Добавил:
Studfiles
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебники, методички / Введение в линейную алгебру / Lla07
.tex\section*{\it ‹ҐЄжЁп 7.}
\noindent {\bf Џап¬ п Ё Ї«®бЄ®бвм ў Їа®бва б⢥. “а ўҐЁп
Ї«®бЄ®бвЁ Ё Їаאַ© ў Їа®бва б⢥. “Ј®« ¬Ґ¦¤г Ї«®бЄ®бвп¬Ё. “Ј®«
¬Ґ¦¤г Їап¬л¬Ё. “Ј®« ¬Ґ¦¤г Їаאַ© Ё Ї«®бЄ®бвмо.}
Ѓг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® ў Їа®бва б⢥ $\RR^3$ ўлЎа бв ¤ авл© Ў §Ёб
Ё $(x,y,z)$ б Ё¤ҐЄб ¬Ё Ё«Ё ЎҐ§ Ёе ®§ з Ґв Є®®а¤Ё вго § ЇЁбм
ўҐЄв®а®ў ў н⮬ Їа®бва б⢥. Џ® «®ЈЁЁ б Ї®пвЁҐ¬ «ЁЁЁ
Ї«®бЄ®бвЁ а бб¬ ваЁў Ґвбп Ї®пвЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ ў Їа®бва б⢥.
’ Є¦Ґ Є Є Ё ¤«п «ЁЁ©, Ї®ўҐае®бвм ¬®¦Ґв § ¤ ў вмбп 1) га ўҐЁҐ¬
Ё 2) Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ. ђ бᬮваЁ¬ ЇаЁ¬Ґал Ї®ўҐае®б⥩, § ¤ ле
га ўҐЁҐ¬.
1. $F(x,y,z)=x+y+z$, $U=\RR^3$, -- ¤Ґ©б⢨⥫쮧 з п дгЄжЁп,
$x+y+z=0$ -- га ўҐЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ (в®зҐҐ -- Ї«®бЄ®бвЁ) ў
Їа®бва б⢥. ќв Ї«®бЄ®бвм Їа®е®¤Ёв зҐаҐ§ з «® Є®®а¤Ё в,
ЇҐаҐбҐЄ Ґв Є®®а¤Ё вго Ї«®бЄ®бвм $Oxy$ Ї® Їаאַ© $x+y=0$,
Є®®а¤Ё вго Ї«®бЄ®бвм $Oxz$ -- Ї® Їаאַ© $x+z=0$. Њ®¦® ЇаЁўҐбвЁ
Ё ¤агЈЁҐ ҐҐ бў®©бвў .
2. $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$, $U=\RR^3$, -- ¤Ґ©б⢨⥫쮧 з п
дгЄжЁп, $x^2+y^2+z^2=0$ -- га ўҐЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ ў Їа®бва б⢥;
Ґ¤Ёб⢥ п 㤮ў«Ґвў®апой п Ґ¬г в®зЄ -- з «® Є®®а¤Ё в
$(x,y,z)=(0,0,0)$, -- Ї®ўҐае®бвм ЇаҐ¤бв ў«пҐв Ё§ ᥡп нвг в®зЄг.
„ ®Ґ га ўҐЁҐ ®ЇаҐ¤Ґ«пҐв ўл஦¤Ґго Ї®ўҐае®бвм.
3. $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1$, $U=\RR^3$, -- ¤Ґ©б⢨⥫쮧 з п
дгЄжЁп, $x^2+y^2+z^2-1=0$ -- га ўҐЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ ў Їа®бва б⢥
(бдҐал а ¤Ёгб 1). „ п Ї®ўҐае®бвм б®бв®Ёв Ё§ в®зҐЄ, г¤ «Ґле
®в з « Є®®а¤Ё в а ббв®пЁҐ 1.
4. џў«пҐвбп ®Ў®ЎйҐЁҐ¬ ЇаҐ¤л¤гйЁе ¤ўге ЇаЁ¬Ґа®ў. ”ЁЄбЁа㥬
Є Є®Ґ-ЁЎг¤м Ґ®в\-аЁ\-ж \-⥫쮥 зЁб«® $r$.
$F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-r^2$, $U=\RR^3$, -- ¤Ґ©б⢨⥫쮧 з п
дгЄжЁп, $x^2+y^2+z^2-r^2=0$ -- га ўҐЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ ў
Їа®бва б⢥ (бдҐал а ¤Ёгб r). „ п Ї®ўҐае®бвм б®бв®Ёв Ё§
в®зҐЄ, г¤ «Ґле ®в з « Є®®а¤Ё в а ббв®пЁҐ r.
5. $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+1$, $U=\RR^3$, -- ¤Ґ©б⢨⥫쮧 з п
дгЄжЁп, $x^2+y^2+z^2+1=0$ -- га ўҐЁҐ ў Їа®бва б⢥. ќв®¬г
га ўҐЁо Ґ 㤮ў«Ґвў®апҐв Ё ®¤ в®зЄ , ®® Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«пҐв
Ї®ўҐае®бвЁ.
6. Љ Є Ё ¤«п «ЁЁ©, ўла ¦ҐЁп ўЁ¤
$(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2-2(xy+xz+yz)\equiv 0$ пў«повбп ⮦¤Ґбвў ¬Ё,
Ґ пў«повбп га ўҐЁп¬Ё Ё Ґ § ¤ ов Ї®ўҐае®бвЁ.
7. ‘ Є ¦¤®© «ЁЁҐ© $L$ Ї«®бЄ®бвЁ $Oxy$, § ¤ ®© га ўҐЁҐ¬
$F(x,y)=0$, $F:U\to\RR$, $U\subset\RR^2$, бўп§ в Є §лў Ґ¬ п
жЁ«Ё¤аЁзҐбЄ п Ї®ўҐае®бвм Ё«Ё жЁ«Ё¤а ¤ $L$. ќв Ї®ўҐае®бвм
б®бв®Ёв Ё§ ўбҐў®§¬®¦ле Їап¬ле ў Їа®бва б⢥, Їа®е®¤пйЁе зҐаҐ§
в®зЄЁ $L$ Ї а ««Ґ«м® ®бЁ $Oz$.
Џгбвм $F:U\to\RR$ -- ҐЄ®в®а п
¤Ґ©б⢨⥫쮧 з п дгЄжЁп, § ¤ п Ї®¤¬®¦Ґб⢥
$U\subset\RR^3$ в®зҐЄ $(x,y,z)\in U$. ‘®®в®иҐЁҐ $F(x,y,z)=0$
§лў Ґвбп га ўҐЁҐ¬ $U$. Ѓг¤Ґ¬ ЇаҐ¤Ї®« Ј вм, з⮠⥠Ї ал
$(x,y,z)\in U$, Є®в®алҐ Ґ¬г 㤮ў«Ґвў®апов, Ґ § Ї®«пов 楫л©
"Єгб®Є Їа®бва бвў ". Џ®ўҐае®бвмо, § ¤ ў Ґ¬®© дгЄжЁҐ© $F$ (Ё«Ё
га ўҐЁҐ¬ $F=0$), §лў ов б®ў®ЄгЇ®бвм $$\{(x,y,z)\in U\ |\
F(x,y,z)=0\}.$$ ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬ Ї®ўҐае®бвм ў Їа®бва б⢥ -- нв®
ҐЄ®в®ал© Ў®а в®зҐЄ Їа®бва бвў .
ЏаЁ ®Ўб㦤ҐЁЁ в®Ј® Є Є § ¤ овбп Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ
ЁбЇ®«м§гҐвбп Ї®пвЁҐ ®Ў« бвЁ $\cal V$ Ї«®бЄ®бвЁ. Ћ® Ё¬ҐҐв
ўЇ®«Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґл© ¬ ⥬ вЁзҐбЄЁ© б¬лб«, ®¤ Є® ¤ л© ¬®¬Ґв
¤ ў вм ҐЈ® Ґ Ўг¤Ґ¬. Џ®¤ ®Ў« бвмо Ўг¤Ґ¬ Ї®Ё¬ вм "Єгб®Є Ё«Ё
ҐбЄ®«мЄ® ЄгбЄ®ў Ї«®бЄ®бвЁ". ЏаЁ¬Ґа ¬Ё ®Ў« б⥩ пў«повбп ЄагЈ,
Єў ¤а в Ї«®бЄ®бвЁ, ®ЎкҐ¤ЁҐЁҐ ЄагЈ Ё Єў ¤а в , ўбп Ї«®бЄ®бвм,
Ї®«гЇ«®бЄ®бвм. ‚ ⮦Ґ ўаҐ¬п «ЁЁп Ї«®бЄ®бвЁ ®Ў« бвмо Ґ
пў«пҐвбп. Џгбвм $\alpha,\beta,\gamma:{\cal V}\to\RR$ -- ваЁ
¤Ґ©б⢨⥫쮧 злҐ дгЄжЁЁ, § ¤ лҐ ®Ў« бвЁ ${\cal
V}\subset\RR^2$. ѓ®ў®апв, зв® бЁб⥬
\begin{equation*}
\begin{cases}
x=\alpha(u,v),\\
y=\beta(u,v),\\
z=\gamma(u,v)
\end{cases}
\qquad (u,v)\in {\cal V},\end{equation*} § ¤ Ґв Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ
ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ ў Їа®бва б⢥. ќв® § ¤ ЁҐ Їа®Ёб室Ёв
б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬: Ї®ўҐае®бвмо бзЁв Ґвбп б®ў®ЄгЇ®бвм в®зҐЄ
$$\{(\alpha(u,v),\beta(u,v),\gamma(u,v))\in\RR^3\ |\ (u,v)\in
{\cal V}\}$$ Їа®бва бвў .
\noindent {\it ЏаЁ¬Ґал § ¤ ў Ґ¬ле Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ Ї®ўҐае®б⥩.}
8. “а ўҐЁп $x=u$, $y=v$, $z=-u-v$, $(u,v)\in\RR^2$, § ¤ ов
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ Ї«®бЄ®бвЁ $x+y+z=0$ Ё§ ЇаЁ¬Ґа 1.
9. ЌҐбЄ®«мЄ® Ў®«ҐҐ б«®¦л¬ пў«пҐвбп Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ
бдҐал а ¤Ёгб $r>0$ Ё§ ЇаЁ¬Ґа 4. “а ўҐЁп
\begin{equation*}
\begin{cases}
x=r\cos u\cos v,\\
y=r\sin u\cos v,\\
z=r\sin v
\end{cases}
\qquad (u,v)\in {\cal V},\end{equation*} пў«повбп ЇаЁ¬Ґа®¬ в Є®Ј®
§ ¤ Ёп. ЏаЁ н⮬ ${\cal V}=[0,2\pi]\times[0,\pi]$ --
Їаאַ㣮«мЁЄ Ї«®бЄ®бвЁ б® бв®а® ¬Ё ¤«Ёл $2\pi$ Ё $\pi$.
\noindent {\it Ђ«ЈҐЎа ЁзҐбЄЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ.}
Љ Є Ё ¤«п «ЁЁ© Ї«®бЄ®бвЁ ў ¦л¬ Є« бᮬ Ї®ўҐае®б⥩ пў«повбп
Ї®ўҐае®бвЁ, § ¤ ў Ґ¬лҐ «ЈҐЎа ЁзҐбЄЁ¬Ё га ўҐЁп¬Ё. ќв® га ўҐЁп
б«Ґ¤гойЁе ўЁ¤®ў: $$Ax+By+Cz+D=0,\eqno(1)$$
$$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0 \eqno(2)$$ Ё в.¤. ‚ нвЁе
га ўҐЁпе $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J$ -- ҐЄ®в®алҐ дЁЄбЁа®ў лҐ зЁб« ;
®Ё §лў овбп Є®нддЁжЁҐв ¬Ё гЄ § ле га ўҐЁ©. “а ўҐЁҐ (1)
§лў Ґвбп ®ЎйЁ¬ га ўҐЁҐ¬ 1-© б⥯ҐЁ, Ґб«Ё ў Ґ¬
$A^2+B^2+C^2\ne 0$. “а ўҐЁҐ (2) §лў Ґвбп ®ЎйЁ¬ га ўҐЁҐ¬ 2-©
б⥯ҐЁ, Ґб«Ё ў Ґ¬ $A^2+B^2+C^2+D^2+E^2+F^2\ne 0$.
\noindent {\it Џ«®бЄ®бвм ў Їа®бва б⢥.}
Ђ«ЈҐЎа ЁзҐбЄЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ 1-© б⥯ҐЁ §лў ов Ї«®бЄ®бвп¬Ё ў
Їа®бва б⢥. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, га ўҐЁҐ¬, § ¤ ойЁ¬ Ї«®бЄ®бвм ў
Їа®бва б⢥, пў«пҐвбп га ўҐЁҐ $Ax+By+Cz+D=0$, $A$, $B$, $C$ Ё
$D$ -- дЁЄбЁа®ў лҐ зЁб« , $A^2+B^2+C^2\ne 0$. Џа®Ё§ў®¤п
⮦¤ҐбвўҐлҐ ЇаҐ®Ўа §®ў Ёп а ўҐбвў $Ax+By+Cz+D=0$, Ї®«гз ов
а §«ЁзлҐ д®а¬л га ўҐЁп, § ¤ о饣® нвг Ї«®бЄ®бвм.
Љ Є Ё ¤«п б«гз п Їаאַ© Ї«®бЄ®бвЁ ®¤Ё¬ Ё§ в ЄЁе ЇаҐ®Ўа §®ў Ё©
пў«пҐвбп 㬮¦ҐЁҐ Є®нддЁжЁҐв®ў $A$, $B$, $C$ Ё $D$ ®¤® Ё
⮦Ґ зЁб«® $a\ne 0$: га ўҐЁп $$Ax+By+Cz+D=0\quad{\rm Ё}\quad
(aA)x+(aB)y+(aC)z+(aD)=0$$ ®ЇаҐ¤Ґ«пов ®¤г Ё вг ¦Ґ Ї«®бЄ®бвм.
Љ®а®вЄ® ®Ў®§ зЁ¬ ў®§¬®¦лҐ १г«мв вл в ЄЁе ЇаҐ®Ўа §®ў Ё©.
Љ®нддЁжЁҐвл $A$, $B$ Ё $C$ Ґ ¤®«¦л ®¤®ўаҐ¬Ґ® ®Ўа й вмбп ў
®«м. …б«Ё $C\ne 0$, в®, ўлЎа ў $a=1/C$, Ї®«гзЁ¬ га ўҐЁҐ
Ї«®бЄ®бвЁ $z+(A/C)x+(B/C)y+(D/C)=0$. €§ ҐЈ® ўЁ¤®, зв® Ёб室 п
Ї®ўҐае®бвм ¬®¦Ґв Ўлвм § ¤ Є Є Ја дЁЄ дгЄжЁЁ
$z=f(x,y)=-(A/C)x-(B/C)y-(D/C)$ ®в ЇҐаҐ¬Ґле $(x,y)\in\RR^2$.
…б«Ё ¦Ґ $C=0$, в® в Є®Ј® ЇаҐ®Ўа §®ў Ёп ўлЇ®«Ёвм Ґў®§¬®¦®,
Ёб室 п Ї«®бЄ®бвм § ¤ Ґвбп га ўҐЁҐ¬ $Ax+By+D=0$ Ё пў«пҐвбп
жЁ«Ё¤а®¬ ¤ Їаאַ© $Ax+By+D=0$ ў Ї«®бЄ®бвЁ $Oxy$. Џ®пв®, зв®
в Є®© жЁ«Ё¤а Ґ«м§п § ¤ вм Є Є Ја дЁЄ ҐЄ®в®а®© дгЄжЁЁ
$z=f(x,y)$ ЇҐаҐ¬Ґле $(x,y)\in\RR^2$. Ћ¤ Є® ҐҐ ¬®¦® § ¤ вм Є Є
Ја дЁЄ дгЄжЁЁ ¤агЈЁе ЇҐаҐ¬Ґле. Ђ Ё¬Ґ®, Їгбвм $B\ne 0$,
$a=1/B$. ’®Ј¤ Ёб室®Ґ га ўҐЁҐ ЇаҐ®Ўа §гҐвбп Є ўЁ¤г
$y+(A/B)x+(D/B)=0$ Ё Ї«®бЄ®бвм ¬®¦Ґв Ўлвм § ¤ Є Є Ја дЁЄ
дгЄжЁЁ $y=f(x,z)=-(A/B)x-(D/B)$ ®в ЇҐаҐ¬Ґле $(x,z)\in\RR^2$.
…б«Ё ¦Ґ Ї®¬Ё¬® $C=0$ в Є¦Ґ Ё $B=0$, в® Ёб室 п Ї«®бЄ®бвм пў«пҐвбп
жЁ«Ё¤а®¬ Є Є ¤ Їаאַ© ў Ї«®бЄ®бвЁ $Oxy$, в Є Ё жЁ«Ё¤а®¬ ¤
Їаאַ© ў Ї«®бЄ®бвЁ $Oxz$. Џ®н⮬㠥Ґ Ґ«м§п в Є¦Ґ § ¤ вм Є Є
Ја дЁЄ ҐЄ®в®а®© дгЄжЁЁ $y=f(x,z)$ ЇҐаҐ¬Ґле $(x,z)\in\RR^2$. Ќ®
ў н⮬ б«гз Ґ ®Ўп§ вҐ«м® $A\ne 0$ Ё ¬®¦® ўлЎа вм $a=1/A$.
Џ®«гз о饥бп га ўҐЁҐ $x+(D/A)=0$ § ¤ Ґв Ї«®бЄ®бвм, пў«пойгобп
Ја дЁЄ®¬ дгЄжЁЁ $x=f(y,z)=-(D/A)$ ®в ЇҐаҐ¬Ґле $(y,z)\in\RR^2$.
Ђ «®ЈЁзлҐ ЇаҐ®Ўа §®ў Ёп Ё Ёе ЁвҐаЇаҐв жЁп бўп§ л б
ЇҐаў® з «мл¬ а бᬮв२Ґ¬ Є®нддЁжЁҐв®ў $B$ Ё«Ё $A$.
Џгбвм $(x_1,y_1,z_1)$ -- в®зЄ , «Ґ¦ й п Ї«®бЄ®бвЁ
$Ax+By+Cz+D=0$: $$Ax_1+By_1+Cz_1+D=0.$$ ’®Ј¤ га ўҐЁҐ Ї«®бЄ®бвЁ
¬®¦Ґв Ўлвм § ЇЁб ® ў ўЁ¤Ґ
$$A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0.\eqno(3)$$ ‚ вҐа¬Ё е бЄ «па®Ј®
Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁп Ї®б«Ґ¤ҐҐ а ўҐбвў® ¬®¦® ЇҐаҐЇЁб вм ў ўЁ¤Ґ
$$((A,B,C), (x-x_1,y-y_1,z-z_1))=0,$$ в.Ґ. ўҐЄв®а
$(x-x_1,y-y_1,z-z_1)$ ЇҐаЇҐ¤ЁЄг«пॠўҐЄв®аг $(A,B,C)$. ‡ ЇЁбм
га ўҐЁп Ї«®бЄ®бвЁ ў Їа®бва б⢥ ўЁ¤ (3) Ё¬ҐҐв, в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬,
б«Ґ¤гойЁ© ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб«: нв® Ї«®бЄ®бвм, Їа®е®¤пй п зҐаҐ§
в®зЄг $(x_1,y_1,z_1)$ ЇҐаЇҐ¤ЁЄг«па® ўҐЄв®аг $(A,B,C)$. ‚ҐЄв®а
$(A,B,C)$ Ё¬ҐҐв бЇҐжЁ «м®Ґ §ў ЁҐ --- ®а¬ «Ё Є Ї«®бЄ®бвЁ.
Џ®пв®, зв® ўбҐ ®а¬ «Ё Їа®Ї®ажЁ® «мл ¬Ґ¦¤г б®Ў®© -- «Ґ¦ в
®¤®© Їаאַ©.
‚믨襬 га ўҐЁҐ Ї«®бЄ®бвЁ ў Їа®бва б⢥, Їа®е®¤п饩 зҐаҐ§ ваЁ
дЁЄбЁа®ў лҐ в®зЄЁ $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$ Ё
$(x_3,y_3,z_3)$, Ґ «Ґ¦ йЁҐ ®¤®© Їаאַ©. Џгбвм $(x,y,z)$ --
Їа®Ё§ў®«м п в®зЄ нв®© Ї«®бЄ®бвЁ. ’®Ј¤ в ЄЁ¬ га ўҐЁҐ¬ Ўг¤Ґв
%‘®Ј« б® § ЇЁбЁ (3), ўҐЄв®а $\bar{x}^1=(x-x_1,y-y_1,z-z_1)$,
%$\bar{x}^2=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$ Ё
%$\bar{x}^3=(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)$ ЇҐаЇҐ¤ЁЄг«пал ®¤®¬г Ё
%⮬㠦Ґ (ҐЁ§ўҐб⮬г) Ґг«Ґў®¬г ўҐЄв®аг Є®нддЁжЁҐв®ў $(A,B,C)$.
%Њ ваЁж , б®бв ў«Ґ п Ё§ 4-е ЇҐаҐзЁб«Ґле ўҐЄв®а®ў Ё¬ҐҐв а §¬Ґа
%$4\times 3$. Џ®н⮬㠮 Ё¬ҐҐв а Ј Ґ Ў®«миҐ зҐ¬ 3, в.Ґ. (Ї®
%⥮६Ґ ® а ЈҐ ¬ ваЁжл) ©¤гвбп 4 зЁб« $a,b,c,d$, Ґ а ўлҐ
%®¤®ўаҐ¬ҐлҐ г«о, в ЄЁҐ зв®
%$$a\bar{x}^1+b\bar{x}^2+c\bar{x}^3+d(A,B,C)=\bar{0}.$$ “¬®¦Ё¬ нв®
%а ўҐбвў® бЄ «па® ўҐЄв®а $(A,B,C)$ Ё ў®бЇ®«м§гҐ¬бп ⥬, зв®
%Є ¦¤л© Ё§ $\bar{x}^1,\bar{x}^2,\bar{x}^3$ Ґ¬г ®ав®Ј® «Ґ:
%$d\cdot|(A,B,C)|^2=0$. Џ®бЄ®«мЄг $|(A,B,C)|\ne 0$, в® $d=0$,
%$$a\bar{x}^1+b\bar{x}^2+c\bar{x}^3=\bar{0}$$ Ё б।Ё зЁбҐ« $a,b,c$
%е®вп Ўл ®¤® Ґ а ў® г«о, в.Ґ. ўҐЄв®а
%$\bar{x}^1,\bar{x}^2,\bar{x}^3$ ®Є §лў овбп «ЁҐ©® § ўЁбЁ¬л¬Ё.
%Џ®н⮬㠯® ⥮६Ґ ® а ЈҐ ¬ ваЁжл
$$\begin{vmatrix} x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1&
z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1&
z_3-z_1\end{vmatrix}=A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0\eqno(4)$$ -- ®®
Ё¬ҐҐв ўЁ¤ (1) Ё «оЎ п Ё§ ваҐе в®зҐЄ $(x_i,y_i,z_i)$, $i=1,2,3$,
Ґ¬г 㤮ў«Ґвў®апҐв. “б«®ўЁҐ -- ваЁ в®зЄЁ Ґ «Ґ¦ в ®¤®© Їаאַ©,
®§ з Ґв, зв® ўҐЄв®а $(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$ Ё
$(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)$ Ґ Їа®Ї®ажЁ® «мл Ё, § зЁв, е®вп Ўл
®¤Ё Ё§ Є®нддЁжЁҐв®ў $A$, $B$ Ё«Ё $C$ га ўҐЁп (4) Ґ а ўҐ 0.
“а ўҐЁҐ (4) Ї®§ў®«пҐв § ¤ вм Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ
Ї«®бЄ®бвЁ. ‚ўҐ¤Ґ¬ ®Ў®§ 票п
$\bar{u}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\ne \bar{0}$,
$\bar{v}=(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)\ne \bar{0}$,
$\bar{w}=(x_1,y_1,z_1)$. ’®Ј¤ , б®Ј« б® (4), Ї«®бЄ®бвм -- нв®
¬®¦Ґбвў® $$\{s\bar{u}+t\bar{v}+\bar{w}\ |\ s,t\in\RR\}\eqno(5)$$
«ЁҐ©ле Є®¬ЎЁ жЁ© ўҐЄв®а®ў $\bar{u}$, $\bar{v}$, ®в«®¦Ґле ®в
в®зЄЁ $\bar{w}$ (Ї® ⥮६Ґ ® а ЈҐ ¬ ваЁжл).
Џ® «®ЈЁЁ б Їап¬л¬Ё Ї«®бЄ®бвЁ, гЈ«®¬ ¬Ґ¦¤г ¤ўг¬п Ї«®бЄ®бвп¬Ё,
§ ¤ л¬Ё га ўҐЁп¬Ё ўЁ¤ (1), §лў ов ¬ҐмиЁ© Ё§ ¤ўге гЈ«®ў,
¬Ґ¦¤г ®а¬ «п¬Ё нвЁе Ї«®бЄ®б⥩.
‡ дЁЄбЁа㥬 Є Єго-ЁЎг¤м в®зЄг $M(x_1,y_1,z_1)$ ў Їа®бва б⢥
$\RR^3$. Ќ §®ўҐ¬ а ббв®пЁҐ¬ $h$ ®в $M$ ¤® Ї«®бЄ®бвЁ
$Ax+By+Cz+D=0$ ¤«Ёг ЇҐаЇҐ¤ЁЄг«па , ®Їг饮Ј® Ё§ в®зЄЁ $M$
нвг Ї«®бЄ®бвм, в.Ґ. ¤«Ёг Їа®ҐЄжЁЁ ®а¬ «м $(A,B,C)$ ўҐЄв®а
$\overline{M_0\,M}$, Ј¤Ґ $M_0(x_0,y_0,z_0)$ -- Їа®Ё§ў®«м п в®зЄ
Ї«®бЄ®бвЁ $Ax+By+Cz+D=0$: $$h=|(A,B,C)|\cdot\frac
{|\bigl((A,B,C),(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\bigr)|}{|(A,B,C)|^2}=
\frac {|Ax_1+By_1+Cz_1+D|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$ ‘«Ґ¤®ў ⥫м®,
зв®Ўл ©вЁ а ббв®пЁҐ ®в в®зЄЁ $M$ ¤® Ї«®бЄ®бвЁ, 㦮 ў «Ґўго
з бвм ®а¬Ёа®ў ®Ј® га ўҐЁп Ї«®бЄ®бвЁ Ї®¤бв ўЁвм Є®®а¤Ё вл
в®зЄЁ $M$ Ё ў§пвм Ўб®«овго ўҐ«ЁзЁг Ї®«г祮Ј® १г«мв в (Є Є
Ё ¤«п га ўҐЁп Їаאַ©, га ўҐЁҐ, § ¤ о饥 Ї«®бЄ®бвм, §лў Ґвбп
®а¬Ёа®ў л¬, Ґб«Ё $A^2+B^2+C^2=1$).
Џ®¤ «ЁЁҐ© ў $\RR^3$ Ўг¤Ґ¬ Ї®Ё¬ вм ЇҐаҐбҐзҐЁҐ ¤ўге Ї®ўҐае®б⥩,
§ ¤ ле ў н⮬ Їа®бва б⢥ (ЇаЁ Ї®¬®йЁ га ўҐЁ© Ё«Ё
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ¬ бЇ®б®Ў®¬). ЏаЁ н⮬, Є Є Ё ЇаҐ¦¤Ґ, ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґвбп,
зв® нв® ЇҐаҐбҐзҐЁҐ пў«пҐвбп "бгйҐб⢥л¬", в.Ґ. Ґ ᮤҐа¦Ёв
§ зЁвҐ«мле "ЄгбЄ®ў" Ї®ўҐае®б⥩. ‚ з бв®бвЁ, Ґб«Ё ў Є зҐб⢥
¤ўге Ї®ўҐае®б⥩ ўлЎа вм ®¤г Ё вг ¦Ґ Ї®ўҐае®бвм, в® ў
ЇҐаҐбҐзҐЁЁ Ї®«гзЁвбп ® ¦Ґ Ё Ї®«гзЁвбп, -- нв® Ї®ўҐае®бвм, Ґ
«ЁЁп.
1. „ў га ўҐЁп
\begin{equation*}
\begin{cases}
x^2+y^2+z^2-1=0,\\
(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2-14=0
\end{cases}
\end{equation*} б®ў¬Ґбв® ®ЇаҐ¤Ґ«пов ®Єа㦮бвм (Є Є
ЇҐаҐбҐзҐЁҐ ¤ўге бдҐа). „агЈЁ¬, нЄўЁў «Ґвл¬, бЇ®б®Ў®¬ § ЇЁб вм
нвг бЁб⥬г га ўҐЁ© ¬®¦® в Є
\begin{equation*}
\begin{cases}
x^2+y^2+z^2-1=0,\\
2x+4y+6z-1=0.
\end{cases}
\end{equation*}
‚ла ¦ п Ё§ ўв®а®Ј® га ўҐЁп, ЇаЁ¬Ґа, ЇҐаҐ¬Ґго $z$ Ё ¤Ґ« п
Ї®¤бв ®ўЄг ў ЇҐаў®Ґ га ўҐЁп, Ї®«гзЁ¬
\begin{equation*}
\begin{cases}
x^2+y^2+(1/6-x/3-2y/3)^2-1=0,\\
z=1/6-x/3-2y/3.
\end{cases}
\end{equation*}
‚ н⮬ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁЁ Є ЇҐаў®¬г га ўҐЁо ¬®¦® ®в®бЁвмбп Є Є Є
га ўҐЁо «ЁЁЁ (н««ЁЇб ) Ї«®бЄ®бвЁ $Oxy$. ќв «ЁЁп пў«пҐвбп
Їа®ҐЄжЁҐ© ®Єа㦮бвЁ (1) $Oxy$. ‘ ¬ ®Єа㦮бвм а бЇ®«®¦Ґ ў
Ї«®бЄ®бвЁ $z=1/6-x/3-2y/3$ ў $\RR^3$. Ља®¬Ґ в®Ј®, ЇҐаў®Ґ
га ўҐЁҐ, $x^2+y^2+(1/6-x/3-2y/3)^2-1=0$, -- нв® ў в® ¦Ґ ўаҐ¬п
га ўҐЁҐ жЁ«Ё¤аЁзҐбЄ®© Ї®ўҐае®бвЁ ў $\RR^3$.
\noindent {\it Џап¬ п ў Їа®бва б⢥.}
Џап¬лҐ ў Їа®бва б⢥ ®Ўлз® § ¤ ов Є Є ЇҐаҐбҐзҐЁҐ Ї ал
Ї«®бЄ®б⥩ ў Їа®бва б⢥. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, бЁб⥬®© га ўҐЁ©,
§ ¤ о饩 Їап¬го ў Їа®бва б⢥, пў«пҐвбп
\begin{equation*}
\begin{cases}
A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\
A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,
\end{cases}
\end{equation*}
$A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$, $A_2$, $B_2$, $C_2$, $D_2$ --
дЁЄбЁа®ў лҐ зЁб« , $A_1^2+B_1^2+C_1^2\ne 0$,
$A_2^2+B_2^2+C_2^2\ne 0$. —в®Ўл ўлЇЁб лҐ га ўҐЁп ®ЇаҐ¤Ґ«п«Ё
а §лҐ Ї«®бЄ®бвЁ, ў ¤ ®¬ б«гз Ґ Ґ®Ўе®¤Ё¬®, зв®Ўл ®¤® га ўҐЁҐ
Ґ бў®¤Ё«®бм Є ¤агЈ®¬г. €л¬Ё б«®ў ¬Ё, Ґ®Ўе®¤Ё¬®, зв®Ўл ўҐЄв®а
$(A_1,B_1,C_1,D_1)$ Ё $(A_2,B_2,C_2,D_2)$ Ґ Ўл«Ё Ўл
Їа®Ї®ажЁ® «мл. ЏаЁ ўлЇ®«ҐЁЁ нв®Ј® гб«®ўЁп ўлЇЁб лҐ га ўҐЁп
®ЇаҐ¤Ґ«пов ¤ўҐ а §лҐ Ї«®бЄ®бвЁ ў Їа®бва б⢥. —в®Ўл ®Ё Ё¬Ґ«Ё
®ЎйЁҐ в®зЄЁ, Ґ®Ўе®¤Ё¬®, зв®Ўл ®Ё Ґ Ўл«Ё Ўл Ї а ««Ґ«мл, в.Ґ.
зв®Ўл Ёе ®а¬ «Ё $(A_1,B_1,C_1)$ Ё $(A_2,B_2,C_2)$ Ґ Ўл«Ё Ўл
Їа®Ї®ажЁ® «мл. ‚ н⮬ б«гз Ґ, Їа®Ё§ў®¤п ⮦¤Ґб⢥лҐ
ЇаҐ®Ўа §®ў Ёп ¬®¦® Ї®«гзЁвм а §«ЁзлҐ д®а¬л бЁб⥬л га ўҐЁ©,
§ ¤ о饩 нвг Їап¬го. …б«Ё $(x_0,y_0,z_0)$ -- Їа®Ё§ў®«м п в®зЄ ,
а бЇ®«®¦Ґ п Їаאַ©, в® а бб¬ ваЁў Ґ¬ п бЁб⥬ ¬®¦Ґв Ўлвм
§ ЇЁб ў ўЁ¤Ґ
\begin{equation*}
\begin{cases}
A_1(x-x_0)+B_1(y-y_0)+C_1(z-z_0)=0,\\
A_2(x-x_0)+B_2(y-y_0)+C_2(z-z_0)=0.
\end{cases}
\end{equation*}
ЏаҐ¤бв ў«пп нвЁ га ўҐЁп ў ўЁ¤Ґ бЄ «пале Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁ©, 室Ё¬,
зв® ®ЎйҐҐ аҐиҐЁҐ нв®© бЁб⥬л б®бв®Ёв Ё§ Ў®а ўҐЄв®а®ў,
ЇҐаЇҐ¤ЁЄг«пале ўҐЄв®а ¬ $\bar{a}=(A_1,B_1,C_1)$ Ё
$\bar{b}=(A_2,B_2,C_2)$. ЋЎ®§ зЁ¬ $(l,m,n)=[\bar{a},\bar{b}]$ --
Є®®а¤Ё вл ўҐЄв®а®Ј® Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁп. Љ ¦¤л© Ё§ Ґг«Ґўле ўҐЄв®а®ў,
Їа®Ї®ажЁ® «мле ўҐЄв®аг $(l,m,n)$ ЇаЁпв® §лў вм Їа ў«пойЁ¬
ўҐЄв®а®¬ Їаאַ© (2). ‘®Ј« б® бЄ § ®¬г, га ўҐЁп Їаאַ© ў
Їа®бва б⢥ § ЇЁблў овбп ў Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®¬ ўЁ¤Ґ:
\begin{equation*}
\begin{cases}
x=x_0+lt,\\
y=y_0+mt,\\
z=z_0+nt,
\end{cases}
\qquad t\in\RR,\end{equation*} -- Їап¬ п, Їа®е®¤пй п зҐаҐ§
$(x_0,y_0,z_0)$ ў Їа ў«ҐЁЁ $(l,m,n)$. €®Ј¤ Ё§ нв®© § ЇЁбЁ
ЁбЄ«оз ов $t$ Ё ЁбЇ®«м§гов в Єго, §лў Ґ¬го Є ®ЁзҐбЄ®©, д®а¬г
§ ЇЁбЁ: $$\frac{x-x_0}l=\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n.$$ ќвг д®а¬г Ё
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ 㤮Ў® ЇаЁ¬Ґпвм ¤«п Ї®ЁбЄ Їаאַ©,
Їа®е®¤п饩 зҐаҐ§ ¤ўҐ § ¤ лҐ в®зЄЁ $(x_0,y_0,z_0)$ Ё
$(x_1,y_1,z_1)$ Ё§ $\RR^3$. ‚ н⮬ б«гз Ґ ў Є зҐб⢥ $(l,m,n)$
¬®¦® ўлЎа вм ўҐЄв®а $(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)$.
Џ® «®ЈЁЁ б Їап¬л¬Ё Ї«®бЄ®бвЁ, гЈ«®¬ ¬Ґ¦¤г ¤ўг¬п Їап¬л¬Ё,
§лў ов ¬ҐмиЁ© Ё§ гЈ«®ў, Є®в®алҐ ®Ўа §гов ¬Ґ¦¤г б®Ў®©
Їа ў«пойЁҐ нвЁе Їап¬ле.
ЋЎбг¤Ё¬ ў®Їа®б ® ⮬, Є Є ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм гЈ®« ¬Ґ¦¤г Їаאַ© Ё
Ї«®бЄ®бвмо ў Їа®бва б⢥ $\RR^3$. ‡ ¤ ў п Їап¬го, Ўг¤Ґ¬ Ё¬Ґвм
¤Ґ«® б ҐҐ Їа ў«пойЁ¬Ё $(l,m,n)$, § ¤ ў п Ї«®бЄ®бвм, Ўг¤Ґ¬ Ё¬Ґвм
¤Ґ«® б ҐҐ ®а¬ «п¬Ё $(A,B,C)$. €бЇ®«м§гп Ї®пвЁҐ бЄ «па®Ј®
Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁп «ҐЈЄ® Ї®¤бзЁв вм ¬®¤г«м $b$ Є®бЁгб гЈ« ¬Ґ¦¤г нвЁ¬Ё
ўҐЄв®а ¬Ё. “Ј«®¬ ¦Ґ ¬Ґ¦¤г Їаאַ© Ё Ї«®бЄ®бвмо ҐбвҐб⢥® бзЁв вм
гЈ®« $\alpha$ ў Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $[0,\pi/2)$, 㤮ў«Ґвў®апойЁ© а ўҐбвўг
$\sin \alpha=b$.
Соседние файлы в папке Введение в линейную алгебру