Учебники, методички / Введение в линейную алгебру / Lla03

\section*{\it ‹ҐЄжЁп 3.}

\noindent{\bf ЋЇҐа жЁЁ ­ ¤ ¬ ваЁж ¬Ё, Ёе бў®©бвў . ЋЎа в­ п
¬ ваЁж , ҐҐ ўлзЁб«Ґ­ЁҐ. Њ ваЁз­ п § ЇЁбм бЁбвҐ¬л «Ё­Ґ©­ле
га ў­Ґ­Ё©. ђҐиҐ­ЁҐ ¬ ваЁз­ле га ў­Ґ­Ё© Ё «Ё­Ґ©­ле бЁб⥬ б Ї®¬®ймо
®Ўа в­®© ¬ ваЁжл.}

Ќ ¤ ¬ ваЁж ¬Ё а §¬Ґа  $m\times n$ ¬®¦­® Їа®Ё§ў®¤Ёвм ®ЇҐа жЁЁ
г¬­®¦Ґ­Ёп ­  зЁб«  Ё б«®¦Ґ­Ёп. ‚ ®в«ЁзЁҐ ®в ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«Ґ© нвЁ
®ЇҐа жЁЁ ЇаЁ­пв® ўлЇ®«­пвм Ї®н«Ґ¬Ґ­в­®. ’ Є, Ґб«Ё $A=(a_{i,j})$ Ё
$B=(b_{i,j})$ --- ¬ ваЁжл ®¤­®Ј® а §¬Ґа , $r\in\RR$ , в® $r\cdot
A=(r\cdot a_{i,j})$, $A+B=(a_{i,j}+b_{i,j})$.

…б«Ё $A$ --- Єў ¤а в­ п ¬ ваЁж  а §¬Ґа  $n\times n$, в® $$|r\cdot
A|=r^n|A|.$$ ”®а¬г«л, бўп§лў о饩 ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м бг¬¬л ¤ўге
Єў ¤а в­ле ¬ ваЁж б ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«п¬Ё нвЁе ¬ ваЁж ў ®ЎйҐ¬ б«гз Ґ ­Ґ
бгйҐбвўгҐв.

€§ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп б«®¦Ґ­Ёп ¬ ваЁж ­ҐЇ®б।б⢥­­® б«Ґ¤гҐв, зв® нв 
®ЇҐа жЁп ®Ў« ¤ Ґв ЇҐаҐ¬ҐбвЁвҐ«м­л¬ Ё б®зҐв вҐ«м­л¬ бў®©бвў ¬Ё:

$1^{\circ}$ $A+B=B+A,\quad 2^{\circ}$ $(A+B)+C=A+(B+C)$.

\noindent ЌҐваг¤­® ўЁ¤Ґвм, зв® ¤«п ®ЇҐа жЁЁ г¬­®¦Ґ­Ёп ¬ ваЁж ­ 
зЁб«®

$1^{\circ}$ $r(A+B)=rA+rB,\quad 2^{\circ}$ $(r+s)A=rA+sA,\quad
3^{\circ}$ $(rs)A=r(sA)$.

Ља®¬Ґ ®ЇҐа жЁ© б«®¦Ґ­Ёп ¬ ваЁж Ё г¬­®¦Ґ­Ёп ¬ ваЁжл ­  зЁб«®
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ®ЇҐа жЁп г¬­®¦Ґ­Ёп ¤ўге ¬ ваЁж: Ґб«Ё $A=(a_{i,j})$
--- ¬ ваЁж  а §¬Ґа  $m\times n$, $B=(b_{j,l})$ --- ¬ ваЁж 
а §¬Ґа  $n\times k$, $m,n,k\in\NN$, в® ¬ ваЁжг $C=(c_{i,l})$
а §¬Ґа  $m\times k$ б н«Ґ¬Ґ­в ¬Ё
$$c_{i,l}=\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}\cdot b_{j,l}$$ ­ §лў ов
Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ¬ $A$ Ё $B$ Ё ®Ў®§­ з ов $C=A\cdot B$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬,
г¬­®¦Ґ­ЁҐ ¤ўге Їаאַ㣮«м­ле ¬ ваЁж ўлЇ®«­Ё¬® «Ёим ў ⮬ б«гз Ґ,
Є®Ј¤  зЁб«® бв®«Ўж®ў ў ЇҐаў®¬ ᮬ­®¦ЁвҐ«Ґ б®ўЇ ¤ Ґв б зЁб«®¬ бва®Є
ў® ўв®а®¬. Њ®¦­® Їа®ўҐаЁвм б«Ґ¤гойЁҐ бў®©бвў  г¬­®¦Ґ­Ёп ¬ ваЁж
({\bf $1^{\circ}$ ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў }):

$1^{\circ}$ $(AB)C=A(BC),\quad 2^{\circ}$ $C(A+B)=‘ A+‘ B,\quad
3^{\circ}$ $(A+B)C=A C+B C$.

\noindent ЏаЁ н⮬ ў $1^{\circ}$ зЁб«® бв®«Ўж®ў ў $A$ б®ўЇ ¤ Ґв б
зЁб«®¬ бва®Є ў $B$,   зЁб«® бв®«Ўж®ў ў $B$ б®ўЇ ¤ Ґв б зЁб«®¬
бва®Є ў $C$; ў $2^{\circ}$ зЁб«® бв®«Ўж®ў ў $‘$ б®ўЇ ¤ Ґв б зЁб«®¬
бва®Є ў $A$ Ё $B$; ў $3^{\circ}$ зЁб«® бв®«Ўж®ў ў $A$ Ё $B$
б®ўЇ ¤ Ґв б зЁб«®¬ бва®Є ў $‘$.

…б«Ё $A$ Ё $B$ --- Єў ¤а в­лҐ ¬ ваЁжл ®¤­®Ј® Ї®ап¤Є , в® ¬®¦­®
®Ўа §®ў вм ¤ўҐ ­®ўле ¬ ваЁжл $C_1=A\cdot B$ Ё $C_2=B\cdot A$.
Ћ¤­ Є® ў ®ЎйҐ¬ б«гз Ґ ¬ ваЁжл $C_1$, $C_2$ ­Ґ б®ўЇ ¤ ов:
$$\begin{pmatrix}1& 2\\3& 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2& 0\\3&
-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8& -2\\18& -4\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}2& 0\\3& -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1& 2\\3& 4\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}2& 4\\0& 2\end{pmatrix}.$$ ’Ґ®аҐ¬  (ЎҐ§
¤®Є § вҐ«мбвў ) „«п Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп ¤ўге Єў ¤а в­ле ¬ ваЁж
ўлЇ®«­пҐвбп а ўҐ­бвў® $$|A\cdot B|=|A||B|.$$ {— бв­лҐ б«гз Ё
г¬­®¦Ґ­Ёп ¬ ваЁж}:

1). “¬­®¦Ґ­ЁҐ ¬ ваЁжл $A$ а §¬Ґа  $m\times n$ ­  ўҐЄв®а-бв®«ЎҐж
$n\times 1$. Џа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ ў н⮬ б«гз Ґ Ё¬ҐҐв а §¬Ґал $m\times 1$,
в.Ґ. пў«пҐвбп ўҐЄв®а-бв®«Ўж®¬ $m\times 1$. ЏаЁ н⮬ ¬ ваЁжл $B$ Ё
$A\cdot B$ ®Ў®§­ з ов ¬ «л¬Ё ЎгЄў ¬Ё, ­ ЇаЁ¬Ґа, $y=Ax$,
$x\in\RR^n$, $y\in\RR^m$, Ї®¤зҐаЄЁў п, ⥬ б ¬л¬, зв® ®­Ё пў«повбп
ўҐЄв®а ¬Ё.

2) Џа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ ўҐЄв®а-бва®ЄЁ $x$ а §¬Ґа  $1\times n$ ­  ¬ ваЁжг
$A$ а §¬Ґа  $n\times m$: $y=xA$. ЏаЁ н⮬ ўҐЄв®а-бва®Є  $г$ Ё¬ҐҐв
а §¬Ґа $1\times m$.

3) Ћб®Ўго а®«м ЇаЁ г¬­®¦Ґ­ЁЁ ¬ ваЁж ЁЈа ов Ґ¤Ё­Ёз­лҐ ¬ ваЁжл $E$.
Љў ¤а в­ п ¬ ваЁж  $(a_{i,j})$ Ї®ап¤Є  $n$ ­ §лў Ґвбп Ґ¤Ё­Ёз­®©,
Ґб«Ё $a_{i,j}=\delta_i^j$, $1\leqslant i,j\leqslant n$, Ј¤Ґ
$\delta_i^j$ --- бЁ¬ў®« Ља®­ҐЄҐа : $\delta_i^j=0$, $i\neq j$,
$\delta_i^i=1$. …б«Ё $A$ --- ¬ ваЁж  а §¬Ґа  $m\times n$, $B$ ---
¬ ваЁж  а §¬Ґа  $n\times k$, $E$ --- Ґ¤Ё­Ёз­ п ¬ ваЁж  а §¬Ґа 
$n\times n$, в® $A\cdot E=A$, $E\cdot B=B$.

4) Џгбвм $A=(a_{i,j})$ --- Єў ¤а в­ п ¬ ваЁж  Ї®ап¤Є  $n$, ¤«п
Є®в®а®© $|A|\neq 0$. ЋЎа §гҐ¬ ­®ўго ¬ ваЁжг $B=(b_{i,j})$, Ј¤Ґ
$b_{i,j}=\Delta_{j,i}$ Ё а бᬮваЁ¬ Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ $A\cdot
B=(c_{i,j})$. Џ® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо $$c_{1,1}=\sum_{k=1}^n
a_{1,k}b_{k,1}= \sum_{k=1}^n a_{1,k}(-1)^{k+1}|A_{1,k}|= |A|,$$
$$c_{2,1}=\sum_{k=1}^n a_{2,k}b_{k,1}= \sum_{k=1}^n
a_{2,k}(-1)^{k+1}|A_{1,k}|= 0,$$ в Є Є Є Ї®б«Ґ¤­пп б㬬  ---
®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м ¬ ваЁжл, г Є®в®а®© б®ўЇ ¤ ов 2 ЇҐаўле бва®ЄЁ. ’®з­®
в Є¦Ґ $c_{i,1}=0$, Ґб«Ё $i>2$ Ё ў®®ЎйҐ $c_{i,i}=|A|$, $i=1,\dots
n$, $c_{i,j}=0$, Ґб«Ё $i\neq j$, $1\leqslant i,j\leqslant n$.
Џ®н⮬г $C=|A|\, E$. Њ ваЁжг $B/|A|$ ®Ў®§­ з ов $A^{-1}$ Ё
­ §лў ов ®Ўа в­®© Є ¬ ваЁжҐ $A$ (б ­Ґ­г«Ґўл¬ ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«Ґ¬). ’ ЄЁ¬
®Ўа §®¬ $$A\cdot A^{-1}=E.$$ Џ®ўв®апп Їа®ўҐ¤Ґ­­лҐ а бб㦤Ґ­Ёп ¤«п
Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп $B\cdot A$, Ї®«гзЁ¬ $A^{-1}\cdot A=E$.

‘®Ј« б­® ᤥ« ­­л¬ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп¬ бЁб⥬  $n$ «Ё­Ґ©­ле га ў­Ґ­Ё© б
­ҐЁ§ўҐбв­л¬Ё $x_1,\dots,x_n$ Ё Їа ўл¬Ё з бвп¬Ё $б_1,\dots,б_n$:
$$a_{i,1}x_1+a_{i,2}x_2+\dots+a_{i,n}x_n=б_i,\quad i=1,\dots, n$$
¬®¦Ґв Ўлвм § ЇЁб ­  ў ўЁ¤Ґ $$Ax=б,$$ Ј¤Ґ $A=(a_{i,j})$ ---
Єў ¤а в­ п ¬ ваЁж  Є®нддЁжЁҐ­в®ў, $x=(x_i)$ --- ўҐЄв®а-бв®«ЎҐж
­ҐЁ§ўҐбв­ле, $б=(б_i)$ --- ўҐЄв®а-бв®«ЎҐж Їа ўле з б⥩. …б«Ё
$|A|\neq 0$, в® нв® а ўҐ­бвў® ¬®¦­® г¬­®¦Ёвм ­  $A^{-1}$ б «Ґў®©
бв®а®­л. ’®Ј¤  $$x=E\cdot x=A^{-1}\cdot Ax=A^{-1}\cdot б$$ ¤ Ґв
аҐиҐ­ЁҐ Ёб室­®© бЁбвҐ¬л «Ё­Ґ©­ле га ў­Ґ­Ё©. ‘宦Ё¬ ®Ўа §®¬
аҐи Ґвбп ¬ ваЁз­®Ґ га ў­Ґ­ЁҐ $$A\cdot X=‘,$$ Ј¤Ґ $A=(a_{i,j})$ ---
Єў ¤а в­ п ¬ ваЁж  Є®нддЁжЁҐ­в®ў Ї®ап¤Є  $n$ ($|A|\neq 0$),
$X=(x_{j,k})$ --- ¬ ваЁж  ­ҐЁ§ўҐбв­ле а §¬Ґа  $n\times m$,
$‘=(б_{j,k})$ --- ¬ ваЁж  Їа ўле з б⥩ а §¬Ґа  $n\times m$. Џ®б«Ґ
г¬­®¦Ґ­Ёп ­  $A^{-1}$ б «Ґў®© бв®а®­л нв® а ўҐ­бвў® Ўг¤Ґв Ё¬Ґвм
ўЁ¤ $$X=E\cdot X=A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot ‘.$$