vk.com/club152685050

ТЕМА 1. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ

§1.Теоретические сведения

1.1. Векторы

Вектором размерности n называется столбец из n чисел (часто этот столбец записывают в виде строки по типографским соображениям). В данном тексте обсуждаются вектора размерности n 3 . Если i, j, k - орты координатных осей прямоугольной декартовой системы координат OXYZ, то любой вектор a единственным образом раскладывается по координатным ортам:

a xi yj zk ,

где x, y, z - вещественные числа, называемые координатами вектора a. Тот факт, что числа x, y, z - координаты вектора а, записывается так: a x, y, z (стобец, записанный как строка) .

В геометрической интерпретации вектору можно сопоставить направленный отрезок прямой, один из концов которого объявлен началом, а другой – концом вектора. Связь с вышеприведенным определением устанавливается следующим образом. Если известны

Операции над векторами: при сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании - вычитаются, при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Вектору можно приписать длину, которая вычисляется для вектора a x, y, z по формуле:

a x2 y2 z2 .

Векторы a и b называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых, либо на одной прямой и сонаправлены. Векторы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

2

vk.com/club152685050

Векторы a и b называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.

Если a x1, y1, z1 , b x2 , y2 , z2 то условие коллинеарности выглядит так:

x1 / x2 y1 / y2 z1 / z2 .

Векторы a, b и с называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Условие компланарности векторов a x1, y1, z1 , b x2 , y2 , z2 , с x3 , y3, z3 заключается в равенстве нулю определителя,

построенного по их координатам:

Проекция вектора а на ось u выражается через его модуль и угол между вектором и осью формулой:

pu a a cos .

Скалярным произведением двух векторов а и b, a x1, y1, z1 , b x2 , y2 , z2 , называется число

(a, b) x1 x2 y1 y2 z1 z2

(иногда его обозначают, опуская скобки, как ab ). Угол между векторами а и b определяется формулой:

Таким образом, скалярное произведение векторов a, b равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

(a, b) a b cos .

Есл вектора ненулевые и их скалярное произведение равно 0, они называются перпендикулярными (ортогональными).

Если векторы а и b заданы своими координатами a x1, y1, z1 , b x2 , y2 , z2 , то векторное произведение вектора а на вектор b опреде-

ляется формулой:

3

vk.com/club152685050

Векторное произведение обозначается символом c a, b . Из определения следует, что длина вектора с равна: с a b sin , то есть

произведению длины перемножаемых векторов на синус угла между ними. Таким образом, длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и b. Этот вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора а и b, и направлен в соответствии с правилом “правого винта” при вращении вектора а к вектору b.

Площадь треугольника, построенного на двух заданных векторах а, b исходящих из одной точки, выражается по формуле:

S 12 a,b .

Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы а и b коллинеарны. Векторное произведение обладает следующими свойствами: для любых векторов а, b1 и b2 и любых чисел с1, с2

a, c1b1 c2b2 c1 a,b1 ] c2 [a,b2 ,

a, b1 [b1 , a].

Смешанным произведением трех векторов а, b и c называется число, равное векторному произведению [a, b], умноженному скалярно на вектор с, то есть ([a, b],c). Имеет место тождество ([a, b],c) = (а,[b, с]), поэтому для обозначения смешанного произведения употребляется более простой символ: (a,b,c) или abc.

Геометрическое истолкование: абсолютная величина смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на векто-

Объем пирамиды, образующими которой являются вектора а, b и c, равен (a, b, c) / 6 .

Необходимым и достаточным условием компланарности векторов а, b и c является равенство нулю их смешанного произведения.

4

vk.com/club152685050

Двойное векторное произведение получается, если вектор а умножить векторно на вектор b, после чего полученный вектор [a, b] умножить снова векторно на вектор с. Имеют место тождества:

1.2. Прямая на плоскости

Уравнением прямой на плоскости называется такое уравнение первой степени с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки этой прямой.

Уравнение вида называется общим уравнением прямой.

Уравнение прямой, которое разрешено относительно переменной y, то есть уравнение вида y kx b , называется уравнением с угловым коэффициентом. Параметр k называется угловым коэффициентом и

равен тангенсу угла наклона прямой к оси OX, k = tg . Параметр b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси OY, считая от начала координат.

ках, здесь а и b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат,

Углом между двумя прямыми y k1x b1 и y k2 x b2 называется угол, на который надо повернуть прямую (с угловым коэффициентом k1) до совпадения ее со второй прямой (с угловым коэффициентом k2) против часовой стрелки. Этот угол вычисляется по формуле:

A1 / A2 B1 / B2 ; условие перпендикулярности A1 A2 B1 B2 0.

Если прямая имеет угловой коэффициент k и проходит через данную точку (x0, y0), то ее уравнение имеет вид: y y0 k x x0 .

Если прямая проходит через две данные точки (x1, y1) и (x2, y2), то уравнение

5