riad4

.tex
Скачиваний:
Добавлен:
24.04.2014
Размер:
28.95 Кб
Скачать
☆
\documentclass[14pt]{article}
%\usepackage{srctex}
%\usepackage[koi8-r]{inputenc}
%\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{russian}
%\usepackage[14pt]{extsizes}
%\newcommand\ptsize{}
%\DeclareOption{14pt}{\renewcommand\ptsize{4}}
%\ExecuteOptions{14pt,oneside,final}

\def\baselinestretch{1.0}
%
% „ «ҐҐ Ё¤Ґв § ¤ ЁҐ Ї®«ЁЈа дЁзҐбЄЁе а §¬Ґа®ў ¤«п д®а¬ вЁа®ў Ёп
% Ја ®Є ў бвЁ«Ґ бв вмЁ CERN' 
%              FOOTER - ЋвбвгЇ бЁ§г
%\setlength{\footheight}{2\baselineskip}
\setlength{\footskip}{8mm}
%              HEADER - ЋвбвгЇ бўҐаег
%\setlength{\headheight}{2\baselineskip}
%\setlength{\headsep}{2\baselineskip}
\setlength{\topmargin}{-19mm}
%\addtolength{\topmargin}{-\headheight}
%
% ‚лзЁб«ҐЁҐ Ї а ¬Ґва®ў ¤«п Ўг¬ ЈЁ д®а¬ в  Ђ4
% б Ї®¬®ймо CERNA4.STY
\setlength{\textwidth}{170mm}              % „«п Ўг¬ ЈЁ :  8.5 in
\setlength{\textheight}{249mm}             % „«п Ўг¬ ЈЁ : 11.0 in  (297mm)
%
% ЁаЁ  - Ћбв ў«пҐв Ја Ёжл ў 1 ¤о©¬
%\addtolength{\textwidth}{-50mm}
%\setlength{\textwidth}{170mm}
% Џ®«п
\setlength{\evensidemargin}{-4mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-4mm}
\setlength{\marginparsep}{0mm}

\setlength{\marginparwidth}{0mm}
%\setlength{\evensidemargin}{0in}
%\setlength{\hoffset}{0pt}
%\setlength{\marginparsep}{0pt}

%
% ‚лб®в  - Ћбв ў«пҐв Ја Ёжл ў 1 ¤о©¬
%\addtolength{\textheight}{-47mm}
%
% €бЇ®«м§®ў ЁҐ \topmargin, \headheight, \headsep
%\addtolength{\textheight}{-\topmargin}
%\addtolength{\textheight}{-\headheight}
%\addtolength{\textheight}{-\headsep}
%
% Љ®Ґж § ¤ Ёп Ї®«ЁЈа дЁзҐбЄЁе а §¬Ґа®ў
%
\flushbottom
\begin{document}
\tolerance1700
\input title.lat

\begin{center}
\vspace{5mm}

{\large 1.‚ўҐ¤ҐЁҐ}\\
\end{center}

€бЇ®«м§®ў ЁҐ б®ўаҐ¬Ґле Ёд®а¬ жЁ®®-Є®¬¬гЁЄ жЁ®ле вҐе®«®ЈЁ©
ЇаЁ Ё§гзҐЁЁ Єгаб  ўлбиҐ© ¬ вҐ¬ вЁЄЁ бвг¤Ґв ¬Ё вҐеЁзҐбЄЁе ўг§®ў
§ зЁвҐ«м® Ї®ўли Ґв нддҐЄвЁў®бвм Їа®жҐбб  ®ЎгзҐЁп.
Ќ бв®пйҐҐ гзҐЎ®-¬Ґв®¤ЁзҐбЄ®Ґ Ї®б®ЎЁҐ ЇаҐ¤бв ў«пҐв б®Ў®© ®¤Ё Ё§
и Ј®ў ў а §ўЁвЁҐ нв®Ј®  Їа ў«ҐЁп.
\\
\par
‚  бв®пйҐ¬ ¬Ґв®¤ЁзҐбЄ®¬ Ї®б®ЎЁЁ Ё§« Ј овбп ҐЄ®в®алҐ вҐ®аҐвЁзҐбЄЁҐ
аҐ§г«мв вл Ї® вҐ®аЁЁ ап¤®ў Ё Ёе ЁбЇ®«м§®ў Ёо ў ЇаЁЎ«Ё¦Ґле
ўлзЁб«ҐЁпе,   в Є¦Ґ   ап¤Ґ ЇаЁ¬Ґа®ў Ї®Є §лў Ґвбп ЇаЁ¬ҐҐЁҐ
Ї ЄҐв  MAPLE ЇаЁ Ё§гзҐЁЁ нвЁе а §¤Ґ«®ў Єгаб .

\begin{center}
{\large 2.ЊҐв®¤л вҐ®аЁЁ ЇаЁЎ«Ё¦ҐЁп ў зЁб«Ґ®¬   «Ё§Ґ. Џ ЄҐв Maple}\\
\end{center}

Љгаб ўлбиҐ© ¬ вҐ¬ вЁЄЁ ¤«п бвг¤Ґв®ў вҐеЁзҐбЄЁе ўг§®ў б®¤Ґа¦Ёв
ЇҐаўЁзлҐ ®б®ўл зЁб«Ґле ¬Ґв®¤®ў Є Є бў®о б®бв ўго з бвм. „«п
бЇҐжЁ «Ёбв®ў Ё¦ҐҐа®Ј® Їа®дЁ«п Єа ©Ґ ў ¦л¬ ЇаҐ¤бв ў«пҐвбп
®¤®ўаҐ¬Ґ®Ґ  е®¦¤ҐЁҐ аҐиҐЁп ў § ¬Єгв®©   «ЁвЁзҐбЄ®© д®а¬Ґ
Ё Ї®«гзҐЁҐ зЁб«Ґле § зҐЁ© аҐ§г«мв в . ЏаҐ¤бв ў«ҐЁҐ дгЄжЁЁ
ў ўЁ¤Ґ бвҐЇҐ®Ј® ап¤  Ї®§ў®«пҐв бўҐбвЁ Ё§гзҐЁҐ бў®©бвў
ЇаЁЎ«Ё¦ Ґ¬®© дгЄжЁЁ Є Ў®«ҐҐ Їа®бв®© § ¤ зҐ Ё§гзҐЁп нвЁе бў®©бвў
г б®®вўҐвбвўгойҐЈ®  ЇЇа®ЄбЁ¬ЁагойҐЈ® Ї®«Ё®¬Ё «м®Ј® а §«®¦ҐЁп.
ќвЁ¬ ®ЎмпбпҐвбп ў ¦®бвм ўбҐў®§¬®¦ле   «ЁвЁзҐбЄЁе Ё зЁб«Ґле
ЇаЁ«®¦ҐЁ© Ї®«Ё®¬Ё «мле ЇаЁЎ«Ё¦ҐЁ© ¤«п  ЇЇа®ЄбЁ¬ жЁЁ Ё
ўлзЁб«ҐЁп дгЄжЁЁ. ‡ ¬Ґ  дгЄжЁ©   Ёе бвҐЇҐлҐ а §«®¦ҐЁп Ё
Ї®«Ё®¬Ё «млҐ ЇаЁЎ«Ё¦ҐЁп Ї®¬®Ј Ґв Ё§гзҐЁо ЇаҐ¤Ґ«®ў,   «Ё§г
бе®¤Ё¬®бвЁ Ё а бе®¤Ё¬®бвЁ ап¤®ў Ё ЁвҐЈа «®ў, ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®¬г
ўлзЁб«ҐЁо ЁвҐЈа «®ў Ё аҐиҐЁо ¤ЁддҐаҐжЁ «мле га ўҐЁ©.
‘вҐЇҐлҐ ап¤л Ё а §«®¦ҐЁп Ї® ¬®Ј®з«Ґ ¬ —ҐЎлиҐў  иЁа®Є®
ЁбЇ®«м§говбп ЇаЁ ўлзЁб«ҐЁЁ § зҐЁ© дгЄжЁЁ б § ¤ ®© бвҐЇҐмо
в®з®бвЁ. ЋЁ пў«повбп нддҐЄвЁўл¬ ўлзЁб«ЁвҐ«мл¬ баҐ¤бвў®¬ ЇаЁ
аҐиҐЁЁ иЁа®Є®Ј® ЄагЈ   гз®-вҐеЁзҐбЄЁе § ¤ з.
\\
\par
Ћ¤Ё¬ Ё§  Ё«гзиЁе Ї® нддҐЄвЁў®бвЁ Ё ¬®й®бвЁ ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе Ї ЄҐв®ў
¤«п ЁбЇ®«м§®ў Ёп бвг¤Ґв ¬Ё, Ё§гз ойЁ¬Ё Єгаб ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®Ј®   «Ё§ ,
пў«пҐвбп MAPLE. Џ ЄҐв MAPLE пў«пҐвбп Є Є   «ЁвЁзҐбЄЁ¬ Ёбваг¬Ґв®¬,
в Є Ё баҐ¤бвў®¬ Їа®Ја ¬¬Ёа®ў Ёп. ќв® ®¤  Ё§  ЁЎ®«ҐҐ ¬®йле бЁбвҐ¬
  «ЁвЁзҐбЄЁе ўлзЁб«ҐЁ©. Ћ  Ї®§ў®«пҐв § зЁвҐ«м® Ї®ўлбЁвм бЄ®а®бвм
ўлЇ®«ҐЁп ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе ®ЇҐа жЁ©. џ§лЄ Їа®Ја ¬¬Ёа®ў Ёп, Ја дЁзҐбЄЁ©
ЁвҐадҐ©б, 2-D Ё 3-D ўЁ§г «Ё§ жЁЁ Ї®§ў®«пов «ҐЈЄ® Ї®«гз вм Ја дЁзҐбЄЁҐ
Ё««обва жЁЁ Ё§гз Ґ¬ле ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе Ї®пвЁ©. ‘ЁбвҐ¬  MAPLE Ї®§ў®«пҐв
ЁбЇ®«м§®ў вм ¤агЈЁҐ ўлзЁб«ЁвҐ«млҐ бЁбвҐ¬л Ё п§лЄЁ Їа®Ја ¬¬Ёа®ў Ёп
MATLAB, Visual Basic, Java, ”®ава  Ё ‘Ё. Џа®жҐ¤гал MAPLE ¬®Јгв
ўл§лў вмбп Ё§ ўҐиЁе Їа®Ја ¬¬. ” ©«л MAPLE ¬®Јгв ЇаҐ®Ўа §®ўлў вмбп ў
в ЄЁҐ д®а¬ вл Ї®¤Ј®в®ўЄЁ Ё аҐ¤ ЄвЁа®ў Ёп ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе вҐЄбв®ў Є Є
HTML, MathML, XML, RTF, LaTeX Ё ¤агЈЁҐ. ‚ ¦Ґ©иЁ¬ н«Ґ¬Ґв®¬ MAPLE
бЁбвҐ¬ пў«пҐвбп г¤®Ўбвў® Ёе ЁбЇ®«м§®ў Ёп ¤«п бвг¤Ґв®ў Ё
ЇаҐЇ®¤ ў вҐ«Ґ© ў €вҐаҐвҐ. Џа®Ја ¬¬л MAPLE ¬®Јгв Їа®бзЁвлў вмбп Ё
®Ўа Ў влў вмбп   Є®¬ЇмовҐа е зҐаҐ§ €вҐаҐв ў аҐ¦Ё¬Ґ г¤ «Ґ®Ј®
¤®бвгЇ .
\\
\par
‘ЁбвҐ¬  MAPLE б®§¤ Ґв ҐбвҐбвўҐго ®Ўгз ойго баҐ¤г ¤«п бвг¤Ґв®ў
ҐбвҐбвўҐ®- гз®Ј® Ё вҐеЁзҐбЄ®Ј® Їа®дЁ«п Ї® ®ЎгзҐЁо Єгабг
¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®Ј®   «Ё§ . ЏаЁ аҐиҐЁЁ «оЎ®© з бвЁ ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®©
Їа®Ў«Ґ¬л бвг¤Ґв ¬®¦Ґв ЇаЁ¬ҐЁвм Їа ўЁ«® ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®Ј®   «Ё§ 
Ё«Ё ЁбЇ®«м§®ў вм Є®¬ ¤г MAPLE. ‚ з бв®бвЁ ўЁ§г «Ё§ жЁп бЇ®б®ЎбвўгҐв
Ї®Ё¬ Ёо е а ЄвҐа  бе®¤Ё¬®бвЁ Ё§гз Ґ¬ле  ¬Ё а §«®¦ҐЁ© ў ап¤л ¤«п
а §«Ёзле дгЄжЁ©. Џ ЄҐв MAPLE б®¤Ґа¦Ёв бЇҐжЁ «млҐ Їа®жҐ¤гал ¤«п
бЁ¬ў®«мле ®ЇҐа жЁ© Ё Ї®«гзҐЁп зЁб«Ґле аҐ§г«мв в®ў б д®а¬ «мл¬Ё
бвҐЇҐл¬Ё ап¤ ¬Ё, зЁб«Ґл¬Ё  ЇЇа®ЄбЁ¬ жЁп¬Ё, ®ав®Ј® «мл¬Ё
Ї®«Ё®¬ ¬Ё, а §«®¦ҐЁп¬Ё ў ап¤л, бЇҐжЁ «мл¬Ё дгЄжЁп¬Ё,
а жЁ® «мл¬Ё ЇаЁЎ«Ё¦ҐЁп¬Ё Ё ҐЇаҐалўл¬Ё ¤а®Ўп¬Ё. ЏаЁ¬ҐҐЁҐ
¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе Ї ЄҐв®ў бвг¤Ґв®¬ ЇаЁ ®ЎгзҐЁЁ бЇ®б®ЎбвўгҐв
ЁбЇ®«м§®ў Ёо Ёе а биЁаҐле ў®§¬®¦®бвҐ© вҐеЁзҐбЄЁ¬ бЇҐжЁ «Ёбв®¬
ў бў®Ґ© ¤ «мҐ©иҐ© Ё¦ҐҐа®© ¤ҐпвҐ«м®бвЁ.

\begin{center}
{\large 3.ЏаЁЎ«Ё¦Ґ®Ґ ўлзЁб«ҐЁҐ ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе дгЄжЁ©}\\
\end{center}

Џгбвм дгЄжЁп $ f(x) $ § ¤     ЁвҐаў «Ґ $ (x_{0}-R,x_{0}+R) $
Ё  ¬ ваҐЎгҐвбп ўлзЁб«Ёвм § зҐЁҐ дгЄжЁЁ $ f(x) $ ЇаЁ
$ x=x_{1} \in (x_{0}-R,x_{0}+R) $ б § ¤ ®© в®з®бвмо $ \epsilon>0 $.
\\
\par
ЏаҐ¤Ї®«®¦Ёў, зв® дгЄжЁп $ f(x) $ ў ЁвҐаў «Ґ
$ x \in (x_{0}-R,x_{0}+R) $ а бЄ« ¤лў Ґвбп ў бвҐЇҐ®© ап¤
$$ f(x)=\sum^{\infty }_{i=0}u_{i}(x)=
\sum^{\infty }_{i=0}a_{i}(x-x_{0})^{i}=a_{0}+
a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+...+a_{n}(x-x_{0})^{n}+..., $$
\\
¬л Ї®«гзЁ¬, зв® в®з®Ґ § зҐЁҐ $ f(x_{1}) $ а ў® бг¬¬Ґ нв®Ј®
ап¤  ЇаЁ $ x=x_{1} $
$$ f(x_{1})=\sum^{\infty }_{i=0}a_{i}(x_{1}-x_{0})^{i}=a_{0}+
a_{1}(x_{1}-x_{0})+a_{2}(x_{1}-x_{0})^{2}+...+
a_{n}(x_{1}-x_{0})^{n}+..., $$
\\
  ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®Ґ - з бвЁз®© бг¬¬Ґ $ S_{n}(x_{1}) $
$$ f(x_{1})\approx S_{n}(x_{1})=\sum^{n}_{i=0}a_{i}(x_{1}-
x_{0})^{i}=a_{0}+a_{1}(x_{1}-x_{0})+a_{2}(x_{1}-x_{0})^{2}+
...+a_{n}(x_{1}-x_{0})^{n}. $$
\\
\par
„«п Ї®ЈаҐи®бвЁ ЇаЁЎ«Ё¦ҐЁп ¬л Ё¬ҐҐ¬ ўла ¦ҐЁҐ ў ўЁ¤Ґ ®бв вЄ  ап¤ 
$$ f(x_{1})-S_{n}(x_{1})=r_{n}(x_{1}), $$
Ј¤Ґ
$$ r_{n}(x_{1})=\sum^{\infty}_{i=1}x_{1}^{n+i}=
a_{n+1}x_{1}^{n+1}+a_{n+2}x_{1}^{n+2}+...
$$
\\
\par
„«п § Є®ЇҐаҐ¬Ґле ап¤®ў б Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м® гЎлў ойЁ¬Ё з«Ґ ¬Ё
$$ \vert r_{n}(x)\vert=\vert \sum^{\infty}_{i=1}u_{n+i}(x_{1})\vert
<\vert u_{n+1}(x_{1})\vert .
$$
\\
\par
’®з®бвм  ЇЇа®ЄбЁ¬ жЁЁ, Є Є Їа ўЁ«®, ў®§а бв Ґв б а®бв®¬ бвҐЇҐЁ
ЇаЁЎ«Ё¦ ойҐЈ® бвҐЇҐ®Ј® а §«®¦ҐЁп Ё вҐ¬ ўлиҐ, зҐ¬ в®зЄ  $ x $
Ў«Ё¦Ґ Є в®зЄҐ $ x_{0} $. „«п а ў®¬Ґа®©  ЇЇа®ЄбЁ¬ жЁЁ  
ЁвҐаў «Ґ  ЁЎ®«ҐҐ г¤®Ўл¬Ё ®Є §лў овбп а §«®¦ҐЁп Ї® ¬®Ј®з«Ґ ¬
—ҐЎлиҐў .
\\
\par
„«п ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®Ј®  е®¦¤ҐЁп § зҐЁ© дгЄжЁЁ Ї®баҐ¤бвў®¬
бвҐЇҐле ап¤®ў, Є Є Їа ўЁ«®, ЁбЇ®«м§говбп ҐҐ а §«®¦ҐЁп ў ўЁ¤Ґ
ап¤®ў ’Ґ©«®а .
\\
\par
ђп¤ ’Ґ©«®а  ¤«п дгЄжЁЁ $ f(x) $ - нв® бвҐЇҐ®© ап¤ ўЁ¤ 
$$
\sum^{\infty }_{k=0}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k},
$$
\\
Ј¤Ґ зЁб«®ў п дгЄжЁп $ f $ ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґвбп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®© ў ҐЄ®в®а®©
®ЄаҐбв®бвЁ в®зЄЁ $ x_{0} $ Ё Ё¬ҐойҐ© ў нв®© в®зЄҐ Їа®Ё§ў®¤лҐ
ўбҐе Ї®ап¤Є®ў.
\\
\par
Њ®Ј®з«Ґ ¬Ё ’Ґ©«®а  ¤«п дгЄжЁЁ $ f(x) $, Ї®ап¤Є  $ n $
б®®вўҐвбвўҐ®,  §лў овбп з бвлҐ бг¬¬л ап¤  ’Ґ©«®а 
$$
\sum^{n}_{k=0}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}.
$$
\\
\par
…б«Ё ¬л а бЇЁиҐ¬ нвг д®а¬г«г, в® Ї®«гзЁ¬ б«Ґ¤гойҐҐ ўла ¦ҐЁҐ
$$
f(x_{0})+\frac{f^{\prime}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+
\frac{f^{\prime\prime}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+
\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}.
$$
\\
\par
”®а¬г«  ’Ґ©«®а  ¤«п дгЄжЁЁ $ f(x) $ - нв® ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ дгЄжЁЁ
ў ўЁ¤Ґ бг¬¬л ҐҐ ¬®Ј®з«Ґ  ’Ґ©«®а  бвҐЇҐЁ $ n (n=0,1,2,...) $ Ё
®бв в®з®Ј® з«Ґ . „агЈЁ¬Ё б«®ў ¬Ё нв®  §лў ов а §«®¦ҐЁҐ¬ дгЄжЁЁ
$ f(x) $ Ї® д®а¬г«Ґ ’Ґ©«®а  ў ®ЄаҐбв®бвЁ в®зЄЁ $ x_{0}. $ …б«Ё
¤Ґ©бвўЁвҐ«м п дгЄжЁп $ f $ ®¤®Ј® ЇҐаҐ¬Ґ®Ј® Ё¬ҐҐв $ n $
Їа®Ё§ў®¤ле  ў в®зЄҐ $ x_{0}, $ в® ҐҐ д®а¬г«  ’Ґ©«®а  Ё¬ҐҐв ўЁ¤
$$
f(x)=P_{n}(x)+r_{n}(x),
$$
\\
Ј¤Ґ
$$
P_{n}(x)=\sum^{n}_{k=0}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}
$$
- ¬®Ј®з«Ґ ’Ґ©«®а  бвҐЇҐЁ $ n $,   ®бв в®зл© з«Ґ ¬®¦Ґв Ўлвм
§ ЇЁб  ў д®а¬Ґ ЏҐ ®
$$
r_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}.
$$
Џ®«гз Ґ¬, зв®
$$
P_{n}(x)=f(x_{0})+\frac{f^{\prime}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+
\frac{f^{\prime\prime}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+
\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}.
$$
\\
\par
…б«Ё дгЄжЁп $ f $ ¤ЁддҐаҐжЁагҐ¬  $ n+1 $ а § ў ҐЄ®в®а®©
®ЄаҐбв®бвЁ в®зЄЁ $ x_{0}, (x_{0}-\delta , x_{0}+\delta ),
\delta >0, $ в® ®бв в®зл© з«Ґ ў нв®© ®ЄаҐбв®бвЁ ¬®¦Ґв Ўлвм
§ ЇЁб  ў д®а¬Ґ ‹ Ја ¦ 
$$
r_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(x_{0}+\theta (x-x_{0}))}{(n+1)!}(x-x_{0})^{(n+1)} ,
$$
$$
0< \theta <1, x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ).
$$
\\
\par
‡ ¬ҐвЁ¬, зв® ЇаЁ $ n=1 $ ўла ¦ҐЁҐ ¤«п
$ P_{1}(x)=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0}) $
б®ўЇ ¤ Ґв б д®а¬г«®© ‹ Ја ¦  Є®Ґзле ЇаЁа йҐЁ© ¤«п дгЄжЁЁ
$ f(x). $
\\
\par
”®а¬г«  ’Ґ©«®а  ¤«п ¬®Ј®з«Ґ®ў. Џгбвм Ё¬ҐҐвбп Їа®Ё§ў®«мл© ¬®Ј®з«Ґ
$ f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}. $ ’®Ј¤  ЇаЁ «оЎле $ x $ Ё
$ h $ Ё¬ҐҐв ¬Ґбв® б«Ґ¤гой п д®а¬г« :
\begin{eqnarray*}
f(x+h)=a_{0}(x+h)^{n}+a_{1}(x+h)^{n-1}+...+a_{n}=\\
=f(x)+f^{\prime}(x)h+\frac{f^{\prime\prime}(x)}{2!}h^{2}+...+
\frac{f^{(k)}(x)}{k!}h^{k}+...+\frac{f^{(n)}(x)}{n!}h^{n}.
\end{eqnarray*}
\\
\par
ђп¤®¬ Њ Є«®аҐ  ¤«п дгЄжЁЁ $ f(x) $  §лў Ґвбп ҐҐ ап¤ ’Ґ©«®а 
ў в®зЄҐ $ 0 $  з «  Є®®а¤Ё в, в® Ґбвм в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬ нв®
бвҐЇҐ®© ап¤ ўЁ¤ 
$$
f(x)=\sum^{\infty }_{k=0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k} .
$$
\\
\par
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬ д®а¬г«  Њ Є«®аҐ  пў«пҐвбп з бвл¬ б«гз Ґ¬
д®а¬г«л ’Ґ©«®а . ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв® дгЄжЁп $ f(x) $ Ё¬ҐҐв $ n $
Їа®Ё§ў®¤ле ў в®зЄҐ $ x=0 $ . ’®Ј¤  ў ҐЄ®в®а®© ®ЄаҐбв®бвЁ нв®©
в®зЄЁ $ (-\delta , \delta ), \delta >0 $ , дгЄжЁо $ f(x) $ ¬®¦®
ЇаҐ¤бв ўЁвм ў ўЁ¤Ґ
$$
f(x)=\sum^{n}_{k=0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}+r_{n}(x),
$$
$$
x\in (-\delta , \delta ),
$$
\\
Ј¤Ґ $ r_{n}(x) $ - ®бв в®зл© з«Ґ $ n- $ ®Ј® Ї®ап¤Є  ў д®а¬Ґ ЏҐ ®.
\\
\par
ЏаЁўҐ¤Ґ¬ а §«®¦ҐЁп Ї® д®а¬г«Ґ Њ Є«®аҐ  ¤«п ®б®ўле н«Ґ¬Ґв але
¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе дгЄжЁ©:
$$
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+o(x^{n}),
$$
$$
sinx=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+...+
(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n}),
$$
$$
cosx=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+...+
(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1}),
$$
$$
(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^{2}+
...+\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^{n}+o(x^{n}),
$$
$$
ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+...+
(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n}).
$$
\\
\par
‚ MAPLE бгйҐбвўгҐв бЇҐжЁ «м п Є®¬ ¤ , Ї®§ў®«пой п ўлзЁб«пвм
ап¤л Ё ¬®Ј®з«Ґл ’Ґ©«®а : $ taylor(expr, eq/nm, n). $ ‡¤Ґбм
$ expr $ -а §« Ј Ґ¬®Ґ ў ап¤ ўла ¦ҐЁҐ, $ eq/nm $ - а ўҐбвў®
(ў ўЁ¤Ґ $ x=a $) Ё«Ё Ё¬п ЇҐаҐ¬Ґ®© ( ЇаЁ¬Ґа $ x $), $ n $ -
Ґ®Ўп§ вҐ«мл© Ї а ¬Ґва, гЄ §лў ойЁ©   Ї®ап¤®Є а §«®¦ҐЁп Ё
ЇаҐ¤бв ў«Ґл© жҐ«л¬ Ї®«®¦ЁвҐ«мл¬ зЁб«®¬ (ЇаЁ ®вбгвбвўЁЁ
гЄ § Ёп Ї®ап¤Є  ® ЇаЁЁ¬ Ґвбп а ўл¬ Ї® г¬®«з Ёо $ 6 $).
…б«Ё $ eq/nm $ § ¤ Ґвбп ў ўЁ¤Ґ $ x=a, $ в® а §«®¦ҐЁҐ
Їа®Ё§ў®¤Ёвбп ®в®бЁвҐ«м® в®зЄЁ $ x=a. $ …б«Ё $ eq/nm $
гЄ §лў Ґвбп Їа®бв® ў ўЁ¤Ґ Ё¬ҐЁ ЇҐаҐ¬Ґ®©, в®
Їа®Ё§ў®¤Ёвбп ўлзЁб«ҐЁҐ ап¤  Ё ¬®Ј®з«Ґ  Њ Є«®аҐ .
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 1. Ќ ©вЁ ¬®Ј®з«Ґ ’Ґ©«®а  9-®© бвҐЇҐЁ нЄбЇ®ҐжЁ «м®©
дгЄжЁЁ $ e^{x} $ ў  з «Ґ Є®®а¤Ё в.
\\
$ >p9:=taylor(exp(x),x=0,10); $
\\
Џ®«гз Ґвбп б«Ґ¤гойЁ© аҐ§г«мв в ¤«п д®а¬г«л ’Ґ©«®а 
\\
\begin{eqnarray*}
e^{x}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{24}x^{4}+
\frac{1}{120}x^{5}+\frac{1}{720}x^{6}+\frac{1}{5040}x^{7}+\\
+\frac{1}{40320}x^{8}+\frac{1}{362880}x^{9}+O(x^{10})
\end{eqnarray*}
\\
Ё  е®¤Ё¬ б ¬ ¬®Ј®з«Ґ ’Ґ©«®а  Ї® б«Ґ¤гойҐ© Їа®жҐ¤гаҐ
ЇаҐ®Ўа §®ў Ёп аҐ§г«мв в  ў ¬®Ј®з«Ґ
\\
$ >p9:=convert(p9,polynom); $
\\
\par
‚ аҐ§г«мв вҐ Ё¬ҐҐ¬ ¬®Ј®з«Ґ ’Ґ©«®а 
\\
$$
p_{9}(x)=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{24}x^{4}+
\frac{1}{120}x^{5}+\frac{1}{720}x^{6}+\frac{1}{5040}x^{7}+
\frac{1}{40320}x^{8}+\frac{1}{362880}x^{9}
$$
\\
\par
Њ®Ј®з«Ґл ’Ґ©«®а  ¤ ов  ЁЎ®«ҐҐ в®зго  ЇЇа®ЄбЁ¬ жЁо ЇаЁЎ«Ё¦ Ґ¬®©
дгЄжЁЁ ўЎ«Ё§Ё в®зЄЁ $ x_{0} $. Џ® ¬ҐаҐ г¤ «ҐЁп ®в в®зЄЁ $ x_{0} $
Ї®ЈаҐи®бвм ў®§а бв Ґв. „«п ЇаЁЎ«Ё¦ҐЁп ЇаЁе®¤Ёвбп ЁбЇ®«м§®ў вм
¬®Ј®з«Ґл ’Ґ©«®а  Ў®«ҐҐ ўлб®Є®© бвҐЇҐЁ, ® Ё®Ј¤  Ё ®Ё Ґ Ї®¬®Ј ов
ў бўп§Ё б  Є®Ї«ҐЁҐ¬ ўлзЁб«ЁвҐ«м®© Ї®ЈаҐи®бвЁ.
\\
\par
€вҐаҐб® Їа®б«Ґ¤Ёвм нв®в Їа®жҐбб Ја дЁзҐбЄЁ. Џ ЄҐв Maple
ЇаҐ¤®бв ў«пҐв в Єго ў®§¬®¦®бвм б Ї®¬®ймо Є®¬ ¤л plot.
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 2. Ќ ©вЁ зЁб«® $ e $ б в®з®бвмо ¤® $ 0.001 $.
Џ®«®¦Ё¬ $ x=1. $ ’®Ј¤  зв®Ўл ўлзЁб«Ёвм § зҐЁҐ $ e $  ¬  ¤®
ўлЇ®«Ёвм Є®¬ ¤г
\\
$ >eval(p9,x=1); $
\\
Џ®«гз Ґ¬ $ 98641/36288 $ Ё ¤ «ҐҐ
\\
$ >evalf(98641/36288); $
\\
¤ Ґв аҐ§г«мв в $ 2.718281526. $
\\
\par
€вҐаҐб® Їа®ўҐбвЁ ўлзЁб«ҐЁп Ё ба ўЁвм аҐ§г«мв вл,
Ї®«гз ойЁҐбп ¤«п зЁб«  $ e $ ЇаЁ а §«Ёзле бвҐЇҐпе
ЁбЇ®«м§гҐ¬®Ј® ¬®Ј®з«Ґ  ’Ґ©«®а . Џ®«гз овбп б«Ґ¤гойЁҐ аҐ§г«мв вл:
\\
$ k=1, e_{1}=1, k=2, e_{2}=2, k=3, e_{3}=2.5, k=4, e_{4}=2.666666667,
k=5, e_{5}=2.708333333, k=6, e_{6}=2.716666667, e_{7}=2.718055556,
k=8, e_{8}=2.718253968, k=9, e_{9}=2.718281526, e_{10}=2.718281801. $
\\
\par
Ћвбо¤  ўЁ¤®, зв® зЁб«® $ e $ б в®з®бвмо $ 0.001 $ ўлзЁб«пҐвбп,
 зЁ п б ¬®Ј®з«Ґ  ’Ґ©«®а  7-®© бвҐЇҐЁ. ’ Є¦Ґ б«Ґ¤гҐв, зв® зЁб«®
$ e $ c в®з®бвмо $ 0.000001 $ Ё«Ё зв® в® ¦Ґ б ¬®Ґ $ 10^{-6} $
ўлзЁб«пҐвбп,  зЁ п б ¬®Ј®з«Ґ  ’Ґ©«®а  9-®© бвҐЇҐЁ.
\\
\par
ЋжҐЄг ®бв вЄ  ап¤  Їа®Ё§ўҐ¤Ґ¬ Ї® д®а¬г«Ґ ®бв в®з®Ј® з«Ґ 
ап¤  Њ Є«®аҐ 
$$ \vert f(x_{1})-S_{n}(x_{1})\vert =\vert r_{n}(x_{1})\vert =
\vert \frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}\vert ,
$$
Ј¤Ґ $ c $  е®¤Ёвбп ¬Ґ¦¤г $ 0 $ Ё $ x_{1} $. ‘«Ґ¤гҐв
$ r_{n}(1)=\frac{e^{c}}{(n+1)!}, 0<c<1. $ ’ Є Є Є
$ e^{c}<e<3, $ в® $ r_{n}(1)<\frac{3}{(n+1)!}. $ ЏаЁ $ n=7 $
Ё¬ҐҐ¬ $ r_{7}<\frac{3}{7!}<0.001, e\approx 2.718 $.
\\
\par
Ќ ап¤г б Є®¬ ¤®© $ taylor $ ¤«п а §«®¦ҐЁп дгЄжЁ© Ё ўла ¦ҐЁ© ў ап¤л
ЁбЇ®«м§гвбп Є®¬ ¤  $ series . $ ђҐ§г«мв в®¬ ўлЇ®«ҐЁп Є®¬ ¤л
$ series $ ¬®¦Ґв Ўлвм Ї®бва®ҐЁҐ ҐҐ ап¤  ’Ґ©«®а ,  бЁ¬Їв®вЁзҐбЄ®Ј® ап¤ 
Ё«Ё ¦Ґ ҐЄ®в®а®Ј® ®Ў®ЎйҐ®Ј® ап¤ , ¤ ¦Ґ Ґб«Ё ҐҐ ап¤ ’Ґ©«®а  Ґ
бгйҐбвўгҐв.
\\
\par
„«п а §«®¦ҐЁп ў ап¤ ’Ґ©«®а  дгЄжЁЁ ҐбЄ®«мЄЁе ЇҐаҐ¬Ґле ЁбЇ®«м§гҐвбп
Є®¬ ¤  $ mtaylor. $
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 3. Ќ ©вЁ ¬®Ј®з«Ґ ’Ґ©«®а  6-®© бвҐЇҐЁ ®в дгЄжЁЁ
$ \frac{x}{1+x}. $
\\
\par
„Ґ« Ґ¬ б«Ґ¤гойго Є®¬ ¤г MAPLE.
\\
$ > h:=x/(1+x); $
\\
\par
Џ®«гз Ґ¬
\\
$ h:=\frac{x}{1+x}. $
\par
„ «ҐҐ  е®¤Ё¬ д®а¬г«г ’Ґ©«®а  Є®¬ ¤®©
\\
$ > taylor(h,x,6); $
\\
$$
h(x)=x-x^{2}+x^{3}-x^{4}+x^{5}+O(x^{6})
$$
\\
Ё ¬®Ј®з«Ґ ’Ґ©«®а  Є®¬ ¤®©
\\
$ >h:=convert(h,polynom); $
\\
$ h_{6}(x)=x-x^{2}+x^{3}-x^{4}+x^{5}. $
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 4. Ќ ©вЁ а §«®¦ҐЁҐ дгЄжЁЁ $ \arccos(x) $ ў ап¤ Њ Є«®аҐ .
\\
\par
‚лЇ®«пҐ¬ Є®¬ ¤г
\\
$ >taylor(arccos(x),x,12); $
\\
\par
Џ®«гз Ґ¬ аҐ§г«мв в
\\
$ \arccos(x)=-\frac{\pi }{2}-x-\frac{1}{6}x^{3}-\frac{3}{40}x^{5}-
\frac{5}{112}x^{7}-\frac{35}{1152}x^{9}-\frac{63}{2816}x^{11}+
O(x^{12}). $
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 5. Ќ ©вЁ а §«®¦ҐЁҐ дгЄжЁЁ $ \exp(x)+1 $ Ї® д®а¬г«Ґ ’Ґ©«®а 
4-®© бвҐЇҐЁ ў ®ЄаҐбв®бвЁ в®зЄЁ $ x=2. $
\\
\par
‚лЇ®«пҐ¬ Є®¬ ¤г
\\
$ >taylor(exp(x)+1,x=2,5); $
\\
\par
Џ®«гз Ґ¬ аҐ§г«мв в
\\
$$
(e^{2}+1)+e^{2}(x-2)+\frac{1}{2}e^{2}(x-2)^{2}+
\frac{1}{6}e^{2}(x-2)^{3}+\frac{1}{24}e^{2}(x-2)^{4}+O((x-2)^{5}).
$$
\par
ЏаЁ¬Ґа 6.Ќ ©вЁ а §«®¦ҐЁҐ ЈЁЇҐаЎ®«ЁзҐбЄ®Ј® Є®бЁгб  ў ап¤ Њ Є«®аҐ 
8-®© бвҐЇҐЁ.
\\
\par
$ >taylor(cosh(x),x,10); $
\\
\par
Џ®«гз Ґ¬
\\
$ 1+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}+\frac{1}{720}x^{6}+
\frac{1}{40320}x^{8}+O(x^{10}). $
\\

\par
‡ ¬ҐвЁ¬, зв® г   «ЁвЁзҐбЄЁе дгЄжЁ© Ёе а §«®¦ҐЁп ў ап¤
’Ґ©«®а  бгйҐбвўгов ўбҐЈ¤ . ЏаЁўҐ¤Ґ¬ ЇаЁ¬Ґа дгЄжЁЁ, Ґ Ё¬ҐойҐ©
а §«®¦ҐЁп ў ап¤ ’Ґ©«®а  Ё ¤«п Є®в®а®© Є®¬ ¤  $ taylor $ Ґ
¤ Ґв аҐ§г«мв в: $ f(x)=1/x^{2}+x. $
\\
$ >taylor(1/x^{2}+x,x,7);  $
\\
\par
‚ ®вўҐв   ўлЇ®«ҐЁҐ нв®© Є®¬ ¤л MAPLE ¤ Ґв ®вўҐв:
\\
\par
Error, does not have a taylor expansion, try series(),
\\
зв® § зЁв "ЋиЁЎЄ , а §«®¦ҐЁҐ ’Ґ©«®а  Ґ бгйҐбвўгҐв,
ЁбЇ®«м§г©вҐ Є®¬ ¤г series()". ‚ аҐ§г«мв вҐ ўлЇ®«ҐЁп Є®¬ ¤л
\\
$ >series(1/x^{2}+x,x,7); $
\\
Ї®«гз Ґ¬ Ёбе®¤®Ґ ўла ¦ҐЁҐ $ x^{-2}+x. $ ‚ в® ¦Ґ ўаҐ¬п ў
®ЄаҐбв®бвЁ ¤агЈЁе в®зҐЄ,  ЇаЁ¬Ґа в®зЄЁ $ x=2, $ д®а¬г« 
’Ґ©«®а  ўлзЁб«пҐвбп
\\
$ >taylor(1/x^{2}+x,x=2,7); $
\\
$ \frac{9}{4}+\frac{3}{4}(x-2)+\frac{3}{16}(x-2)^{2}-
\frac{1}{8}(x-2)^{3}+\frac{5}{64}(x-2)^{4}-\frac{3}{64}(x-2)^{5}+
\frac{7}{256}(x-2)^{6}+O((x-2)^{7}). $
\\
\par
Џ ЄҐв Maple ¤ Ґв ў®§¬®¦®бвм Є Є  е®¦¤ҐЁп а §«®¦ҐЁ© ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе
дгЄжЁ© ў ап¤л ’Ґ©«®а , в Є Ё Ја дЁзҐбЄ®© ЁвҐаЇаҐв жЁЁ в®з®бвЁ нвЁе
а §«®¦ҐЁ©. Џ®¤®Ў п Ја дЁзҐбЄ п ўЁ§г «Ё§ жЁп Ї®¬®Ј Ґв Ї®Ё¬ Ёо
бе®¤Ё¬®бвЁ ¬®Ј®з«Ґ®ў ’Ґ©«®а  Є б ¬®© ЇаЁЎ«Ё¦ Ґ¬®© дгЄжЁЁ.
\\
\par
ђ бб¬®ваЁ¬ ЇаЁ¬Ґал в Є®© Ја дЁзҐбЄ®© ўЁ§г «Ё§ жЁЁ ¤«п дгЄжЁЁ
$ \cos(x). $ ‘а ўЁ¬ Ја дЁЄЁ б ¬®© дгЄжЁЁ $ \cos(x) $ б Ја дЁЄ ¬Ё
ҐҐ а §«®¦ҐЁ© ’Ґ©«®а  а §«Ёзле бвҐЇҐҐ©.
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 7. ‘а ўЁ¬ дгЄжЁо $ \cos(x) $ c ҐҐ а §«®¦ҐЁҐ¬ Њ Є«®аҐ 
5-®© бвҐЇҐЁ   ЁвҐаў «Ґ $ [-4,4]. $
\\
$ >appr:=taylor(cos(x), x=0,5); $
\\
$ appr:=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}+O(x^{6}) $
\\
$ >polyn:=convert(appr,polynom); $
\\
$ polyn:=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4} $
\\
$ >plot(\{ cos(x),polyn\} ,x=-4..4,color=black); $
\begin{center}
{ $ \cos(x) $ Ё ҐЈ® а §«®¦ҐЁҐ ў ап¤ Њ Є«®аҐ  5-®© бвҐЇҐЁ}
\end{center}
\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(110,140){\special{em:graph r11.bmp}}
\end{picture}
\caption{Џ®бва®ҐЁҐ дгЄжЁЁ $ cos(x) $ Ё ҐҐ а §«®¦ҐЁп ў ап¤ Њ Є«®аҐ 
5-®Ј® Ї®ап¤Є }
\end{figure}

‹ҐЈЄ® § ¬ҐвЁвм, зв® ЇаЁ ҐЎ®«миЁе § зҐЁпе $ x $ Ја дЁЄЁ б ¬®©
дгЄжЁЁ Ё ЇаЁЎ«Ё¦ ойҐЈ® ҐҐ а §«®¦ҐЁп Їа ЄвЁзҐбЄЁ б®ўЇ ¤ ов,
®¤ Є® ЇаЁ ў®§а бв ЁЁ $ x $  зЁ ов ®в«Ёз вмбп.
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 8. ‘а ўЁ¬ дгЄжЁо $ \cos(x) $ б ҐҐ а §«®¦ҐЁҐ¬ Њ Є«®аҐ 
9-®© бвҐЇҐЁ   ЁвҐаў «Ґ $ [-4,4]. $
\\
$ >appr:=taylor(cos(x),x=0,9); $
\\
$ appr:=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}-\frac{1}{720}x^{6}+
\frac{1}{40320}x^{8}+O(x^{9}) $
\\
$ >polyn:=convert(appr,polynom); $
\\
$ polyn:=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}-\frac{1}{720}x^{6}+
\frac{1}{40320}x^{8} $
\\
$ >plot(\{ cos(x),polyn\} ,x=-4..4,color=black); $
\begin{center}
{ $ \cos(x) $ Ё ҐЈ® а §«®¦ҐЁҐ ў ап¤ Њ Є«®аҐ  9-®© бвҐЇҐЁ}
\end{center}

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(110,140){\special{em:graph r22.bmp}}
\end{picture}
\caption{Џ®бва®ҐЁҐ дгЄжЁЁ $ cos(x) $ Ё ҐҐ а §«®¦ҐЁп ў ап¤ Њ Є«®аҐ 
9-®Ј® Ї®ап¤Є .}
\end{figure}

ЏаЁ¬Ґа Ї®Є §лў Ґв, зв® ЇаЁ ЁбЇ®«м§®ў ЁЁ а §«®¦ҐЁп ’Ґ©«®а  Ў®«ҐҐ
ўлб®Є®© бвҐЇҐЁ в®з®бвм ЇаЁЎ«Ё¦ҐЁп ў®§а бв Ґв Ё г¤ Ґвбп ¤®бвЁзм
г¤®ў«Ґвў®аЁвҐ«м®Ј® ЇаЁЎ«Ё¦ҐЁп   Ў®«ҐҐ иЁа®Є®¬ ЁвҐаў «Ґ. Ћ¤ Є®
§ ¬ҐвЁ¬, зв® бвҐЇҐм а §«®¦ҐЁп ’Ґ©«®а  Ґ«м§п Ї®ўли вм Ґ®Ја ЁзҐ®
ў бўп§Ё б  Є Ї«Ёў ЁҐ¬ ўлзЁб«ЁвҐ«м®© Ї®ЈаҐи®бвЁ.
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 9. ‘а ўЁ¬ дгЄжЁо $ \cos(x) $ Ё ҐҐ а §«®¦ҐЁҐ ’Ґ©«®а  9-®©
бвҐЇҐЁ ®в®бЁвҐ«м® в®зЄЁ $ x=1. $
\\
$ >y(x):=convert(taylor(cos(x),x=1,9),polynom); $
\\
\begin{eqnarray*}
y(x):=\cos(1)-\sin(1)(x-1)-\frac{1}{2}\cos(1)(x-1)^{2}+
\frac{1}{6}\sin(1)(x-1)^{3}+\\
+\frac{1}{24}\cos(1)(x-1)^{4}-
\frac{1}{120}\sin(1)(x-1)^{5}-\frac{1}{720}\cos(1)(x-1)^{6}+\\
+\frac{1}{5040}\sin(1)(x-1)^{7}+
\frac{1}{40320}\cos(1)(x-1)^{8}
\end{eqnarray*}
\\
$ >plot(\{ y(x),cos(x)\} ,x=-4..4,color=black); $

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(110,140){\special{em:graph r33.bmp}}
\end{picture}
\caption{Џ®бва®ҐЁҐ дгЄжЁЁ $ cos(x) $ Ё ҐҐ а §«®¦ҐЁп ў ап¤ ’Ґ©«®а 
9-®© бвҐЇҐЁ ®в®бЁвҐ«м® в®зЄЁ $x=1$}
\end{figure}

„ л© ЇаЁ¬Ґа Ї®Є §лў Ґв ўЁ¤ а §«®¦ҐЁ© ’Ґ©«®а  ®в®бЁвҐ«м®
Ґг«Ґўле в®зҐЄ ў Ёе ®ЄаҐбв®бвпе.
\\

\begin{center}
{\large 4.ЏаЁЎ«Ё¦Ґ®Ґ ўлзЁб«ҐЁҐ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґле ЁвҐЈа «®ў}\\
\end{center}

ђп¤л нддҐЄвЁўл Ё г¤®Ўл ЇаЁ ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®¬ ўлзЁб«ҐЁЁ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґле
ЁвҐЈа «®ў, Ґ ўла ¦ ойЁебп ў Є®Ґз®¬ ўЁ¤Ґ зҐаҐ§ н«Ґ¬Ґв алҐ
дгЄжЁЁ. „«п ўлзЁб«ҐЁп $ \int_{0}^{x}f(t)dt $ Ї®¤ЁвҐЈа «м п
дгЄжЁп $ f(t) $ а бЄ« ¤лў Ґвбп ў бвҐЇҐ®© ап¤. …б«Ё
$$ f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}+...,
\ \vert x\vert<R,
$$
в® ЇаЁ $ \vert x\vert<R $ бвҐЇҐ®© ап¤ ¬®¦® ЁвҐЈаЁа®ў вм
Ї®з«Ґ®. Џ®«гз Ґ¬ ¬Ґв®¤ ўлзЁб«ҐЁп ЁвҐЈа « 
$ \int_{0}^{x}f(t)dt $ б «оЎ®©  ЇҐаҐ¤ § ¤ ®© в®з®бвмо
$$ \int_{0}^{x}f(t)dt=a_{0}x+a_{1}\frac{x^{2}}{2}+
a_{2}\frac{x^{3}}{3}+...+a_{n}\frac{x^{n+1}}{n+1}+....
$$

ЏаЁ¬Ґа 10. ЏаЁЎ«Ё¦Ґ®Ґ ўлзЁб«ҐЁҐ ЁвҐЈа «  ўҐа®пв®бвҐ©
$$ \phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-x}^{x}e^{-t^{2}/2}dt=
\frac{2}{\sqrt 2\pi }\int_{0}^{x}e^{-t^{2}/2}dt.
$$
\\
\par
’ Є Є Є
$$ e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+..., \
\vert x\vert <\infty ,
$$
в®
$$ e^{-x^{2}/2}=1-\frac{x^{2}}{2}+
\frac{x^{4}}{2^{2}2!}-\frac{x^{6}}{2^{3}3!}+....
$$
\\
\par
Џ®¤бв ўЁў нв®в ап¤ Ї®¤ § Є ЁвҐЈа «  Ё Їа®Ё§ўҐ¤п Ї®з«Ґ®Ґ
ЁвҐЈаЁа®ў ЁҐ Ї®«гз Ґ¬
$$ \phi(x)=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}/2}dt=
\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\left[x-\frac{x^{3}}{3\cdot 2}+\frac{x^{5}}
{5\cdot 2^{2}\cdot 2!}-\frac{x^{7}}{7\cdot 2^{3}\cdot 3!}+...\right].
$$
\\
\par
’ Є Є Є нв® § Є®ЇҐаҐ¬Ґл© ап¤ б Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м® гЎлў ойЁ¬Ё
б« Ј Ґ¬л¬Ё, в® Ї®ЈаҐи®бвм ўлзЁб«ҐЁп ЁвҐЈа «  Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®
гЎлў Ґв Ё Ґ ЇаҐўли Ґв Ї®б«Ґ¤ҐЈ® б« Ј Ґ¬®Ј®.
\\
\par
„«п Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®Ј® Ё ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®Ј® ЁвҐЈаЁа®ў Ёп дгЄжЁ® «мле
ўла ¦ҐЁ© ў Maple ЁбЇ®«м§говбп б®®вўҐвбвўҐ® Їа®жҐ¤гал
$$ int(\mbox{ўла ¦ҐЁҐ}, \mbox{ЇҐаҐ¬Ґ п}); $$
Ё
$$ int(\mbox{ўла ¦ҐЁҐ}, \mbox{ЇҐаҐ¬Ґ п}=a..b), $$
Ј¤Ґ $ a $ Ё $ b $ пў«повбп ЇаҐ¤Ґ« ¬Ё ЁвҐЈаЁа®ў Ёп.
\\
\par
Џа®жҐ¤га  $ Int() $ ЁбЇ®«м§гҐвбп ¤«п ®в®Ўа ¦ҐЁп ЁвҐЈа «  ў
бЁ¬ў®«м®© д®а¬Ґ.
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 11. ‚лзЁб«Ёвм ЁвҐЈа « ®в дгЄжЁЁ $ ax^{2}\cos(bx) $.

$ >f:=a*x^{\wedge }2*cos(b*x); $
$$  f:=ax^{2}\cos(bx) $$
$ >int(f,x); $
$$ \frac{a(b^{2}x^{2}\sin(bx)-2\sin(bx)+2\cos(bx))}{b^{3}} $$
$ >int(f,x=0..1); $
$$ \frac{a(b^{2}\sin(b)-2\sin(b)+2b\cos(b))}{b^{3}}. $$
\\
\par
„«п зЁб«Ґ®Ј® ўлзЁб«ҐЁп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®Ј® ЁвҐЈа «  ЁбЇ®«м§гҐвбп
Є®¬ ¤  $ evalf() $ :
$$ evalf(int(f,x=a..b)); $$
$$ evalf(Int(f,x=a..b)); $$
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 12. ‚лзЁб«Ёвм ЁвҐЈа « ®в дгЄжЁЁ $ \cos(x)\ln(x) $ ў
ЇаҐ¤Ґ« е ®в $ 0 $ ¤® $ 1 $. \\

$ >int(cos(x)*ln(x),x=0..1); $
$$ -Si(1) $$
\par
“Є § л© ЁвҐЈа « ўлзЁб«пҐвбп ў   «ЁвЁзҐбЄ®¬ ўЁ¤Ґ, ®
ўла ¦ Ґвбп зҐаҐ§ бЇҐжЁ «мго дгЄжЁо - ЁвҐЈа «мл© бЁгб.
„«п Ї®«гзҐЁп зЁб«Ґ®Ј® аҐ§г«мв в  ¬®Јгв ЁбЇ®«м§®ў вмбп
в Ў«Ёжл ЁвҐЈа «м®Ј® бЁгб  Ё«Ё ¦Ґ Ё¦ҐЇаЁў®¤Ё¬ п
Їа®жҐ¤га  зЁб«Ґ®Ј® ЁвҐЈаЁа®ў Ёп.
\\
$ >evalf(int(cos(x)*ln(x),x=0..1)); $
$$ -0.9460830704. $$
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 13. ‚лзЁб«Ёвм ЁвҐЈа « ®в $ ax^{k} $.

$ >Int(a*x^{\wedge }k,x)=int(a*x^{\wedge }k,x); $
$$ \int ax^{k}dx=a\frac{ax^{(k+1)}}{k+1} $$
$ >int(2*x^{\wedge }7,x=2..3); $
$$ \frac{6305}{4} $$
$ >evalf(\%); $
$$ 1576.25 $$
\\
\par
‚лзЁб«ҐЁҐ бг¬¬ ЁвҐЈа «®ў, ЁвҐЈа «®ў бг¬¬ Ё ЁвҐЈа «®ў ®в
Ї®«Ё®¬®ў Їа®Ё§ў®¤Ёвбп б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬:
\\
$ >Sum(Int(a[k]*x^{\wedge }k,x),k=1..6); $
$$ \sum_{k=1}^{6}\int a_{k}x^{k}dx $$
$ >value(\%); $
$$  \frac{1}{2}a_{1}x^{2}+\frac{1}{3}a_{2}x^{3}+
\frac{1}{4}a_{3}x^{4}+\frac{1}{5}a_{4}x^{5}+
\frac{1}{6}a_{5}x^{6}+\frac{1}{7}a_{6}x^{7}
$$
$ >P(x):=a*x^{\wedge }4+b*x^{\wedge }3+c*x^{\wedge }2+d*x+e; $
$$ P(x):=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e $$
$ >int(P(x),x); $
$$ \frac{ax^{5}}{5}+\frac{bx^{4}}{4}+\frac{cx^{3}}{3}+
\frac{dx^{2}}{2}+ex. $$
\\
\par
„ ¤Ё¬ ЇаЁ¬Ґа ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®Ј® ЇаҐ¤бв ў«ҐЁп ЁвҐЈа «  ў
ўЁ¤Ґ Ї®«Ё®¬  ҐЄ®в®а®© бвҐЇҐЁ ў в®¬ б«гз Ґ, Є®Ј¤  ®
Ґ ўлзЁб«пҐвбп ў § ¬Єгв®©   «ЁвЁзҐбЄ®© д®а¬Ґ.
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 14. ‚лзЁб«Ёвм ЁвҐЈа « ®в $ e^{\cos(x)} $.
$ >int(exp(cos(x)),x); $
$$ \int e^{\cos(x)}dx $$
$ >convert(taylor(\%,x=0,10),polynom); $
$$ ex-\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{30}ex^{5}-
\frac{31}{5040}ex^{7}+\frac{379}{362880}ex^{9}. $$
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 15. ‚лзЁб«Ёвм $ \displaystyle
\int_{0}^{1}e^{-x^{2}/2}dx $ б в®з®бвмо ¤® $ 0.02. $ \\
\par
€бЇ®«м§гҐ¬ а бб¬®ваҐл© а ҐҐ ЇаЁ¬Ґа 10. Џ®¤бв ўЁў ў
б®®вўҐвбвўгойго д®а¬г«г $ x=1, $ Ї®«гзЁ¬ зв® ¤«п Ї®«гзҐЁп
ваҐЎгҐ¬®© в®з®бвЁ ¤®бв в®з® ў§пвм ваЁ ЇҐаўле б« Ј Ґ¬ле,
в Є Є Є
$$ \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{7\cdot 2^{3}\cdot 3!}=
0.019947<0.02.
$$
\par
„Ґ©бвўЁвҐ«м® бг¬¬  ЇҐаўле ваҐе б« Ј Ґ¬ле а ўпҐвбп $ 0.68... $,
зв® б®Ј« бгҐвбп б в Ў«Ёзл¬Ё ¤ л¬Ё.
\\
\par
ЋЇЁиҐ¬ ЇаЁ¬ҐҐЁҐ Ї ЄҐв  MAPLE ЇаЁ ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®¬ ўлзЁб«ҐЁЁ
нв®Ј® ЁвҐЈа «  Ї®баҐ¤бвў®¬ а §«®¦ҐЁп ў ап¤л.

$ >int(exp(-x^{\wedge }2/2),x); $
$$ \frac{1}{2}\sqrt{\pi}\sqrt{2}erf(\frac{\sqrt{2}x}{2}) $$
$ >convert(taylor(\%,x=0,8),polynom); $
$$  x-\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{40}x^{5}-\frac{1}{336}x^{7} $$
$ >evalf(\%); $
$$ x-0.1666666667x^{3}+0.02500000000x^{5}-0.002976190476x^{7} $$
$ >eval(\%,x=1); $
$$ 0.8553571428. $$

\begin{center}
{\large 5.ЏаЁЎ«Ё¦Ґ®Ґ аҐиҐЁҐ ¤ЁддҐаҐжЁ «мле Ё ЁвҐЈа «мле
га ўҐЁ©}\\
\end{center}

ЏаЁЎ«Ё¦Ґ®Ґ аҐиҐЁҐ ®ЎлЄ®ўҐле ¤ЁддҐаҐжЁ «мле га ўҐЁ©
®бгйҐбвў«пҐвбп ў MAPLE Є®¬ ¤®© $ dsolve() $, Ї®§ў®«пойҐ©
 е®¤Ёвм аҐиҐЁҐ ў   «ЁвЁзҐбЄ®¬ ўЁ¤Ґ Ё Ї®«гз вм зЁб«Ґ®Ґ
аҐиҐЁҐ § ¤ зЁ.
\\
\par
Џа®жҐ¤га  $ dsolve() $ Ё¬ҐҐв б«Ґ¤гойЁ© д®а¬ в
$$ dsolve(\mbox{га ўҐЁп}, \mbox{ҐЁ§ўҐбвлҐ},
[\mbox{®ЇжЁЁ}]); $$
\par
ЏаЁ § ¤ ЁЁ ў Є®¬ ¤Ґ $ dsolve() $ ®ЇжЁЁ $ type=series $ ЁйҐвбп
ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®Ґ аҐиҐЁҐ ¤ЁддҐаҐжЁ «м®Ј® га ўҐЁп ў ўЁ¤Ґ ап¤ 
’Ґ©«®а .
\\
\par
Ѓ®«ҐҐ Ї®¤а®Ў® ¬ вҐаЁ «  бв®пйҐЈ® а §¤Ґ«  ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґвбп
Ё§«®¦Ёвм ў ®в¤Ґ«м®¬ гзҐЎ®-¬Ґв®¤ЁзҐбЄ®¬ Ї®б®ЎЁЁ.
\\
\par
ЏаЁ а Ў®вҐ  ¤ Ї®¤Ј®в®ўЄ®©  бв®пйЁе ¬Ґв®¤ЁзҐбЄЁе
гЄ § Ё© ЁбЇ®«м§®ў « бм б«Ґ¤гой п гзҐЎ п Ё
¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ п «ЁвҐа вга  ®ЎйҐ©  Їа ў«Ґ®бвЁ,
аҐЄ®¬Ґ¤гҐ¬ п Ё ¤«п ¤ «мҐ©иҐ© б ¬®бв®пвҐ«м®© а Ў®вл.

\begin{center}
{\large  ‹ЁвҐа вга }\\
\end{center}
1. ‹.„.Љг¤апўжҐў {\it Њ вҐ¬ вЁзҐбЄЁ©   «Ё§}, Њ., ‚лби п иЄ®« , 1981.-
’.I,II.
\\
2. €.€.Ѓ ўаЁ {\it  ‚лби п ¬ вҐ¬ вЁЄ }, Њ., ЂЄ ¤Ґ¬Ёп,2002.
\\
3. „.’.ЏЁбм¬Ґл© {\it Љ®бЇҐЄв «ҐЄжЁ© Ї® ўлбиҐ© ¬ вҐ¬ вЁЄҐ}, Њ.,
Ђ©аЁб ЏаҐбб, 2002.-з.1,2.
\\
4. Џ.….„ Є®, Ђ.ѓ.Џ®Ї®ў, ’.џ.Љ®¦ҐўЁЄ®ў  {\it ‚лби п ¬ вҐ¬ вЁЄ  ў
гЇа ¦ҐЁпе Ё § ¤ з е}, Њ., ЋЁЄб, 2002.-з.1,2.
\\
5. Ђ.‚.…дЁ¬®ў Ё ¤а. {\it ‘Ў®аЁЄ § ¤ з Ї® ¬ вҐ¬ вЁЄҐ}, Њ.,
”Ё§¬ в«Ёв, 2002.
\\
6. Љ.Ќ.‹гЈг Ё ¤а. {\it ‘Ў®аЁЄ § ¤ з Ї® ўлбиҐ© ¬ вҐ¬ вЁЄҐ}, Њ.,
Ђ©аЁб ЏаҐбб, 2001.
\\
7. Ђ.‚.Њ ва®б®ў {\it Maple 6. ђҐиҐЁҐ § ¤ з ўлбиҐ© ¬ вҐ¬ вЁЄЁ Ё
¬Ґе ЁЄЁ}, ‘ Єв-ЏҐвҐаЎгаЈ, BHV, 2001.
\\
8. ‚.Џ.„мпЄ®®ў {\it Maple 7. “зҐЎл© Єгаб}, ‘ Єв-ЏҐвҐаЎгаЈ,
ЏЁвҐа, 2002.
\\
9. Ђ.Ќ.‚ бЁ«мҐў {\it Maple 8. ‘ ¬®гзЁвҐ«м}, Њ., „Ё «ҐЄвЁЄ , 2003.
\\
10. €.….ЂгдаЁҐў {\it MatLab 5.3/6.X. ‘ ¬®гзЁвҐ«м},
‘ Єв-ЏҐвҐаЎгаЈ, BHV, 2002.
\\
11. ћ.ћ.’ а бҐўЁз {\it €д®а¬ жЁ®лҐ вҐе®«®ЈЁЁ ў ¬ вҐ¬ вЁЄҐ},
Њ®бЄў , ‘®«®-ЏаҐбб, 2003.
\\
12. Ћ.ћ.ЂЈ аҐў , ….‚.‚ўҐ¤ҐбЄ п, Љ.ћ.ЋбЁЇҐЄ® {\it Maple ў ЄгабҐ
¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®Ј®   «Ё§ . ЊҐв®¤ЁзҐбЄЁҐ гЄ § Ёп Є Їа ЄвЁзҐбЄЁ¬
§ пвЁп¬ Ї® вҐ¬Ґ: ``ЏаҐ¤Ґ« дгЄжЁЁ. ЌҐЇаҐалў®бвм.''}, Њ.,
ЊЂ’€-ђѓ’“ Ё¬. Љ.ќ.–Ё®«\-Є®ўбЄ®Ј®, 1999.
\\
13. Ћ.ћ.ЂЈ аҐў , ….‚.‚ўҐ¤ҐбЄ п, Љ.ћ.ЋбЁЇҐЄ® {\it Maple ў ЄгабҐ
¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®Ј®   «Ё§ . ЊҐв®¤ЁзҐбЄЁҐ гЄ § Ёп Є Їа ЄвЁзҐбЄЁ¬
§ пвЁп¬ Ї® вҐ¬Ґ: ``„ЁддҐаҐжЁа®ў ЁҐ дгЄжЁ©.''}, Њ., ЊЂ’€-ђѓ’“
Ё¬. Љ.ќ.–Ё®«Є®ў\-бЄ®Ј®, 1999.
\\
14. ћ.Њ.ђ ЇЇ®Ї®ав {\it Maple ў ЄгабҐ ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®Ј®   «Ё§ .
ЊҐв®¤ЁзҐбЄЁҐ гЄ § Ёп Є Їа ЄвЁзҐбЄЁ¬ § пвЁп¬ Ї® вҐ¬Ґ: ``”®а¬г« 
’Ґ©«®а .''}, Њ., ЊЂ’€-ђѓ’“ Ё¬. Љ.ќ.–Ё®«Є®ўбЄ®Ј®, 2003.
\\
15. http://www.Exponenta.ru .
\\
16. http://www.maplesoft.com .
\newpage



\begin{center}
{\large ЋЈ« ў«ҐЁҐ}\\
\end{center}
{\large I.‚ўҐ¤ҐЁҐ........................................%
.....................................................3}\\
{\large II.ЊҐв®¤л вҐ®аЁЁ ЇаЁЎ«Ё¦ҐЁп ў зЁб«Ґ®¬   «Ё§Ґ. Џ ЄҐв \\
MAPLE.....................................................%
............................................3}\\
{\large III.ЏаЁЎ«Ё¦Ґ®Ґ ўлзЁб«ҐЁҐ ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе дгЄжЁ©%
................4}\\
{\large IV.ЏаЁЎ«Ё¦Ґ®Ґ ўлзЁб«ҐЁҐ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґле ЁвҐЈа «®ў................13}\\
{\large V.ЏаЁЎ«Ё¦Ґ®Ґ аҐиҐЁҐ ¤ЁддҐаҐжЁ «мле Ё ЁвҐЈа «мле \\
га ўҐЁ©.................................................%
...........................................17}\\
{\large VI.‹ЁвҐа вга ......................................%
..............................................17}\\
{\large VII.ЋЈ« ў«ҐЁҐ.....................................%
..............................................19}\\













%}

\end{document}
Соседние файлы в папке Maple в курсе математического анализа. Методические указания к практическим занятиям
#
24.04.2014995.71 Кб83r11.bmp
#
24.04.20141.01 Mб83r22.bmp
#
24.04.2014977.56 Кб83r33.bmp
#
24.04.201428.95 Кб83riad4.tex
#
24.04.2014670 б81title.lat