Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Высоцкая. Домашняя работа / Система задач Саранцева и Морозовой

.docx
Скачиваний:
10
Добавлен:
02.08.2019
Размер:
369.26 Кб
Скачать

Алгебра, Дорофеев, 9 класс.

Система задач Саранцева Г.И.

  1. На мотивацию (практического характера). Перед тем как начать огромную тему, связанную со статистикой, за месяц до начала занятия, учитель попросит учеников в течение одного месяца (в данном случае марта) замерять температуру воздуха при помощи уличного термометра за окном 3 раза в сутки: утром в 7 – 8 часов, днём в 12 часов и вечером в 21 час и, одновременно вычисляя среднесуточную температуру по формуле (t0утро + t0день + t0вечер ) /3, занести данные в таблицу вида:

№№

дата

время

t0среднесуточная

7:00

12:00

21:00

1

01.03

2,5

1,9

-1

1,1

2

02.03

3,2

4,9

2,0

3,4

3

03.03

2,8

3,3

3,2

3,1

4

04.03

2,9

3,9

2,4

3,1

5

05.03

-0,7

4,6

-2,0

0,6

6

06.03

-0,7

3,8

3,2

2,1

7

07.03

1,2

2,5

3,8

2,5

8

08.03

4,0

4,9

7,1

5,3

9

09.03

3,8

3,5

1,2

2,8

10

10.03

1,2

5,2

4,6

3,7

11

11.03

3,9

2,7

2,4

3,0

12

12.03

0,1

6,7

-0,3

2,2

13

13.03

-0,9

7,5

0,6

2,4

14

14.03

-0,2

9,0

2,0

3,6

15

15.03

0,6

10,4

0,7

3,9

16

16.03

0,7

11,8

3,8

5,4

17

17.03

1,5

15,0

3,2

6,6

18

18.03

1,6

12,1

-0,5

4,4

19

19.03

4,6

12,1

5,2

7,3

20

20.03

1,9

3,8

1,6

2,4

21

21.03

-2,2

-0,8

-0,4

-1,1

22

22.03

-6,2

-2,3

-3,6

-4,0

23

23.03

-0,7

1,5

0,6

0,5

24

24.03

2,6

4,3

1,9

2,9

25

25.03

-2,0

0,8

-1,5

-0,9

26

26.03

-2,6

3,8

0,0

0,4

27

27.03

-0,6

6,1

5,1

3,5

28

28.03

3,4

6,1

5,7

5,1

29

29.03

2,0

6,4

2,0

3,5

30

30.03

0,7

2,1

1,2

1,3

31

31.03

4,4

5,2

4,6

4,7

II и III (на построение объектов, удовлетворяющих выделенным свойствам, на распознавание объектов, принадлежащих объему понятия) пункты объединяю, т. к. я использую данные среднесуточной температуры ученика, произвожу над ними статистическую обработку и, получив результат, объясняю что это за число и что оно значит, т. е. ввожу понятие.

Урок проводится в классе информатики. Начать урок с определения статистики и для чего она нужна.

Статистика – наука о закономерностях массовых явлений или событий, или, проще говоря, наука о том, так преобразовать огромный массив данных, чтобы привести к наглядному виду, проанализировать обработанную информацию и прогнозировать за счет выявленной закономерности следующее значение, то бишь предсказать. Проведем статистическую обработку полученных каждым учеником данных t0среднесуточная, попутно вводя понятия.

Полученная группа из 31 значения t0среднесуточная, рассматривается как выборка из гипотетической генеральной совокупности (другие месяцы и другие года). Каждое из значений t0среднесуточная, т. е. одна из результатов измерения, называется вариантой измерения.

Для начала нужно расположить варианты в порядке возрастания:

-4,0

-1,1

-0,9

0,4

0,5

0,6

1,1

1,3

2,1

2,2

2,4

2,4

2,5

2,8

2,9

3,0

3,1

3,1

3,4

3,5

3,5

3,6

3,7

3,9

4,4

4,7

5,1

5,3

5,4

6,6

7,3

Мы видим, что в выборке некоторые варианты встречаются некоторое k количество раз. Это число k называется кратностью. Теперь сгруппируем выборку, учитывая повторения:

Варианта

-4,0

-1,1

-0,9

0,4

0,5

0,6

1,1

1,3

2,1

2,2

2,4

2,5

Кратность

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

Варианта

2,8

2,9

3,0

3,1

3,4

3,5

3,6

3,7

3,9

4,4

4,7

5,1

Кратность

1

1

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

Варианта

Сумма

5,3

5,4

6,6

7,3

Кратность

1

1

1

1

31

Далее, при общей оценке распределения данных не очень важно, что, например, варианта 3,1 имеет кратность 2 среди всех 31 данных, важнее узнать, сколько она встречалась во всей выборке. Если мы 2/31=0,06 или 6%, то уже станет нагляднее, сколько эта варианта занимает от общего объема выборки. 6% в данном случае называют частотой варианты, равная отношению кратности к объему выборки.

Составим же таблицу теперь уже распределения частот:

Варианта

-4,0

-1,1

-0,9

0,4

0,5

0,6

1,1

1,3

2,1

2,2

2,4

2,5

Кратность

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

Частота, %

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

6

3

Варианта

2,8

2,9

3,0

3,1

3,4

3,5

3,6

3,7

3,9

4,4

4,7

5,1

Кратность

1

1

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

Частота,%

3

3

3

6

3

6

3

3

3

3

3

3

Варианта

Сумма

5,3

5,4

6,6

7,3

Кратность

1

1

1

1

31

Частота,%

3

3

3

3

100

Еще нагляднее это выглядит в виде графиков:

Рисуем на доске эти графики.

А) график распределения выборки, где за ось х берутся значения вариант, а за ось у – кратности;

Б) полигон частот, где за ось х берутся значения вариант, а за ось у – частот, в процентах.

Вы уже, наверное, заметили, что одинаковые значения здесь встречаются редко, зато различных много. В таких случаях используют интервальный метод. Для этого всю выборку от наименьшего до наибольшего разбивают на интервалы, обычно равные, а затем подсчитывают, сколько данных попадет в данный интервал.

Наименьшее значение: -4,0

Наибольшее значение: 7,3

Разобьем промежуток из 31 элемента на 3 интервала:

количество дней с температурой ниже 00С: -5 – 0

количество дней с температурой: 0 – 5

количество дней с температурой: 5 – 10

Составим таблицу:

Интервал температур, 0С

Кратность, кол-во дней

Частота, %

-5 – 0

3

10

0 – 5

23

74

5 – 10

5

16

Сумма

31

100

Для интервального ряда используют специальное графическое изображение – гистограмму. Для ее построения на горизонтальной оси откладывают интервалы, на которых разбит весь промежуток, и на них, как на основаниях, строят прямоугольники с высотами, равными соответствующим значениям кратности или частотам. Полученная ступенчатая фигура из прямоугольников и называется гистограммой.

По гистограмме можно увидеть, что наиболее характерной температурой (74%) для марта была от 00С – 50С.

IV и V (на выделение следствий из определения понятия и на дополнение условий (для распознавания и выведения следствий) на составление родословной понятия) пункты объединяю, но здесь уже наоборот: ввожу понятие и для наглядности использую графики и таблицы, построенные по среднесуточным температурам, найденные учеником, тем самым подкрепляя понимание введенных понятий, а т. к. у каждого ученика измерения среднесуточной температуры будут разниться, то им придется все равно обрабатывать свою информацию и сопоставлять результаты занятия со своими результатами, тем самым делая выводы, где и как понятие применено.

Также у любых измерений, в данном случае среднесуточных температур, есть свои числовые характеристики:

Разность наибольшей и наименьшей вариант – размах выборки. В данном случае Tmax – Tmin = 7,3 – (-4) = 11,3, что наглядно видно на графике.

Варианта с наибольшей частотой – мода выборки. Если встречаются 2 варианты (или больше) с одинаковой частотой (наибольшей), то обе они – моды. Если у всех вариант одинаковая частота, то моды нет. В данном случае модами на графике будут являться 3 пика, соответствующие значениям температур: 2,4; 3,1; 3,5.

Медиана –варианта, стоящая посередине упорядоченного по возрастанию ряда чисел. Если объём выборки – чётное число, то медиана – среднее арифметическое 2-х средних вариант.

В данном случае легче воспользоваться таблицей, где мы сортировали данные по возрастанию. Объем выборки – нечетное число, следовательно, 30/2=15, медиана находится на расстоянии 15 вариант от первоначального значения, т. е. равна 3,0.

Также важной характеристикой является нахождение среднего арифметического значения, т. е. отношения суммы данных измерения к их количеству. Среднее арифметическое в данном случае будет = (1,1+3,4+3,1+3,1+0,6+2,1+2,5+5,3+2,8+3,7+3,0+2,2+2,4+3,6+3,9+5,4+6,6+4,4+7,3+2,4-1,1-4,0+0,5+2,9-0,9+0,4+3,5+5,1+3,5+1,3+4,7)/31=2,7, т. е. среднесуточная температура в марте месяце составляет в среднем 2,7 (2,7355)0С. Потом объясню, почему именно до десяти тысячных долей.

Для получения более полного представления о числовом ряде, помимо средних, надо знать характеристики разброса, показывающие, как сильно значения «рассеяны» вокруг средних.

Простейшую характеристику «рассеяния» мы сегодня уже проходили – это размах. Однако этой характеристики недостаточно, т. к. учитывает только два числа в ряду – наибольшее и наименьшее.

О том, насколько разбросаны числа в ряду данных, можно судить по их отклонениям от среднего арифметического.

Мы уже подсчитали среднее арифметическое выше (2,70С), теперь подсчитаем эти отклонения от значения 2,7, т. е. 2,7 – (-4)=6,7; 2,7 – (-1,1)=3,8; 2,7 – (-0,9)=3,6 и т.д.:

Такая форма записи будет неудобна с точки зрения анализа, т. к. получится множество значений, поэтому опираясь на прошлый опыт нахождения среднего арифметического значения, найдем среднее отклонение…хотелось бы, но сумма всех этих отклонений в итоге всегда даст ноль, поэтому возводим все эти отклонения в квадрат, складываем и делим на количество измерений, то бишь на 31, и находим среднее квадратов этих отклонений:

VI и VII (на применение понятий в разных ситуациях; на систематизацию понятий.) пункты объединяю, т. к. ученики либо уже изучили с учителем информатики пользоваться Excel, либо учитель математики будет объяснять тему «Статистика», попутно их обучая пользоваться некоторыми функциями Excel для обработки информации, что еще выгоднее, т. к. на обхват такой темы уйдет меньше времени, чем вычислять параметры и рисовать графики вручную.

Вы будете приятно удивлены, что чтобы оформить то, на что у нас ушел весь урок, а именно: таблицы, расчет и построение графиков; можно в несколько кликов оформить в программе Microsoft office Excel.

  1. После того как вы заполнили графу «время» с результатами измерений температур, в программе можно легко подсчитать температуру среднесуточную: откройте документ Excel → выделите все три столбца с данными, копируйте и вставьте в ячейку A1→затем кликните на ячейку D1 →нажмите правую кнопку мыши и выберите графу «Формат ячеек», «Числовой», «Число десятичных знаков» проставьте «1» и «ОК» → выше есть строка со значком fx, нажмите на значок и у вас появятся различные функции, выберите «СРЗНАЧ» → после того как появилось окно, удерживая левую кнопку мыши, выделите ячейки с А1 по С1 и нажмите «ОК» → появилось искомое значение → теперь нажмите на ячейку D1 и снизу появиться маленький квадратик, зажмите его и оттяните до последней строки со значениями, так мы применили одну и туже функцию ко всем значениям и получим среднесуточные температуры. Те же самые действия подходят для нахождения среднего арифметического значения для выборки, состоящей из значений среднесуточных температур за март.

  2. Чтобы разместить среднесуточные температуры в порядке возрастания, выделяем все значения → графа «Данные» → «Сортировка» → «по возрастанию» → «автоматически расширить выделенный диапазон».

  3. Чтобы начертить график распределения выборки, для начала нужно скопировать в Excel все значения в одну строку вариант, а в другую строку значения кратности → графа «Вставка» → «Точечная диаграмма» → «Точечная с прямыми отрезками и маркерами» → Кликнув 2 разу по «Название диаграммы» напечатать «график распределения выборки» → «Элементы диаграммы» → «Названия осей» → ось у обзываем «кратностью», а ось х «варианты». Получили искомый график. Те же действия проделать с построением полигона частот.

  4. Чтобы построить гистограмму с кратностью нужно: в документе Excel в первом столбце перевести формат ячеек в «Текстовый» и записать интервалы → во второй столбец записать кратности → «Вставка» → «Гистограмма». Также поступить с гистограммой частот.

Система задач Холодной М. А.

Объединяю пункты I и II (на формирования способности к словесно-образному переводу разной степени общности; на выделение признаков усвояемого понятия), используя пункты II – V Саранцева.

Объединяю пункты IIIV (на включение изучаемого понятия в систему связей с другими понятиями; на развитие мыслительных операций, лежащих в основе образования понятия; на подключение предметного опыта учащихся), т. к. ученики либо уже изучили с учителем информатики пользоваться Excel, либо учитель математики будет объяснять тему «Статистика», попутно их обучая пользоваться некоторыми функциями Excel для обработки информации, что еще выгоднее, т. к. на обхват такой темы уйдет меньше времени, чем вычислять параметры и рисовать графики вручную.