Список вопросов математический анализ
.pdfvk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Предварительный список вопросов к коллоквиуму по математическому анализу (1 семестр).
1.Понятие множества и функции. Элементарные функции.
2.Система действительных чисел (аксиоматика, модели).
3.Нижняя и верхняя грани числовых множеств.
4.Предел последовательности.
5.Теорема о единственности предела последовательности.
6.Теорема об ограниченности последовательности, имеющей конечный предел.
7.Бесконечно малые последовательности их свойства.
8.Теорема об арифметических действиях с пределами последовательностей.
9.Теорема о предельном переходе в неравенстве.
10.Теорема о сжатой последовательности.
11.Бесконечно большие последовательности.
12.Теорема об арифметических действиях с бесконечно большими последовательностями.
13.Теорема о пределе монотонной последовательности.
1 n
14.Число «е», как предел переменной xn 1 при n (n N).n
15.Подпоследовательности. Простые свойства подпоследовательностей.
16.Принцип выбора Больцано-Вейерштрасса.
17.Лемма о стягивающихся отрезках.
18.Определение верхнего и нижнего пределов последовательности.
19.Критерий Коши сходимости последовательности.
20.Предельная точка множества. Два определения предела функции: по Коши (на языке последовательностей), по Гейне (на языке окрестностей). Односторонние пределы функций.
21.Доказательство равносильности двух определений предела функции.
22.Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел.
23.Теорема о стабилизации знака функции, имеющей предел.
24.Теорема об арифметических действиях над функциями, имеющими предел.
25.Теорема о пределе композиции.
26.Теоремы о предельном переходе в неравенстве для функций.
27.Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними, теорема об арифметических действиях с пределами функций.
28.Теорема о сжатой функции.
29.Теорема о пределе монотонной функции.
30.Критерий Коши существования предела функций.
31. Предел функции |
sin x |
при x 0. |
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
32. |
Предел функции 1 |
1 x |
|
при x . |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
33. |
Доказать, что |
lim |
ln 1 |
|
1 . |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
34. |
Доказать, что |
lim |
|
b |
1 |
ln b . |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
1 . |
||||
35. |
Доказать, что |
lim |
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
36.Сравнение функций, о-, О-символы. Теорема о сравнении произведения и разности бесконечно малых функций.
37.Сравнение функций, о-, О-символы.. Теорема о замене функций эквивалентными при отыскании предела отношения.
38.Определение непрерывности функции в точке, на множестве. Односторонняя непрерывность.
39.Точки разрыва функции и их классификация.
40.Теорема о стабилизации знака непрерывной функции. Теорема об арифметических действиях над непрерывными функциями.
41.Свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности композиции.
42.Непрерывность степенных, тригонометрических, гиперболических функций.
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
43. Непрерывность показательной и логарифмической функций.
44. Непрерывность обратных тригонометрических функций.
45. Непрерывность общей степенной и степенно-показательных функции. 46. Теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной функции.
47. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении непрерывной функции. 48. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.
49. Первая теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях.
50. Вторая теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях.
51. Понятие равномерной непрерывности функции. Теорема Кантора.