Скачиваний:
35
Добавлен:
24.04.2014
Размер:
340.53 Кб
Скачать

МАТИ – РГТУ им. К. Э. Циолковского

Методическое пособие для проведения практических занятий и курсового проекта

по теме «Теория поля»

Авторы: Заварзина И.Ф. Кулакова Р.Д.

Москва 2003г

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

ВВЕДЕНИЕ.

Данные методические указания предназначены для выполнения практических занятий по теме «Теория поля» и для выполнения курсовой работы по теме «Векторный анализ» для студентов второго курса всех специальностей.

В данной разработке рассматриваются задачи, имеющие прикладной характер. Как показывает опыт, студенты справляются с формальными вычислениями, возникающими при решении задач теории поля. Однако они оказываются в затруднении, если задачи формулируются в терминах прикладных наук: гидродинамики, электродинамики, механики и т.д. Поэтому целесообразно рассматривать при изучении в

курсе «Высшая математика» разделы «Теория поля и векторный анализ» физические и механические примеры тесно связанные с прикладными вопросами.

Кроме того, данное пособие способствует успешному выполнению курсовой

работы по теме «Векторный анализ» при использовании вариантов из сборника заданий по высшей математике Л.А. Кузнецова.

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

1.Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по

направлению. Градиент.

Определение скалярного поля. Говорят, что задано скалярное поле, если указан закон, в силу которого каждой точке M некоторой области Ω пространства R3 или R2

поставлено в соответствие определенное число (u)M .

 

Задание скалярного

поля эквивалентно заданию

функции трех переменных

u(M ) = u(x, y, z) при Ω R3

или функции двух переменных

u(M ) = u(x, y) при Ω R2 ; в

последнем случае поле называется плоским.

Множество всех точек M Ω , в которых выполняется равенство u(M ) = C , где C - некоторая постоянная, называется поверхностью уровня, соответствующей числу C . Семейство поверхностей уровня, скалярного поля u(M ) определяется уравнением

u(x, y, z)= C, M (x, y, z) Ω R3 .

В случае плоского скалярного поля уравнение u(x, y) = C, M (x, y) Ω R2

определяет семейство линий уровня.

Задача 1. Найти поверхности уровня скалярного поля

(u)M = x2 + y2 + z2 .

Решение. Поверхности уровня данного скалярного поля представляют собой сферические поверхности, определяемые уравнением

x2 + y2 + z2 = C .

Или

x2 + y2 + z2 = C 2

(см. рис. 1.1).

Задача 2. Найти линии уровня плоского скалярного поля u(M ) = xy .

Решение. Линиями уровня данного скалярного поля являются гиперболы,

определяемые уравнением xy = C , или.

На рис. 1.2 изображены гипербола (1), определяемая уравнением

y = Cx1 ,

гипербола (2) – уравнением

y = Cx2 ,

и гиперболы (3) и (4) – уравнениями

y = Cx3 , y = Cx4

соответственно.

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

z

y Рис. 1.1

0

x

y

(4) (2)

(3)

(1)

 

 

 

x

 

0

 

 

(1)

(2)

 

(3) (4)

Производная скалярного поля. Производная скалярного поля по направлению,

 

 

 

 

 

 

 

, вычисляется по формуле

 

 

 

 

заданному вектором l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

=

u

cosα +

u

cos β +

u

cosγ , (1.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

z

где cosα,cos β,cosγ

 

 

.

- направляющие косинусы вектора l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 =

l

= {cosα,cos β,cosγ }.

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Найти производную поля u(M ) = x2 + y2 − 3x + 2y

в точке M 0 (0,0,0) по направлению вектора l = {3,4,0}.

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 :

 

 

 

 

1) Найдем единичный вектор l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 =

l

 

=

3i

+ 4

j + 0k

 

 

=

3

 

 

+

4

 

 

.

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

i

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradu

(M 0 ) = −3i

+ 2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Вычисляем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

= (2x − 3)

 

 

 

 

= −3

u

 

 

 

= 2,

u

 

 

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

M 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0

 

y

 

M0

 

 

 

z

 

M0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

и по формуле (1.1) получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

M0

=

u

 

M0

cosα +

u

 

M0 cos β +

u

 

M 0

cosγ = (- 3)×

3

+ 2 ×

4

= -

1

.

 

 

 

 

l

 

x

 

y

 

z

 

5

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение градиента скалярного поля. Градиент скалярного поля u(M ) есть вектор grad u , вычисляется по формуле

gradu = ux i + uy j + uz k.

Из этого ясно, что формулу (1.1) можно переписать иначе:

ul = (grad u,l 0 ).

Следует отметить, что вектор в точке M направлен по нормали к поверхности уровня, на которой находится данная точка.

Задача 4. Найти градиент скалярного поля u(M )= 3x2 y 3xy 3xy3 + y4

в точке M0 (1,2,0). Решение. Имеем

gradu(M ) = u(M )i + u(M ) j + u(M )k = ( 6xy - 3y - 3y3 )i + (3x2 - 3x - 3xy2 ) j,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12624

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradu(M )-18i

- 36 j.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vmax =

 

182 + 362

 

» 182

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача5. Найти угол между градиентами скалярных полей

u(M ) = x2 + y2

- z2 и V (M )= arcsin

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

+ y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в точке M 0 (1,1

 

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Для определения

 

 

gradu и

gradv вычисляем частные производные

 

u

 

= 2x,

u

 

= 2y,

u

= -2z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

=

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

V

= -

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

,

V

= 0.

 

 

 

 

 

x

(x + y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

(x + y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

2xy + y2

2xy + y2

 

 

 

 

в точке M 0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

= 2, u

 

M0 = 2, u

 

 

 

 

 

= -2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0

 

 

M0

7,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

=

1

 

 

, V

 

 

= -

 

 

 

1

 

 

,

V

 

 

M

0

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

M0

2 3

 

 

 

 

 

y

 

 

M 0

2

3

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По формуле (1.2) находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradu(M 0 ) = 2i

+ 2

 

- 2

 

 

 

 

,gradu(M 0 ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

7

 

 

k

j

 

i

+

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

затем вычисляем

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

 

grad u(M 0 )

 

=

 

 

 

 

 

 

= 6,

 

gradV (M

0 )

 

=

 

1

 

+

 

1

 

=

1

 

,

 

 

 

4

+ 4 + 28

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

(grad u(M 0 )gradV (M 0 )) 2 ×

 

 

 

- 2 ×

 

 

 

 

 

 

- 2

 

 

× 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

cosϕ =

 

 

3

 

 

3

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad u(M

0 )

 

×

 

gradV (M 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 ×

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отсюда ϕ = π2 .

Дифференциальные свойства градиента

1.grad(C1u + C2v) = C1 gradu + C2 gradv,C1 ,C2 - произвольные постоянные;

2.grad(u ×v) = v gradu + u gradv;

3.grad uv = v12 (v grad u - u grad v);

4.grad F(u) = F(u)gradu.

Задача 6. Найти градиент скалярного поля

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = f (r), где r =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + y2

+ z2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Используем для нахождения градиента свойство 4. Предварительно

найдем grad r :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

=

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

r

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

r

=

 

 

 

 

 

z

 

 

,

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + y2 + z2

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + y2 + z2

 

 

 

 

 

x2 + y2 + z2

grad r =

x

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

+

z

 

 

 

=

1

×

 

 

 

 

 

=

 

 

0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

+

 

 

 

j

k

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

– радиус-вектор точки M (x, y, z); градиент скалярного поля f (r)равен

grad f (r) = f

¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢

 

 

 

 

 

 

 

r

=

f

¢

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(r)grad r = f

(r) r

 

 

(r)r .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 7. Найти наибольшую скорость возрастания поля

u(M ) = ln(x2 + 4y2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в точке M 0 (6,4,0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Найдем градиент данного скалярного поля

 

 

 

gradu =

u i

+ u

 

+

 

u k

 

=

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

+

 

8y

 

 

 

,

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

+ 4y2

x2

+ 4y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в точке M 0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradu(M 0 ) =

 

 

3

 

 

 

+

 

8

 

 

 

 

=

1

 

 

 

(3i

+ 8

 

 

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

j

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

25

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наибольшая скорость возрастания поля в точке M 0

равна

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vн

=

 

gradu(M 0 )

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

73

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 + 64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

Векторное поле. Векторные линии. Поток векторного поля.

Определение векторного поля.

Если каждой точке

M (x, y, z)некоторой области

W Î R3 поставлен в соответствие определенный вектор a(M ) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k ,

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

то говорят, что в области задано векторное поле.

В дальнейшем будем считать функции P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывно дифференцируемыми в области Ω .

Векторной линией поля a(M ) называется линия L , касательная к которой в каждой

ее точке совпадает с направлением вектора поля a в этой точке.

Пример 1. В поле скоростей движущейся жидкости векторными линиями (линиями тока) являются траектории, описываемые частицами жидкости.

Пример 2. В поле напряженности электростатического поля векторными линиями будут лучи, исходящие из точки, в которой находится заряд.

Уравнения векторных линий имеют вид

dx

dy

dz

 

 

=

 

=

 

.

(2.1)

P(x, y, z)

Q(x, y, z)

R(x, y, z)

Уравнения (2.1) можно записать в виде системы дифференциальных уравнений в

нормальной форме

dy = Q(x, y, z) dx P(x, y, z),

dz = R(x, y, z) dx P(x, y, z).

Решениеэтойсистемыприводитнаскдвумсемействамповерхностей:

ϕ1 (x, y, z) = C1 и ϕ2 (x, y, z) = C2 .

Попарнопересекаясь,поверхностиэтихсемействбудутопределятьискомыевекторныелинии. Задача1.Найтивекторныелиниивекторногополя

a(M ) = yi + yj + zk.

Решение.Система(2.1)вданномслучаеимеетвид dxx = dyy = dzz ,

или dxx = dyy , dxx = dzz ,

откуда y = C1 x, z = C2 x.

Общее решение рассматриваемой системы представляет собой два семейства пересекающихся плоскостей y = C1 x и z = C2 x. Векторными линиями являются прямые, проходящие через начало

координат.

Задача2.Найтивекторныелиниивекторногополя a(M ) = yi + xj.

Решение.Составимсистемудифференциальныхуравненийвекторныхлиний dxy = dyx = dzz ,

ìxdx = ydy,

или í

îdz = 0.

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

y

C1

- C1 C1

x

-C1

Врезультатеинтегрированияполучим x2 - y2 = C1 , z = C2 ,

где C1 ,C2 - произвольные постоянные. Векторными линиями в рассматриваемом поле являются гиперболы,расположенныевплоскостях z = C2 .

Поток векторного поля. Одной из важнейших характеристик векторного поля a = a(M ) является скалярнаявеличина,называемаяпотокомвекторногополячерезвыбраннуюсторонунекоторойдвусторонней

поверхности,помещеннойвэтомполе.

 

 

определяется единичным вектором нормали n 0 к данной

Выбор стороны поверхности

S

поверхности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0 = cosαi

+ cos β

j

+ cosγk.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Еслиповерхностьзаданауравнением

 

 

 

 

 

 

F(x, y, z) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.2)

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F i

 

 

F

 

 

F k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

n 0 = ±

grad F

= ±

 

 

 

x

 

y

z

 

 

,

(2.3)

grad F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

F ö2

+

æ

F ö2

æ

F ö2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

÷

 

ç

÷

+ ç

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è ¶x ø

 

ç

÷

è ¶z ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

y ø

 

причем знак в правой части выбирается так, чтобы получить нормальный вектор n 0 именно для

рассматриваемойстороныповерхности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если поверхность S

состоит из нескольких частей, заданных уравнениями вида (2. 2), то вектор

нормали вычисляем для каждой части отдельно по той же формуле (2. 3) с учетом выбранной стороны поверхности.Вслучаезамкнутойповерхностиусловимсявсегдавыбиратьеевнешнююсторону.

Потокомвекторного поля a = a(M ) черездвустороннююповерхность называетсяповерхностный

интеграл

 

П = òò(a(M ),n 0 (M ))ds

(2.4)

S

 

где n 0 (M ) – единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности в ее произвольной

точке.

Еслизаданнаяповерхность S взаимнооднозначнопроектируетсянакоординатнуюплоскость OXY в область σ xy , то вычисление потока через эту поверхность сводится к вычислениюдвойного интеграла по

области σ xy :

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

П = òò(a,n

0

)ds = òò

(a, n 0 )

 

 

z=z(x, y ) dxdy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosγ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где z = z(x, y)

- уравнение поверхности S,cosγ – направляющий косинус единичной нормали

n 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если поверхность S взаимно однозначно проектируется на координатную плоскость

в область

OXY или OXZ ,то поток векторного поля через эту поверхность может быть вычислен соответственно по

формулам

(a,n 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П = òò

 

 

x=x(y,z ) dydz,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosα

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ yz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.5)

 

 

 

 

 

 

 

(a, n 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П = òò

 

 

 

y= y(x,z ) dxdz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ xz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

состоит из нескольких частей, например S = S1 + S2

+ ... + Sk ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В случае,

когда поверхность S

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П = òò(a1 ,n10 )ds + òò(a1 ,n20 )ds + ... + òò(a1 ,nk0 )ds,

 

(2.6)

 

S1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S2

Sk

 

 

 

 

 

 

 

где n0 , n0

,..., n0

–нормаликповерхностям S

1

, S

2

,..., S

k

,соответственно.

 

1

 

2

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача3.Вычислитьпотоквекторногополя a = (x + y)i + (x − y)j + (x − z)k

черезчастьплоскости x + y + 2z −1 = 0,

вырезанную координатными плоскостями; сторон поверхности выбрать так, чтобы нормаль к ней образовываласосью OZ острыйугол.

Решение. Заданную поверхность – треугольник ABC (рис. 2.1) спроектируем на плоскость OXY . Онапроектируетсявобласть σ xy ,которойявляетсятреугольник AOC .Найдемвектор n 0 ,учитывая,чтопо

условиюзадачиондолженсоставлятьсосью OZ острыйугол:

F(x, y, z) = x + y + 2z −1; grad F = i + j + 2k ;

 

grad F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0 =

 

=

i

+ j + 2k

 

=

i + j

+

2k

.

grad F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+1+ 4

6

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 2

 

B

γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

0

1

y

A

1

x

Рис.2.1.

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

Здесь cosγ =

2

 

> 0 ,следовательно,угол γ -острый.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далеенайдемскалярноепроизведениевекторов a и n 0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a,n 0 )=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(x + y)+

1

 

(x - y)+

 

2

(y - z) =

2

 

(x + y - z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используемформулу(2.4):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П = òò(a1, n0 )ds = òò

2

 

(

x + y - z

)

 

1

 

dxdy

= = òò[x + y -

1

(1- x - y)]dxdy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1xy)

2

6 2 / 6

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

σ xy

 

 

 

 

 

z= 2

 

 

 

 

 

σ xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1x

=

1

òò(3x + 3y -1)dxdy =

1

1

1x

 

 

 

 

 

 

3y -1)dy =

1

1 æ

3

y

2

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

òdx ò

(3x +

2

òç3xy +

2

 

- y ÷

 

dx =

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

0 è

 

 

 

ø

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

é

3 x2 - x3 + 1 (x -1)3

+ (x -1)

2

ù

 

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

ú

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

ê

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

ú

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

û

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Внекоторыхслучаяхполезнодлявычисленияпотокаиспользоватькриволинейныекоординаты.

z

dϕ

Рис.2.2

dz ds

y

dϕ

R Rdϕ

x

Для кругового цилиндра имеем в цилиндрических координатах

ìx = R cosϕ

(2.7)

í

îy = R sinϕ

 

элемент площади поверхности цилиндра выражается формулой

ds = Rdϕdz

(2.8)

(см. рис.)

zR sinθdϕ

R

Rdθ

ds

 

 

Рис. 2.3.

0

dθ

 

y

 

 

 

dϕ

 

R

 

 

x

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com