Добавил:
Studfiles
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебники, методички / Введение в линейную алгебру / Lla10
.tex\section*{\it ‹ҐЄжЁп 10.}
\noindent {\bf ЉаЁўлҐ ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є : н««ЁЇб, ЈЁЇҐаЎ®« Ё
Ї а Ў®« , Ёе бў®©бвў Ё Є ®ЁзҐбЄЁҐ га ўҐЁп. Љ« ббЁдЁЄ жЁп
ЄаЁўле ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є Ї«®бЄ®бвЁ.}
ќ««ЁЇб®¬ §лў Ґвбп ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ¬Ґбв® в®зҐЄ, ¤«п Є®в®але б㬬
а ббв®пЁ© ®в ¤ўге дЁЄбЁа®ў ле в®зҐЄ Ї«®бЄ®бвЁ, §лў Ґ¬ле
д®Єгб ¬Ё, Ґбвм Ї®бв®п п ўҐ«ЁзЁ .
„«п ўлў®¤ га ўҐЁп н««ЁЇб Ўг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® ҐЈ® д®Єгбл --
$F_1$, $F_2$, а бЇ®«®¦Ґл ®бЁ $Ox$ Ё Ё¬Ґов Є®®а¤Ё вл
$(-c,0)^\ast$, $(c,0)^\ast$ ᮮ⢥вб⢥®. Џгбвм $M$ --
Їа®Ё§ў®«м п в®зЄ н««ЁЇб . ’®Ј¤ $F_1M+F_2M=const=2a>0$. …б«Ё
$M=(x,y)^\ast$, в®
$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a.\eqno (1)$$ ЏаҐ®Ўа §гҐ¬
нв® га ўҐЁҐ
$${(x+c)^2+y^2}=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2,\eqno (2)$$
$$a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-cx,\eqno (3)$$
$$a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)=a^4-2a^2cx+c^2x^2,$$
$$(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2).\eqno (4)$$ …б«Ё ®Ў®§ зЁвм
$b=\sqrt{a^2-c^2}$ Ё гзҐбвм, зв® $a>c>0$, в® (4) ¬®¦® § ЇЁб вм ў
ўЁ¤Ґ $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.\eqno (5)$$ Џа®ўҐаЁ¬, зв®
(5) нЄўЁў «Ґв® (1). Њл 㦥 гбв ®ўЁ«Ё, зв® $(1)\Rightarrow (5)$.
„®Є ¦Ґ¬ ®Ўа ⮥. …б«Ё $x$, $y$ 㤮ў«Ґвў®апов (5), в®
$|x|\leqslant a$ Ё $|cx|\leqslant a^2$. Џ®н⮬㠢믮«Ґ® (4), (3)
Ё (2), $$\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm(2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}).$$ €¬ҐҐ¬,
$|(x-c)^2+y^2|\leqslant x^2+2|cx|+c^2+y^2\leqslant
a^2+2a^2+c^2+b^2=4a^2.$ Џ®н⮬㠢Ґа® (1).
“а ўҐЁҐ (5) §лў Ґвбп Є ®ЁзҐбЄЁ¬ га ўҐЁҐ¬ н««ЁЇб . ’ ЄЁ¬
®Ўа §®¬, ¬л гбв ®ўЁ«Ё, зв® н««ЁЇб пў«пҐвбп «ЁЁҐ© ўв®а®Ј®
Ї®ап¤Є . Љ Є б«Ґ¤гҐв Ё§ (5) нв «ЁЁп бЁ¬¬ҐваЁз ®в®бЁвҐ«м®
®бҐ© Є®®а¤Ё в. Џ®н⮬г, зв®Ўл Ё§®Ўа §Ёвм нвг «ЁЁо Ї«®бЄ®бвЁ,
¤®бв в®з® аЁб®ў вм Ја дЁЄ дгЄжЁЁ $y=\frac ba\sqrt{a^2-x^2}$,
$0\leqslant x\leqslant a$, Ё ®ва §Ёвм ҐЈ® ®в®бЁвҐ«м® ®бҐ©
Є®®а¤Ё в. ѓа дЁЄ нв®© дгЄжЁЁ -- ўлЇгЄ« п ўўҐае ¬®®в®®
гЎлў ой п «ЁЁп, Їа®е®¤пй п зҐаҐ§ в®зЄЁ $(0,b)^\ast$,
$(a,0)^\ast$. Џа®Ё§ў®¤ п ў г«Ґ а ў г«о, Їа®Ё§ў®¤ п ў в®зЄҐ
$a$ а ў ¬Ёгб ЎҐбЄ®Ґз®бвЁ. Ќ ЁвҐаў «Ґ $(0,a)$ нв дгЄжЁп
пў«пҐвбп ЎҐбЄ®Ґз® ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®©.
ЋбЁ бЁ¬¬ҐваЁЁ н««ЁЇб §лў ов ҐЈ® ®бп¬Ё, Ёе ЇҐаҐбҐзҐЁҐ --
жҐв஬ н««ЁЇб . ’®зЄЁ, ў Є®в®але н««ЁЇб ЇҐаҐбҐЄ Ґв бў®Ё ®бЁ,
§лў овбп ҐЈ® ўҐаиЁ ¬Ё, ¤«Ёл $2a$, $2b$ в Є¦Ґ Ё®Ј¤ §лў ов
®бп¬Ё н««ЁЇб (Ў®«ми®© Ё ¬ «®©), ¤«Ёл $a$, $b$ -- ҐЈ®
Ї®«г®бп¬Ё. ‚Ґ«ЁзЁ $\varepsilon=c/a<1$ §лў Ґвбп
нЄбжҐваЁбЁвҐв®¬ н««ЁЇб . Ћ ¬®¦Ґв Ўлвм ©¤Ґ Ї® д®а¬г«Ґ
$$\varepsilon=\sqrt{1-(b/a)^2}.$$ ‘ ҐЈ® Ї®¬®ймо «ҐЈЄ® ўлзЁб«пҐвбп
а ббв®пЁҐ ¬Ґ¦¤г д®Єгб ¬Ё: $2c=2\varepsilon a$.
€®Ј¤ ®Є §лў Ґвбп Ї®«Ґ§л¬ Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ н««ЁЇб :
$$x=a\cos t,\ y=b\sin t,\ t\in [0,2\pi].$$ ‚ ҐЈ® бЇа ўҐ¤«Ёў®бвЁ
ЇаҐ¤« Ј Ґвбп гЎҐ¤Ёвмбп б ¬®бв®п⥫м®. — бвл¬ б«гз Ґ¬ н««ЁЇб
пў«пҐвбп ®Єа㦮бвм а ¤Ёгб $a$: $x^2+y^2=a^2$.
„агЈ®© «ЁЁҐ© ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є пў«пҐвбп ЈЁЇҐаЎ®« . ђ бᬮваЁ¬ Ў®а
бў®©бвў, Є б ойЁебп нв®© «ЁЁЁ ў ⮬ ¦Ґ ®ЎкҐ¬Ґ, Є Є Ё ¤«п н««ЁЇб .
ЏаЁ н⮬ ўлпбЁвбп Ёе Ї®«®Ґ, ў ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®¬ б¬лб«Ґ, ᮮ⢥вбвўЁҐ
¤агЈ ¤агЈг.
ѓЁЇҐаЎ®«®© §лў Ґвбп ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ¬Ґбв® в®зҐЄ, ¤«п Є®в®але
¬®¤г«м а §®бвЁ а ббв®пЁ© ®в ¤ўге дЁЄбЁа®ў ле в®зҐЄ Ї«®бЄ®бвЁ,
§лў Ґ¬ле д®Єгб ¬Ё, Ґбвм Ї®бв®п п ўҐ«ЁзЁ . ЏаЁ н⮬ вॡгҐвбп,
зв®Ўл нв а §®бвм Ўл« Ўл ¬ҐмиҐ а ббв®пЁп ¬Ґ¦¤г д®Єгб ¬Ё Ё Ґ
а ўп« бм Ўл г«о.
„«п ўлў®¤ га ўҐЁп ЈЁЇҐаЎ®«л Ўг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® ҐЈ® д®Єгбл --
$F_1$, $F_2$, а бЇ®«®¦Ґл ®бЁ $Ox$ Ё Ё¬Ґов Є®®а¤Ё вл
$(-c,0)^\ast$, $(c,0)^\ast$ ᮮ⢥вб⢥®. Џгбвм $M$ --
Їа®Ё§ў®«м п в®зЄ ЈЁЇҐаЎ®«л. ’®Ј¤ $F_1M-F_2M=\pm 2a$. …б«Ё
$M=(x,y)^\ast$, в® $$\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm
2a.\eqno (6)$$ $${(x+c)^2+y^2}=4a^2\pm
4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2,\eqno (7)$$ $$\pm
a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=cx-a^2,\eqno (8)$$
$$a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)=a^4-2a^2cx+c^2x^2,$$
$$(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2).\eqno (9)$$ …б«Ё ®Ў®§ зЁвм
$b=\sqrt{c^2-a^2}$ Ё гзҐбвм, зв® $c>a>0$, в® (9) ¬®¦® § ЇЁб вм ў
ўЁ¤Ґ $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.\eqno (10)$$ ’ Є¦Ґ Є Є Ё
¤«п н««ЁЇб , ¬®¦® Їа®ўҐаЁвм, зв® (10) нЄўЁў «Ґв® (6). “а ўҐЁҐ
(10) §лў Ґвбп Є ®ЁзҐбЄЁ¬ га ўҐЁҐ¬ ЈЁЇҐаЎ®«л. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬,
¬л гбв ®ўЁ«Ё, зв® ЈЁЇҐаЎ®« пў«пҐвбп «ЁЁҐ© ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є . Љ Є
б«Ґ¤гҐв Ё§ (10) ® бЁ¬¬ҐваЁз ®в®бЁвҐ«м® ®бҐ© Є®®а¤Ё в.
Џ®н⮬г, зв®Ўл Ё§®Ўа §Ёвм нвг «ЁЁо, ¤®бв в®з® аЁб®ў вм Ја дЁЄ
дгЄжЁЁ $y=\frac ba\sqrt{x^2-a^2}$, $x\geqslant a$, Ё ®ва §Ёвм ҐЈ®
®в®бЁвҐ«м® ®бҐ© Є®®а¤Ё в. ѓа дЁЄ нв®© дгЄжЁЁ -- ўлЇгЄ« п ўўҐае
¬®®в®® ў®§а бв ой п «ЁЁп, Їа®е®¤пй п зҐаҐ§ в®зЄг $(a,0)^\ast$.
Џа®Ё§ў®¤ п ў в®зЄҐ $a$ а ў Ї«об ЎҐбЄ®Ґз®бвЁ. Ќ ЁвҐаў «Ґ
$(a,\infty)$ нв дгЄжЁп пў«пҐвбп ЎҐбЄ®Ґз® ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®©.
Џап¬ п $y=\frac ba\,x$ пў«пҐвбп бЁ¬Їв®в®© дгЄжЁЁ $y(x)$ ЇаЁ
$x\to +\infty$.
ЋбЁ бЁ¬¬ҐваЁЁ ЈЁЇҐаЎ®«л §лў ов ҐЈ® ®бп¬Ё, Ёе ЇҐаҐбҐзҐЁҐ --
жҐв஬ ЈЁЇҐаЎ®«л. ’®зЄЁ, ў Є®в®але ЈЁЇҐаЎ®« ЇҐаҐбҐЄ Ґв бў®Ё ®бЁ,
§лў овбп ҐЈ® ўҐаиЁ ¬Ё, ¤«Ёл $2a$, $2b$ в Є¦Ґ Ё®Ј¤ §лў ов
®бп¬Ё ЈЁЇҐаЎ®«л, ¤«Ёл $a$, $b$ -- ҐЈ® Ї®«г®бп¬Ё. ‚Ґ«ЁзЁ
$\varepsilon=c/a>1$ §лў Ґвбп нЄбжҐваЁбЁвҐв®¬ ЈЁЇҐаЎ®«л. Ћ
¬®¦Ґв Ўлвм ©¤Ґ Ї® д®а¬г«Ґ $$\varepsilon=\sqrt{1+(b/a)^2}.$$ ‘
ҐЈ® Ї®¬®ймо «ҐЈЄ® ўлзЁб«пҐвбп а ббв®пЁҐ ¬Ґ¦¤г д®Єгб ¬Ё:
$2c=2\varepsilon a$.
€®Ј¤ ®Є §лў Ґвбп Ї®«Ґ§л¬ Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ
ЈЁЇҐаЎ®«л: $$x=\pm a\,{\rm ch}\, t,\ y=b\,{\rm sh}\, t,\
t\in\RR.$$ ‚ ҐЈ® бЇа ўҐ¤«Ёў®бвЁ ЇаҐ¤« Ј Ґвбп гЎҐ¤Ёвмбп
б ¬®бв®п⥫м®.
…йҐ ®¤®© «ЁЁҐ© ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є пў«пҐвбп Ї а Ў®« . ’ Є §лў Ґвбп
ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ¬Ґбв® в®зҐЄ, ¤«п Є®в®але а ббв®пЁҐ ¤® ҐЄ®в®а®©
дЁЄбЁа®ў ®© в®зЄЁ Ї«®бЄ®бвЁ, §лў Ґ¬®© д®Єгᮬ, а ў®
а ббв®пЁо ¤® ҐЄ®в®а®© дЁЄбЁа®ў ®© Їаאַ© Ї«®бЄ®бвЁ, §лў Ґ¬®©
¤ЁаҐЄваЁб®©. ЏаЁ н⮬ ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґвбп, зв® нв Їап¬ п Ґ Їа®е®¤Ёв
зҐаҐ§ д®Єгб.
„«п ўлў®¤ га ўҐЁп Ї а Ў®«л Ўг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® ҐЈ® д®Єгб $F$, Ё
¤ЁаҐЄваЁб Ё¬Ґов ўЁ¤ $F=(p/2,0)^\ast$, $x=-p/2$ ᮮ⢥вб⢥®.
Џгбвм $M=(x,y)^\ast$ -- Їа®Ё§ў®«м п в®зЄ Ї а Ў®«л. ’®Ј¤
$FM=x+p/2$. Џ®н⮬г $$\sqrt{(x-p/2)^2+y^2}=x+p/2.\eqno (11)$$
$$x^2-px+p^2/4+y^2=x^2+px+p^2/4,\eqno (12)$$ $$y^2=2px,\eqno
(13)$$ ‹ҐЈЄ® Ї®Є § вм, зв® (13) нЄўЁў «Ґв® (11). “а ўҐЁҐ (13)
§лў Ґвбп Є ®ЁзҐбЄЁ¬ га ўҐЁҐ¬ Ї а Ў®«л. Љ Є б«Ґ¤гҐв Ё§ (13)
Ї а Ў®« бЁ¬¬ҐваЁз ®в®бЁвҐ«м® ®бЁ Є®®а¤Ё в $Ox$. Џ®н⮬г,
зв®Ўл Ё§®Ўа §Ёвм нвг «ЁЁо, ¤®бв в®з® аЁб®ў вм Ја дЁЄ дгЄжЁЁ
$y=\sqrt{2px}$, $x\geqslant 0$, Ё ®ва §Ёвм ҐЈ® ®в®бЁвҐ«м® ®бЁ
$Ox$. ѓа дЁЄ нв®© дгЄжЁЁ -- ўлЇгЄ« п ўўҐае ¬®®в®® ў®§а бв ой п
«ЁЁп, Їа®е®¤пй п зҐаҐ§ в®зЄг $(0,0)^\ast$. Џа®Ё§ў®¤ п ў в®зЄҐ
$0$ а ў Ї«об ЎҐбЄ®Ґз®бвЁ. Ќ ЁвҐаў «Ґ $(0,\infty)$ нв
дгЄжЁп пў«пҐвбп ЎҐбЄ®Ґз® ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®©.\\ ЏаҐ¦¤Ґ ¬л 㦥
а бᬮв५Ё ў®Їа®б ® ⮬, Є Є гбва®Ґл «ЈҐЎа ЁзҐбЄЁҐ ЄаЁўлҐ 1-Ј®
Ї®ап¤Є . ЏҐаҐ©¤Ґ¬ Є а бᬮваҐЁо ў®Їа®б ® ⮬, Є ЄЁ¬Ё Ўлў ов
«ЈҐЎа ЁзҐбЄЁҐ ЄаЁўлҐ 2-Ј® Ї®ап¤Є . ‘¤Ґ« лҐ ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп
Ї®§ў®«пов га ўҐЁҐ «оЎ®© «ЈҐЎа ЁзҐбЄ®© ЄаЁў®© ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є
§ ЇЁб вм ў ўЁ¤Ґ $$0=q(\bar x)+(\bar{a},\bar{x})+b=(\bar x,A(\bar
x))+(\bar{a},\bar{x})+b,$$ Ј¤Ґ $q(\bar x)$ -- Єў ¤а вЁз п д®а¬
(Ґг«Ґў п), $A$ -- § ¤ ойЁ© ҐҐ «ЁҐ©л© ®ЇҐа в®а Ё§ $\RR^2$ ў
$\RR^2$ б бЁ¬¬ҐваЁз®© ¬ ваЁжҐ©, $\bar{a}$ -- дЁЄбЁа®ў л© ўҐЄв®а
ў $\RR^2$, $(\bar x,A(\bar x))$, $(\bar{a},\bar{x})$ -- бЄ «палҐ
Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁп ўҐЄв®а®ў, $b$ -- дЁЄбЁа®ў ®Ґ зЁб«®. Љ Є 㦥
®в¬Ґз «®бм «ЁҐ©л© ®ЇҐа в®а $A$, § ¤ ў Ґ¬л© бЁ¬¬ҐваЁз®©
¬ ваЁжҐ©, ®Ў« ¤ Ґв ®ав®Ј® «мл¬ Ў §Ёб®¬ Ё§ б®Ўб⢥ле ўҐЄв®а®ў
$\{\bar{y}^1,\bar{y}^2\}$ Ё ®в®бЁвҐ«м® нв®Ј® Ў §Ёб § 票Ґ
Єў ¤а вЁз®© д®а¬л $q(\bar x)$ § ЇЁблў Ґвбп ў ўЁ¤Ґ $$q(\bar
x)=z_1^2\mu_1+z_2^2\mu_2$$ (§¤Ґбм $(z_1,z_2)$ -- Є®®а¤Ё вл
ўҐЄв®а $\bar{x}$ ў Ў §ЁбҐ $\{\bar{y}^1,\bar{y}^2\}$,
$\mu_1,\mu_2$ -- дЁЄбЁа®ў лҐ зЁб« (в Є®© ЇҐаҐе®¤ ®в Є®®а¤Ё в ў
®¤®¬ Ў §ЁбҐ Є Є®®а¤Ё в ¬ ў ¤агЈ®¬ Ў §ЁбҐ §лў ов Ё®Ј¤ § ¬Ґ®©
ЇҐаҐ¬Ґле). ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ў Ў §ЁбҐ $\{\bar{y}^1,\bar{y}^2\}$
га ўҐЁҐ ЄаЁў®© ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є § ЇЁблў Ґвбп ў ўЁ¤Ґ
$$z_1^2\mu_1+z_2^2\mu_2+z_1c_1+z_2c_2+b=0.$$ ‡ зЁв, га ўҐЁҐ
ЄаЁў®© 2-Ј® Ї®ап¤Є Їг⥬ ЇҐаҐе®¤ Є ®ў®© бЁб⥬Ґ Є®®а¤Ё в Ё
Ї а ««Ґ«м®Ј® ЇҐаҐ®б ¬®¦Ґв Ўлвм ЇаҐ®Ўа §®ў ® Є ®¤®¬г Ё§ 9
Є ®ЁзҐбЄЁе ўЁ¤®ў:\\ Ґа бЇ ¤ ойЁҐбп «ЁЁЁ:
-- н««ЁЇбл $(x/a)^2+(y/b)^2=1$,
-- ЈЁЇҐаЎ®«л $(x/a)^2-(y/b)^2=1$,
-- Ї а Ў®«л $y^2=2px$,
-- ¬Ё¬лҐ н««ЁЇбл $(x/a)^2+(y/b)^2=-1$,\\ а бЇ ¤ ойЁҐбп «ЁЁЁ:
-- Ї а ¬Ё¬ле ЇҐаҐбҐЄ ойЁебп Їап¬ле $(x/a)^2+(y/b)^2=0$,
-- Ї а ¤Ґ©б⢨⥫мле ЇҐаҐбҐЄ ойЁебп Їап¬ле $(x/a)^2-(y/b)^2=0$,
-- Ї а ¤Ґ©б⢨⥫мле Ї а ««Ґ«мле Їап¬ле $x^2-a^2=0$,
-- Ї а ¬Ё¬ле Ї а ««Ґ«мле Їап¬ле $x^2+a^2=0$,
-- Ї а ¤Ґ©б⢨⥫мле б®ўЇ ¤ ойЁе Їап¬ле $x^2=0$.