зҐЄ
$$\{(\alpha(u,v),\beta(u,v),\gamma(u,v))\in\RR^3\ |\ (u,v)\in
{\cal V}\}$$ Їа®бва ­бвў .

\noindent {\it ЏаЁ¬Ґал § ¤ ў Ґ¬ле Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ Ї®ўҐае­®б⥩.}

8. “а ў­Ґ­Ёп $x=u$, $y=v$, $z=-u-v$, $(u,v)\in\RR^2$, § ¤ ов
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ Ї«®бЄ®бвЁ $x+y+z=0$ Ё§ ЇаЁ¬Ґа  1.

9. ЌҐбЄ®«мЄ® Ў®«ҐҐ б«®¦­л¬ пў«пҐвбп Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ
бдҐал а ¤Ёгб  $r>0$ Ё§ ЇаЁ¬Ґа  4. “а ў­Ґ­Ёп
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    x=r\cos u\cos v,\\
    y=r\sin u\cos v,\\
    z=r\sin v
  \end{cases}
\qquad (u,v)\in {\cal V},\end{equation*} пў«повбп ЇаЁ¬Ґа®¬ в Є®Ј®
§ ¤ ­Ёп. ЏаЁ н⮬ ${\cal V}=[0,2\pi]\times[0,\pi]$ --
Їаאַ㣮«м­ЁЄ ­  Ї«®бЄ®бвЁ б® бв®а®­ ¬Ё ¤«Ё­л $2\pi$ Ё $\pi$.

\noindent {\it Ђ«ЈҐЎа ЁзҐбЄЁҐ Ї®ўҐае­®бвЁ.}

Љ Є Ё ¤«п «Ё­Ё© ­  Ї«®бЄ®бвЁ ў ¦­л¬ Є« бᮬ Ї®ўҐае­®б⥩ пў«повбп
Ї®ўҐае­®бвЁ, § ¤ ў Ґ¬лҐ  «ЈҐЎа ЁзҐбЄЁ¬Ё га ў­Ґ­Ёп¬Ё. ќв® га ў­Ґ­Ёп
б«Ґ¤гойЁе ўЁ¤®ў: $$Ax+By+Cz+D=0,\eqno(1)$$
$$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0 \eqno(2)$$ Ё в.¤. ‚ нвЁе
га ў­Ґ­Ёпе $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J$ -- ­ҐЄ®в®алҐ дЁЄбЁа®ў ­­лҐ зЁб« ;
®­Ё ­ §лў овбп Є®нддЁжЁҐ­в ¬Ё гЄ § ­­ле га ў­Ґ­Ё©. “а ў­Ґ­ЁҐ (1)
­ §лў Ґвбп ®ЎйЁ¬ га ў­Ґ­ЁҐ¬ 1-© б⥯Ґ­Ё, Ґб«Ё ў ­Ґ¬
$A^2+B^2+C^2\ne 0$. “а ў­Ґ­ЁҐ (2) ­ §лў Ґвбп ®ЎйЁ¬ га ў­Ґ­ЁҐ¬ 2-©
б⥯Ґ­Ё, Ґб«Ё ў ­Ґ¬ $A^2+B^2+C^2+D^2+E^2+F^2\ne 0$.

\noindent {\it Џ«®бЄ®бвм ў Їа®бва ­б⢥.}

Ђ«ЈҐЎа ЁзҐбЄЁҐ Ї®ўҐае­®бвЁ 1-© б⥯Ґ­Ё ­ §лў ов Ї«®бЄ®бвп¬Ё ў
Їа®бва ­б⢥. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, га ў­Ґ­ЁҐ¬, § ¤ ойЁ¬ Ї«®бЄ®бвм ў
Їа®бва ­б⢥, пў«пҐвбп га ў­Ґ­ЁҐ $Ax+By+Cz+D=0$, $A$, $B$, $C$ Ё
$D$ -- дЁЄбЁа®ў ­­лҐ зЁб« , $A^2+B^2+C^2\ne 0$. Џа®Ё§ў®¤п
⮦¤Ґб⢥­­лҐ ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёп а ўҐ­бвў  $Ax+By+Cz+D=0$, Ї®«гз ов
а §«Ёз­лҐ д®а¬л га ў­Ґ­Ёп, § ¤ о饣® нвг Ї«®бЄ®бвм.

Љ Є Ё ¤«п б«гз п Їаאַ© ­  Ї«®бЄ®бвЁ ®¤­Ё¬ Ё§ в ЄЁе ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ё©
пў«пҐвбп г¬­®¦Ґ­ЁҐ Є®нддЁжЁҐ­в®ў $A$, $B$, $C$ Ё $D$ ­  ®¤­® Ё
⮦Ґ зЁб«® $a\ne 0$: га ў­Ґ­Ёп $$Ax+By+Cz+D=0\quad{\rm Ё}\quad
(aA)x+(aB)y+(aC)z+(aD)=0$$ ®ЇаҐ¤Ґ«пов ®¤­г Ё вг ¦Ґ Ї«®бЄ®бвм.
Љ®а®вЄ® ®Ў®§­ зЁ¬ ў®§¬®¦­лҐ १г«мв вл в ЄЁе ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ё©.
Љ®нддЁжЁҐ­вл $A$, $B$ Ё $C$ ­Ґ ¤®«¦­л ®¤­®ўаҐ¬Ґ­­® ®Ўа й вмбп ў
­®«м. …б«Ё $C\ne 0$, в®, ўлЎа ў $a=1/C$, Ї®«гзЁ¬ га ў­Ґ­ЁҐ
Ї«®бЄ®бвЁ $z+(A/C)x+(B/C)y+(D/C)=0$. €§ ­ҐЈ® ўЁ¤­®, зв® Ёб室­ п
Ї®ўҐае­®бвм ¬®¦Ґв Ўлвм § ¤ ­  Є Є Ја дЁЄ дг­ЄжЁЁ
$z=f(x,y)=-(A/C)x-(B/C)y-(D/C)$ ®в ЇҐаҐ¬Ґ­­ле $(x,y)\in\RR^2$.
…б«Ё ¦Ґ $C=0$, в® в Є®Ј® ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёп ўлЇ®«­Ёвм ­Ґў®§¬®¦­®,
Ёб室­ п Ї«®бЄ®бвм § ¤ Ґвбп га ў­Ґ­ЁҐ¬ $Ax+By+D=0$ Ё пў«пҐвбп
жЁ«Ё­¤а®¬ ­ ¤ Їаאַ© $Ax+By+D=0$ ў Ї«®бЄ®бвЁ $Oxy$. Џ®­пв­®, зв®
в Є®© жЁ«Ё­¤а ­Ґ«м§п § ¤ вм Є Є Ја дЁЄ ­ҐЄ®в®а®© дг­ЄжЁЁ
$z=f(x,y)$ ЇҐаҐ¬Ґ­­ле $(x,y)\in\RR^2$. Ћ¤­ Є® ҐҐ ¬®¦­® § ¤ вм Є Є
Ја дЁЄ дг­ЄжЁЁ ¤агЈЁе ЇҐаҐ¬Ґ­­ле. Ђ Ё¬Ґ­­®, Їгбвм $B\ne 0$,
$a=1/B$. ’®Ј¤  Ёб室­®Ґ га ў­Ґ­ЁҐ ЇаҐ®Ўа §гҐвбп Є ўЁ¤г
$y+(A/B)x+(D/B)=0$ Ё Ї«®бЄ®бвм ¬®¦Ґв Ўлвм § ¤ ­  Є Є Ја дЁЄ
дг­ЄжЁЁ $y=f(x,z)=-(A/B)x-(D/B)$ ®в ЇҐаҐ¬Ґ­­ле $(x,z)\in\RR^2$.
…б«Ё ¦Ґ Ї®¬Ё¬® $C=0$ в Є¦Ґ Ё $B=0$, в® Ёб室­ п Ї«®бЄ®бвм пў«пҐвбп
жЁ«Ё­¤а®¬ Є Є ­ ¤ Їаאַ© ў Ї«®бЄ®бвЁ  $Oxy$, в Є Ё жЁ«Ё­¤а®¬ ­ ¤
Їаאַ© ў Ї«®бЄ®бвЁ  $Oxz$. Џ®н⮬㠥Ґ ­Ґ«м§п в Є¦Ґ § ¤ вм Є Є
Ја дЁЄ ­ҐЄ®в®а®© дг­ЄжЁЁ $y=f(x,z)$ ЇҐаҐ¬Ґ­­ле $(x,z)\in\RR^2$. Ќ®
ў н⮬ б«гз Ґ ®Ўп§ вҐ«м­® $A\ne 0$ Ё ¬®¦­® ўлЎа вм $a=1/A$.
Џ®«гз о饥бп га ў­Ґ­ЁҐ $x+(D/A)=0$ § ¤ Ґв Ї«®бЄ®бвм, пў«пойгобп
Ја дЁЄ®¬ дг­ЄжЁЁ $x=f(y,z)=-(D/A)$ ®в ЇҐаҐ¬Ґ­­ле $(y,z)\in\RR^2$.
Ђ­ «®ЈЁз­лҐ ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёп Ё Ёе Ё­вҐаЇаҐв жЁп бўп§ ­л б
ЇҐаў®­ з «м­л¬ а бᬮв७ЁҐ¬ Є®нддЁжЁҐ­в®ў $B$ Ё«Ё $A$.

Џгбвм $(x_1,y_1,z_1)$ -- в®зЄ , «Ґ¦ й п ­  Ї«®бЄ®бвЁ
$Ax+By+Cz+D=0$: $$Ax_1+By_1+Cz_1+D=0.$$ ’®Ј¤  га ў­Ґ­ЁҐ Ї«®бЄ®бвЁ
¬®¦Ґв Ўлвм § ЇЁб ­® ў ўЁ¤Ґ
$$A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0.\eqno(3)$$ ‚ вҐа¬Ё­ е бЄ «па­®Ј®
Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп Ї®б«Ґ¤­ҐҐ а ўҐ­бвў® ¬®¦­® ЇҐаҐЇЁб вм ў ўЁ¤Ґ
$$((A,B,C), (x-x_1,y-y_1,z-z_1))=0,$$ в.Ґ. ўҐЄв®а
$(x-x_1,y-y_1,z-z_1)$ ЇҐаЇҐ­¤ЁЄг«п७ ўҐЄв®аг $(A,B,C)$. ‡ ЇЁбм
га ў­Ґ­Ёп Ї«®бЄ®бвЁ ў Їа®бва ­б⢥ ўЁ¤  (3) Ё¬ҐҐв, в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬,
б«Ґ¤гойЁ© ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб«: нв® Ї«®бЄ®бвм, Їа®е®¤пй п зҐаҐ§
в®зЄг $(x_1,y_1,z_1)$ ЇҐаЇҐ­¤ЁЄг«па­® ўҐЄв®аг $(A,B,C)$. ‚ҐЄв®а
$(A,B,C)$ Ё¬ҐҐв бЇҐжЁ «м­®Ґ ­ §ў ­ЁҐ --- ­®а¬ «Ё Є Ї«®бЄ®бвЁ.
Џ®­пв­®, зв® ўбҐ ­®а¬ «Ё Їа®Ї®ажЁ®­ «м­л ¬Ґ¦¤г б®Ў®© -- «Ґ¦ в ­ 
®¤­®© Їаאַ©.

‚믨襬 га ў­Ґ­ЁҐ Ї«®бЄ®бвЁ ў Їа®бва ­б⢥, Їа®е®¤п饩 зҐаҐ§ ваЁ
дЁЄбЁа®ў ­­лҐ в®зЄЁ $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$ Ё
$(x_3,y_3,z_3)$, ­Ґ «Ґ¦ йЁҐ ­  ®¤­®© Їаאַ©. Џгбвм $(x,y,z)$ --
Їа®Ё§ў®«м­ п в®зЄ  нв®© Ї«®бЄ®бвЁ. ’®Ј¤  в ЄЁ¬ га ў­Ґ­ЁҐ¬ Ўг¤Ґв
%‘®Ј« б­® § ЇЁбЁ (3), ўҐЄв®а  $\bar{x}^1=(x-x_1,y-y_1,z-z_1)$,
%$\bar{x}^2=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$ Ё
%$\bar{x}^3=(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)$ ЇҐаЇҐ­¤ЁЄг«па­л ®¤­®¬г Ё
%⮬㠦Ґ (­ҐЁ§ўҐбв­®¬г) ­Ґ­г«Ґў®¬г ўҐЄв®аг Є®нддЁжЁҐ­в®ў $(A,B,C)$.
%Њ ваЁж , б®бв ў«Ґ­­ п Ё§ 4-е ЇҐаҐзЁб«Ґ­­ле ўҐЄв®а®ў Ё¬ҐҐв а §¬Ґа
%$4\times 3$. Џ®н⮬㠮­  Ё¬ҐҐв а ­Ј ­Ґ Ў®«миҐ зҐ¬ 3, в.Ґ. (Ї®
%⥮६Ґ ® а ­ЈҐ ¬ ваЁжл) ­ ©¤гвбп 4 зЁб«  $a,b,c,d$, ­Ґ а ў­лҐ
%®¤­®ўаҐ¬Ґ­­лҐ ­г«о, в ЄЁҐ зв®
%$$a\bar{x}^1+b\bar{x}^2+c\bar{x}^3+d(A,B,C)=\bar{0}.$$ “¬­®¦Ё¬ нв®
%а ўҐ­бвў® бЄ «па­® ­  ўҐЄв®а $(A,B,C)$ Ё ў®бЇ®«м§гҐ¬бп ⥬, зв®
%Є ¦¤л© Ё§ $\bar{x}^1,\bar{x}^2,\bar{x}^3$ Ґ¬г ®ав®Ј®­ «Ґ­:
%$d\cdot|(A,B,C)|^2=0$. Џ®бЄ®«мЄг $|(A,B,C)|\ne 0$, в® $d=0$,
%$$a\bar{x}^1+b\bar{x}^2+c\bar{x}^3=\bar{0}$$ Ё б।Ё зЁбҐ« $a,b,c$
%е®вп Ўл ®¤­® ­Ґ а ў­® ­г«о, в.Ґ. ўҐЄв®а 
%$\bar{x}^1,\bar{x}^2,\bar{x}^3$ ®Є §лў овбп «Ё­Ґ©­® § ўЁбЁ¬л¬Ё.
%Џ®н⮬㠯® ⥮६Ґ ® а ­ЈҐ ¬ ваЁжл
$$\begin{vmatrix} x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1&
z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1&
z_3-z_1\end{vmatrix}=A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0\eqno(4)$$ -- ®­®
Ё¬ҐҐв ўЁ¤ (1) Ё «оЎ п Ё§ ваҐе в®зҐЄ $(x_i,y_i,z_i)$, $i=1,2,3$,
Ґ¬г 㤮ў«Ґвў®апҐв. “б«®ўЁҐ -- ваЁ в®зЄЁ ­Ґ «Ґ¦ в ­  ®¤­®© Їаאַ©,
®§­ з Ґв, зв® ўҐЄв®а  $(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$ Ё
$(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)$ ­Ґ Їа®Ї®ажЁ®­ «м­л Ё, §­ зЁв, е®вп Ўл
®¤Ё­ Ё§ Є®нддЁжЁҐ­в®ў $A$, $B$ Ё«Ё $C$ га ў­Ґ­Ёп (4) ­Ґ а ўҐ­ 0.

“а ў­Ґ­ЁҐ (4) Ї®§ў®«пҐв § ¤ вм Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ
Ї«®бЄ®бвЁ. ‚ўҐ¤Ґ¬ ®Ў®§­ зҐ­Ёп
$\bar{u}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\ne \bar{0}$,
$\bar{v}=(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)\ne \bar{0}$,
$\bar{w}=(x_1,y_1,z_1)$. ’®Ј¤ , б®Ј« б­® (4), Ї«®бЄ®бвм -- нв®
¬­®¦Ґбвў® $$\{s\bar{u}+t\bar{v}+\bar{w}\ |\ s,t\in\RR\}\eqno(5)$$
«Ё­Ґ©­ле Є®¬ЎЁ­ жЁ© ўҐЄв®а®ў $\bar{u}$, $\bar{v}$, ®в«®¦Ґ­­ле ®в
в®зЄЁ $\bar{w}$ (Ї® ⥮६Ґ ® а ­ЈҐ ¬ ваЁжл).

Џ®  ­ «®ЈЁЁ б Їап¬л¬Ё ­  Ї«®бЄ®бвЁ, гЈ«®¬ ¬Ґ¦¤г ¤ўг¬п Ї«®бЄ®бвп¬Ё,
§ ¤ ­­л¬Ё га ў­Ґ­Ёп¬Ё ўЁ¤  (1), ­ §лў ов ¬Ґ­миЁ© Ё§ ¤ўге гЈ«®ў,
¬Ґ¦¤г ­®а¬ «п¬Ё нвЁе Ї«®бЄ®б⥩.

‡ дЁЄбЁа㥬 Є Єго-­ЁЎг¤м в®зЄг $M(x_1,y_1,z_1)$ ў Їа®бва ­б⢥
$\RR^3$. Ќ §®ўҐ¬ а ббв®п­ЁҐ¬ $h$ ®в $M$ ¤® Ї«®бЄ®бвЁ
$Ax+By+Cz+D=0$ ¤«Ё­г ЇҐаЇҐ­¤ЁЄг«па , ®Їг饭­®Ј® Ё§ в®зЄЁ $M$ ­ 
нвг Ї«®бЄ®бвм, в.Ґ. ¤«Ё­г Їа®ҐЄжЁЁ ­  ­®а¬ «м $(A,B,C)$ ўҐЄв®а 
$\overline{M_0\,M}$, Ј¤Ґ $M_0(x_0,y_0,z_0)$ -- Їа®Ё§ў®«м­ п в®зЄ 
­  Ї«®бЄ®бвЁ $Ax+By+Cz+D=0$: $$h=|(A,B,C)|\cdot\frac
{|\bigl((A,B,C),(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\bigr)|}{|(A,B,C)|^2}=
\frac {|Ax_1+By_1+Cz_1+D|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$ ‘«Ґ¤®ў вҐ«м­®,
зв®Ўл ­ ©вЁ а ббв®п­ЁҐ ®в в®зЄЁ $M$ ¤® Ї«®бЄ®бвЁ, ­г¦­® ў «Ґўго
з бвм ­®а¬Ёа®ў ­­®Ј® га ў­Ґ­Ёп Ї«®бЄ®бвЁ Ї®¤бв ўЁвм Є®®а¤Ё­ вл
в®зЄЁ $M$ Ё ў§пвм  Ўб®«ов­го ўҐ«ЁзЁ­г Ї®«г祭­®Ј® १г«мв в  (Є Є
Ё ¤«п га ў­Ґ­Ёп Їаאַ©, га ў­Ґ­ЁҐ, § ¤ о饥 Ї«®бЄ®бвм, ­ §лў Ґвбп
­®а¬Ёа®ў ­­л¬, Ґб«Ё $A^2+B^2+C^2=1$).



Џ®¤ «Ё­ЁҐ© ў $\RR^3$ Ўг¤Ґ¬ Ї®­Ё¬ вм ЇҐаҐбҐзҐ­ЁҐ ¤ўге Ї®ўҐае­®б⥩,
§ ¤ ­­ле ў н⮬ Їа®бва ­б⢥ (ЇаЁ Ї®¬®йЁ га ў­Ґ­Ё© Ё«Ё
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ¬ бЇ®б®Ў®¬). ЏаЁ н⮬, Є Є Ё ЇаҐ¦¤Ґ, ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґвбп,
зв® нв® ЇҐаҐбҐзҐ­ЁҐ пў«пҐвбп "бгйҐб⢥­­л¬", в.Ґ. ­Ґ ᮤҐа¦Ёв
§­ зЁвҐ«м­ле "ЄгбЄ®ў" Ї®ўҐае­®б⥩. ‚ з бв­®бвЁ, Ґб«Ё ў Є зҐб⢥
¤ўге Ї®ўҐае­®б⥩ ўлЎа вм ®¤­г Ё вг ¦Ґ Ї®ўҐае­®бвм, в® ў
ЇҐаҐбҐзҐ­ЁЁ Ї®«гзЁвбп ®­  ¦Ґ Ё Ї®«гзЁвбп, -- нв® Ї®ўҐае­®бвм,   ­Ґ
«Ё­Ёп.

1. „ў  га ў­Ґ­Ёп
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    x^2+y^2+z^2-1=0,\\
    (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2-14=0
  \end{cases}
\end{equation*} б®ў¬Ґбв­® ®ЇаҐ¤Ґ«пов ®Єаг¦­®бвм (Є Є
ЇҐаҐбҐзҐ­ЁҐ ¤ўге бдҐа). „агЈЁ¬, нЄўЁў «Ґ­в­л¬, бЇ®б®Ў®¬ § ЇЁб вм
нвг бЁб⥬г га ў­Ґ­Ё© ¬®¦­® в Є
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    x^2+y^2+z^2-1=0,\\
    2x+4y+6z-1=0.
  \end{cases}
\end{equation*}
‚ла ¦ п Ё§ ўв®а®Ј® га ў­Ґ­Ёп, ­ ЇаЁ¬Ґа, ЇҐаҐ¬Ґ­­го $z$ Ё ¤Ґ« п
Ї®¤бв ­®ўЄг ў ЇҐаў®Ґ га ў­Ґ­Ёп, Ї®«гзЁ¬
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    x^2+y^2+(1/6-x/3-2y/3)^2-1=0,\\
    z=1/6-x/3-2y/3.
  \end{cases}
\end{equation*}
‚ н⮬ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁЁ Є ЇҐаў®¬г га ў­Ґ­Ёо ¬®¦­® ®в­®бЁвмбп Є Є Є
га ў­Ґ­Ёо «Ё­ЁЁ (н««ЁЇб ) ­  Ї«®бЄ®бвЁ $Oxy$. ќв  «Ё­Ёп пў«пҐвбп
Їа®ҐЄжЁҐ© ®Єаг¦­®бвЁ (1) ­  $Oxy$. ‘ ¬  ®Єаг¦­®бвм а бЇ®«®¦Ґ­  ў
Ї«®бЄ®бвЁ $z=1/6-x/3-2y/3$ ў $\RR^3$. Ља®¬Ґ в®Ј®, ЇҐаў®Ґ
га ў­Ґ­ЁҐ, $x^2+y^2+(1/6-x/3-2y/3)^2-1=0$, -- нв® ў в® ¦Ґ ўаҐ¬п
га ў­Ґ­ЁҐ жЁ«Ё­¤аЁзҐбЄ®© Ї®ўҐае­®бвЁ ў $\RR^3$.

\noindent {\it Џап¬ п ў Їа®бва ­б⢥.}

Џап¬лҐ ў Їа®бва ­б⢥ ®Ўлз­® § ¤ ов Є Є ЇҐаҐбҐзҐ­ЁҐ Ї ал
Ї«®бЄ®б⥩ ў Їа®бва ­б⢥. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, бЁб⥬®© га ў­Ґ­Ё©,
§ ¤ о饩 Їап¬го ў Їа®бва ­б⢥, пў«пҐвбп
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\
    A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,
  \end{cases}
\end{equation*}
$A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$, $A_2$, $B_2$, $C_2$, $D_2$ --
дЁЄбЁа®ў ­­лҐ зЁб« , $A_1^2+B_1^2+C_1^2\ne 0$,
$A_2^2+B_2^2+C_2^2\ne 0$. —в®Ўл ўлЇЁб ­­лҐ га ў­Ґ­Ёп ®ЇаҐ¤Ґ«п«Ё
а §­лҐ Ї«®бЄ®бвЁ, ў ¤ ­­®¬ б«гз Ґ ­Ґ®Ўе®¤Ё¬®, зв®Ўл ®¤­® га ў­Ґ­ЁҐ
­Ґ бў®¤Ё«®бм Є ¤агЈ®¬г. €­л¬Ё б«®ў ¬Ё, ­Ґ®Ўе®¤Ё¬®, зв®Ўл ўҐЄв®а 
$(A_1,B_1,C_1,D_1)$ Ё $(A_2,B_2,C_2,D_2)$ ­Ґ Ўл«Ё Ўл
Їа®Ї®ажЁ®­ «м­л. ЏаЁ ўлЇ®«­Ґ­ЁЁ нв®Ј® гб«®ўЁп ўлЇЁб ­­лҐ га ў­Ґ­Ёп
®ЇаҐ¤Ґ«пов ¤ўҐ а §­лҐ Ї«®бЄ®бвЁ ў Їа®бва ­б⢥. —в®Ўл ®­Ё Ё¬Ґ«Ё
®ЎйЁҐ в®зЄЁ, ­Ґ®Ўе®¤Ё¬®, зв®Ўл ®­Ё ­Ґ Ўл«Ё Ўл Ї а ««Ґ«м­л, в.Ґ.
зв®Ўл Ёе ­®а¬ «Ё $(A_1,B_1,C_1)$ Ё $(A_2,B_2,C_2)$ ­Ґ Ўл«Ё Ўл
Їа®Ї®ажЁ®­ «м­л. ‚ н⮬ б«гз Ґ, Їа®Ё§ў®¤п ⮦¤Ґб⢥­­лҐ
ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёп ¬®¦­® Ї®«гзЁвм а §«Ёз­лҐ д®а¬л бЁб⥬л га ў­Ґ­Ё©,
§ ¤ о饩 нвг Їап¬го. …б«Ё $(x_0,y_0,z_0)$  -- Їа®Ё§ў®«м­ п в®зЄ ,
а бЇ®«®¦Ґ­­ п ­  Їаאַ©, в® а бб¬ ваЁў Ґ¬ п бЁб⥬  ¬®¦Ґв Ўлвм
§ ЇЁб ­  ў ўЁ¤Ґ
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    A_1(x-x_0)+B_1(y-y_0)+C_1(z-z_0)=0,\\
    A_2(x-x_0)+B_2(y-y_0)+C_2(z-z_0)=0.
  \end{cases}
\end{equation*}
ЏаҐ¤бв ў«пп нвЁ га ў­Ґ­Ёп ў ўЁ¤Ґ бЄ «па­ле Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ё©, ­ е®¤Ё¬,
зв® ®ЎйҐҐ аҐиҐ­ЁҐ нв®© бЁб⥬л б®бв®Ёв Ё§ ­ Ў®а  ўҐЄв®а®ў,
ЇҐаЇҐ­¤ЁЄг«па­ле ўҐЄв®а ¬ $\bar{a}=(A_1,B_1,C_1)$ Ё
$\bar{b}=(A_2,B_2,C_2)$. ЋЎ®§­ зЁ¬ $(l,m,n)=[\bar{a},\bar{b}]$ --
Є®®а¤Ё­ вл ўҐЄв®а­®Ј® Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп. Љ ¦¤л© Ё§ ­Ґ­г«Ґўле ўҐЄв®а®ў,
Їа®Ї®ажЁ®­ «м­ле ўҐЄв®аг $(l,m,n)$ ЇаЁ­пв® ­ §лў вм ­ Їа ў«пойЁ¬
ўҐЄв®а®¬ Їаאַ© (2). ‘®Ј« б­® бЄ § ­­®¬г, га ў­Ґ­Ёп Їаאַ© ў
Їа®бва ­б⢥ § ЇЁблў овбп ў Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®¬ ўЁ¤Ґ:
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    x=x_0+lt,\\
    y=y_0+mt,\\
    z=z_0+nt,
  \end{cases}
\qquad t\in\RR,\end{equation*} -- Їап¬ п, Їа®е®¤пй п зҐаҐ§
$(x_0,y_0,z_0)$ ў ­ Їа ў«Ґ­ЁЁ $(l,m,n)$. €­®Ј¤  Ё§ нв®© § ЇЁбЁ
ЁбЄ«оз ов $t$ Ё ЁбЇ®«м§гов в Єго, ­ §лў Ґ¬го Є ­®­ЁзҐбЄ®©, д®а¬г
§ ЇЁбЁ: $$\frac{x-x_0}l=\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n.$$ ќвг д®а¬г Ё
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ 㤮Ў­® ЇаЁ¬Ґ­пвм ¤«п Ї®ЁбЄ  Їаאַ©,
Їа®е®¤п饩 зҐаҐ§ ¤ўҐ § ¤ ­­лҐ в®зЄЁ $(x_0,y_0,z_0)$ Ё
$(x_1,y_1,z_1)$ Ё§ $\RR^3$. ‚ н⮬ б«гз Ґ ў Є зҐб⢥ $(l,m,n)$
¬®¦­® ўлЎа вм ўҐЄв®а $(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)$.

Џ®  ­ «®ЈЁЁ б Їап¬л¬Ё ­  Ї«®бЄ®бвЁ, гЈ«®¬ ¬Ґ¦¤г ¤ўг¬п Їап¬л¬Ё,
­ §лў ов ¬Ґ­миЁ© Ё§ гЈ«®ў, Є®в®алҐ ®Ўа §гов ¬Ґ¦¤г б®Ў®©
­ Їа ў«пойЁҐ нвЁе Їап¬ле.

ЋЎбг¤Ё¬ ў®Їа®б ® ⮬, Є Є ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм гЈ®« ¬Ґ¦¤г Їаאַ© Ё
Ї«®бЄ®бвмо ў Їа®бва ­б⢥ $\RR^3$. ‡ ¤ ў п Їап¬го, Ўг¤Ґ¬ Ё¬Ґвм
¤Ґ«® б ҐҐ ­ Їа ў«пойЁ¬Ё  $(l,m,n)$, § ¤ ў п Ї«®бЄ®бвм, Ўг¤Ґ¬ Ё¬Ґвм
¤Ґ«® б ҐҐ ­®а¬ «п¬Ё $(A,B,C)$. €бЇ®«м§гп Ї®­пвЁҐ бЄ «па­®Ј®
Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп «ҐЈЄ® Ї®¤бзЁв вм ¬®¤г«м $b$ Є®бЁ­гб  гЈ«  ¬Ґ¦¤г нвЁ¬Ё
ўҐЄв®а ¬Ё. “Ј«®¬ ¦Ґ ¬Ґ¦¤г Їаאַ© Ё Ї«®бЄ®бвмо ҐбвҐб⢥­­® бзЁв вм
гЈ®« $\alpha$ ў Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $[0,\pi/2)$, 㤮ў«Ґвў®апойЁ© а ўҐ­бвўг
$\sin \alpha=b$.
Соседние файлы в папке Введение в линейную алгебру