Вопросы - Шабаев

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

лектор Шабаев В.М. (3-ий и 4-ый семестры 80 часов) 1. Пространство и время в классической механике (1 час). Основные свойства пространства и времени. Системы отсчета. Первый закон Ньютона. Принцип относительности Галилея. Преобразование Галилея. 2. Кинематика материальной точки (1 час). Траектория. Скорость, ускорение и их проекции на оси естественного трехгранника. 3. Динамика материальной точки (4 часа). Второй закон Ньютона. Импульс. Понятие силы. Масса как мера инерции. Теоремы сохранения. Сохранение импульса. Момент количества движения. Секторная скорость.Прямая и обратная задача механики. Интегрирование уравнений движения. Первые и вторые интегралы движения. Условия независимости интегралов движения. Работа силы. Кинетическая энергия. Консервативные силы и потенциальная энергия. Закон сохранения энергии. Консервативность центральной силы. 4. Движение материальной точки в центральном поле (8 часов). Интегралы движения для случая центрального поля. Плоскость орбиты.Полярные координаты. Интеграл энергии. Уравнение траектории. Возможные траектории материальной точки в центральном поле. Финитное и инфинитное движение. Падение на центр. Условие замкнутости траектории. Задача Кеплера. Сведение задачи двух тел к движению материальной точки в центральном поле. Закон всемирного тяготения Ньютона. Общее исследование возможных траекторий в случае ньютоновского потенциала. Уравнение траекторий в канонической форме. Эксцентриситет. Типы орбит. Законы Кеплера. Рассеяние частиц неподвижным силовым центром. Угол рассеяния. Дифференциальное сечение рассеяния. Прицельное расстояние. Рассеяние заряженных частиц электрическим полем неподвижного заряда. Формула Резерфорда. Упругие столкновения частиц. Углы рассеяния в лабораторной системе и их выражение через углы рассеяния в системе центра инерции. 5. Динамика системы материальных точек (8 часов). Третий закон Ньютона. Силы внешние и внутренние. Движение центра инерции. Импульс и момент количества движения системы. Законы их сохранения. Энергия системы материальных точек и ее сохранение. Теорема вириала. Движение при наложенных связях. Классификация связей. Обобщенные координаты. Принцип виртуальных работ. Идеальные связи. Принцип Даламбера. Уравнения Лагранжа 2-го рода. Функция Лагранжа. Обобщенный импульс. Циклические координаты. Формулировка законов сохранения с помощью функции Лагранжа. Связь законов сохранения импульса, момента количества движения и энергии с однородностью, изотропностью пространства и однородностью времени. Силы трения, пропорциональные скорости, их учет в лагранжевой формулировке механики. Диссипативная функция Рэлея. 6. Малые колебания системы материальных точек (8 часов). Понятие малых колебаний. Устойчивое равновесие. Кинетическая и потенциальная энергия системы материальных точек, совершающих малые колебания. Уравнения движения. Комплексные амплитуды. Собственные частоты, их вещественность. Общий вид решения. Матрица комплексных амплитуд и ее свойства. Нормальные координаты. Случай кратных корней характеристического уравнения. Вынужденные колебания. Явление резонанса. Малые колебания при наличии сил трения. Комплексная частота, коэффициент затухания. Периодическое и апериодическое затухание колебаний. Вынужденные колебания при наличии затухания. 7. Кинематика твердого тела (4 часа ). Понятие абсолютно твердого тела. Обобщенные координаты для твердого тела: направляющие косинусы, углы Эйлера. Выражение матрицы поворота через углы Эйлера. Кинематическая теорема Эйлера. Теорема Шаля. Угловая скорость, её свойства. Понятие псевдовектора. Движение в неинерциальной системе отсчёта. Ускорение во вращающейся системе. Силы инерции: ценробежная сила, сила Кориолиса. 8. Динамика твердого тела (8 часов) Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Тензор инерции. Момент инерции. Теорема Штейнера. Момент количества движения твердого тела. Главные оси инерции и главные моменты инерции. Симметрический волчек, шаровой волчек, ротатор. Динамические уравнения Эйлера. Решение уравнений Эйлера для свободного симметрического волчка. Явление прецессии. Элипсоид инерции. Геометрическая интерпретация вращения Пуансо. Стационарность и устойчивость вращения. Тяжелый симметрический волчок с закрепленной точкой: решение уравнений движения по методу Лагранжа. Выражение для кинетической энергии через углы Эйлера. Интегралы движения и их физический смысл. Интеграл энергии. Исследование движения тяжелого волчка: траектории Апекса. Нерегулярная прецессия, нутация. Естественные начальные условия. Быстрый волчок. Вычисление амплитуды и частоты нутации, угловой скорости нутации. Спящий волчок. 9. Принцип наименьшего действия Гамильтона-Остроградского (2часа) Конфигурационное пространство. Действие. Виртуальные траектории. Основы вариационного исчисления. Понятие функционала, вариации функции, вариации функционала, экстремали. Уравнения Эйлера для отыскания экстремалей. Вывод уравнений Лагранжа 2-го рода из принципа Гамильтона-Остроградского. Обобщение уравнений Лагранжа на случай негололомных связей, линейно зависящих от скорости. Неопределенные множители Лагранжа. Уравнения Лагранжа 1-го рода. 10.Уравнения Гамильтона (2 часа). Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гасмильтона. Переход к методу Гамильтона как преобразование Лежандра. Связь функции Гамильтона с полной энергией системы. Циклические координаты в методе Гамильтона. Метод Рауса.

11.Принцип наименьшего действия Мопертюи (2 часа) Укороченное действие. Полная и изохорная вариации. Принцип Мопертюи для материальной точки, на которую не действуют внешние силы. Принцип Мопертюи в форме Якоби-Герца. Фундаментальный метрический тензор. Геодезические линии. 12.Канонические преобразования (4 часа) Определение канонических преобразований. Производящие функции различных типов, связь между ними. Примеры канонических преобразований: тождественное преобразование, точечные преобразования, ортогональные преобразования. Использование канонических преобразований для решений задач механики и случае, когда все координаты являются циклическими. Пример: гармонический осциллятор. Инварианты канонических преобразований. Скобки Пуассона и скобки Лагранжа. Фазовое пространство. Доказательство инвариантности скобок. Фундаментальные скобки. Свойство скобок Пуассона. Тождество Якоби. Скобки Пуассона и интегралы движения. Бесконечно малые канонические преобразования. Движение системы как бесконечно малое каноническое преобразование. Бесконечно малые канонические преобразования и законы сохранения. Интегральные инварианты Пуанкаре. Линейный инвариант. Теорема Лиувилля об инвариантности фазового объёма.

13.Метод Гамильтона-Якоби (4 часа) Уравнение Гамильтона-Якоби. Главная функция Гамильтона. Характеристическая функция Гамильтона. Решение уравнения Гамильтона-Якоби для гармонического осциллятора. Разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Пример: движение в поле центральной силы. Периодические движения типа колебания и вращения. Фазовые траектории. Цикл периодического движения. Примеры: гармонический осциллятор, плоский маятник. Многопериодические движения при наличии вырождения. Переход к независимым частотам. Задача Кеплера в переменных действие-угол. Правила квантования Бора -Зоммерфельда. Формула Бальмера для уровней энергии атома водорода. 14.Теория упругости (6 часов) Понятие деформируемого твердого тела. Вектор и тензор деформации. Малые деформации. Тензор напряжений, его свойства. Условия равновесия деформированного твёрдого тела. Тензор напряжений в случае деформации равномерного всестороннего сжатия. Энергия деформации. Термодинамические соотношения для деформированного твёрдого тела. Связь деформаций с напряжениями. Тензор модулей упругости. Модули сдвига и сжатия. Закон Гука. Однородные деформации. Деформация стержня при растяжении. Модуль Юнга. Дефомации с изменением температуры. Уравнения движения для деформированного твердого тела. Упругие волны. Продольные колебания деформированного стержня. 15.Методы Лагранжа и Гамильтона для непрерывных систем (2 часа) Предельный переход от системы материальных точек, соединенных пружинами, к упругому стержню. Удельный Лагранжиан. Принцип наименьшего действия Гамильтона-Остроградского для сплошной среды. Функциональные производные. Уравнения Лагранжа для колебаний сплошной среды и их запись через функциональные производные. Частный случай: волновое уравнение для колебаний стержня. Уравнения Гамильтона для непрерывных систем. Удельный обобщенный импульс. Удельный гамильтониан.

16.Гидродинамика (12 часов). Локальный и субстациональный метод описания движеня жидкости. Уравнение неразрывности. Несжимаемая жидкость. Гидродинамические уравнения Эйлера для идеальной жидкости. Субстанциональная производная. Гидростатика. Зависимость давления в жидкости от глубины. Стационарное течение жидкости. Линии тока. Интеграл Бернулли. Баротропная жидкость. Поток энергии в несжимаемой жидкости. Вектор Умова. Поток импульса. Тензор плотности потока импульса. Вихревое движение жидкости. Циркуляция скорости. Теорема Томсона. Вихревые линии. Постоянство интенсивности  вихревой трубки. Потенциальное течение жидкости. Интеграл Коши. Формула Торичелли для скорости истечения жидкости из сосуда. Плоское потенциальное течение. Функция тока. Потенциальное обтекание твёрдых тел. Парадокс Даламбера. Ламинарный след. Подъёмная сила. Формула Жуковского. Гравитационные волны малой амплитуды. Профиль волны. Групповая скорость. Дисперсия. Распределение скоростей и траектории частиц при волновом движении. Волны при конечной глубине жидкости. Длинные волны. Волны конечной амплитуды. Солитоны. Вязкая жидкость. Уравнения НавьеСтокса. Кинематическая вязкость. Диссипация энергии в несжимаемой вязкой жидкости Течение вязкой жидкости по трубе. Формула Пуазейля. Закон подобия. Число Рейнольдса.

ЛИТЕРАТУРА: Основная

1) Голдстейн Г.Классическая механика. Физматгиз, 1975 2) Ландау Л.Д.,Лифшиц Е.М. Механика. М., Физматгиз, 1970. 3) Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.,1954