Методичка элетротехника 2013

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

одинакова: она максимальна по оси полюсов, а к их краям уменьшается по закону косинуса

В = Bmcos

(угол отсчитывают от осевой ли-

нии полюсов ротора). Магнитный
поток, а, следовательно, и потокос-
цепление с любым витком, изменя-
ется во времени			по	закону
Ф Фm cos t . Индуцируемая в вит-
ке ЭДС:
е	dФ	Ф sin t E		sin t
	dt	m	m		Рис. П7.4. Принципиальная схема
где Em Фm . Таким образом, ЭДС					простейшего генератора
					синусоидальной ЭДС с вращающимися

генератора также синусоидальна.	полюсами

3. Действующие и средние значения синусоидальных ЭДС, напряжения и тока

Как постоянный, так и синусоидальный токи используются для совершения какой-либо работы, в процессе которой электроэнергия преобразуется в другие виды энергии (тепловую, механическую и т. д.). Для количественной оценки синусоидального тока (ЭДС и напряжения), который в течение времени непрерывно периодически изменяется, используют значение постоянного тока, эквивалентное значению синусоидального тока по совершаемой работе. Такое значение будет действующим для синусоидального тока.

Исходя из этого условия действующим значением синусоидального тока называют такое значение постоянного тока, при котором в одном и том же резисторе с сопротивлением R за время одного периода Т выделяется столько же теплоты, сколько и при прохождении синусоидального тока.

При синусоидальном токе i = Im sin t количество теплоты Q , выделяемое в резисторе R за время Т,

133

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

T

Q~ i2 Rdt .

0

а при постоянном токе

Q = RI2T.

Согласно определению, Q = Q , тогда

		1	T
	I		i2 Rdt .	(П7.5)
		T
			0

Таким образом, действующее значение синусоидального тока является его среднеквадратичным значением за время, равное одному периоду.

Чтобы найти соотношение между максимальным и действующим значениями синусоидального тока, надо вычислить интеграл в (П7.5):

T			T								T	dt					T	cos 2 t
	i2dt I	2		sin	2	tdt I				2	2			I	2			2	dt .
		m							m						m
0			0								0						0
T
Так как cos 2 tdt 0 , получаем
0
				T			2		T					2
				i2dt			Im		dt				Im Т			.
				0			2		0					2

Подставляя это выражение в формулу (П7.5), получим

I	I	m		0,707I		.	(П7.6)
					m
2

Аналогично, действующие значения ЭДС и напряжений равны соответственно

Е

Е

m

0,707Е

,

(П7.7)

2

m

U

U

m

0,707U

.

(П7.8)

m

2

Действующие значения синусоидальных величин в 2 раз меньше их амплитудных значений. Для периодических величин, изменяющихся по другому закону, это соотношение будет другим. Действующие значения синусоидального тока, ЭДС и напряжения не зависят ни от времени, ни от начальной фазы, поэтому их обозначают прописной буквой без индексов, как постоянные ток, ЭДС и напряжение.

134

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

В большинстве электроизмерительных приборов, измеряющих ток и напряжение, используется принцип теплового, или электродинамического, эффекта. Поэтому они всегда показывают действующее значение, зная которое можно вычислить амплитуду по формулам (П7.6-П7.8). Так, например, если вольтметр показывает 220 В синусоидального напряжения, то

амплитуда этого напряжения равна 2 ∙220 = 311 В.

Под средним значением синусоидальной величины понимают ее среднеарифметическое значение. Если определять среднее значение синусоидальных величин за период, то оно будет равно нулю, так как положительная и отрицательная полуволны синусоидальных кривых совпадают по форме. Поэтому среднее значение синусоидального тока, ЭДС и напряжения определяют за полпериода.

За среднее значение синусоидального тока можно принять такое значение постоянного тока, при котором за полпериода переносится такой же электрический заряд, что и при синусоидальном токе.

Согласно этому можно написать

			T
	Iср	Т	2 idt ,
		2
			0

где Iср — среднее значение тока.

Для синусоидального тока i = Im sin t с учетом (П7.4) получим

T	T
2 idt Im 2 sin tdt		ImT	.
0	0

Подставляя это выражение в (П7.9), имеем

I			2	I		0,637I		.	(П7.9)
	ср				m		m

Аналогично, для ЭДС и напряжения

Eср 2 Em 0,637Em ; Uср 2 Um 0,637Um .

Как и следовало ожидать, среднее значение меньше действующего.

Отношение действующего значения к среднему называется коэффициентом формы периодической кривой. Для синусоидальной кривой коэффи-

циент формы k			I	1,11.
	ф
			Iср

135

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Для периодической кривой, имеющей прямоугольную форму (см. Рис. П7.1, а), I = Iср = Im и kф = 1. Чем больше коэффициент формы кривой отличается от единицы, тем больше кривая отличается от прямоугольной формы, т. е. имеет более "пиковый" характер.

4.Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

впрямоугольных координатах

Вобщем случае аргумент синусоидальной функции, называемый фазовым углом или просто фазой, равный t + или t , может отличаться от нуля при t = 0. Тогда мгновенные значения можно записать так:

e = Em sin( t e); u = Um sin( t u); i = Im sin( t i). (П7.10)

Значение фазового угла при t = 0 называют начальной фазой ( e, u,

i).

Графическое изображение синусоидальной ЭДС в прямоугольных координатах было показано ранее (см. Рис. П7.1, д). Если координатой по оси абсцисс является время t или угол t, то изображение синусоидальных величин в таких координатах часто называют временными диаграммами. Аналогично этому изображают напряжение и ток, описываемые уравнениями (П7.10), когда начальные фазы равны нулю (Рис. П7.5). В этом случае синусоидальные величины одновременно принимают нулевые и максимальные значения. О таких величинах говорят, что они совпадают по фазе. Синусоидальные величины будут также совпадать по фазе, если их начальные фазы равны.

Если две синусоидальные величины одновременно проходят через нулевые значения и одновременно принимают максимальные значения противоположных знаков, то такие величины находятся в противофазе

или сдвинуты по фазе на угол (Рис. П7.6).

На практике чаще всего имеют место случаи, когда ЭДС, напряжения и токи не совпадают по фазе, т. е. через нулевые значения проходят не одновременно (Рис. П7.7). Если такие ЭДС описываются уравнениями

e1 = E1m sin( t e1); e2 = E2m sin( t e2),

то при e2 e1 ЭДС е2. опережает по фазе ЭДС e1 или ЭДС е1 отстает по фазе от ЭДС е2. Разность фазовых углов

e = e2 e1 (П7.11)

называют разностью или сдвигом фаз.

136

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Рис. П7.5. Синусоидальные	Рис. П7.6. Синусоидальные ЭДС
напряжение и ток,	и напряжение, находящиеся
совпадающие по фазе	в противофазе

С помощью графического изображения в прямоугольных координатах можно находить опережающую и отстающую синусоидальные величины. При этом пользуются таким правилом. Отстает по фазе та из двух синусоидальных величин, которая при переходе от отрицательных значений к положительным позже (правее) пересекает ось абсцисс. На Рис. П7.7 ЭДС е1 отстает по фазе от ЭДС е2. Фазовый угол, определяемый отрезком оси абсцисс, заключенным между точками пересечения ее синусоидальными кривыми является углом сдвига по фазе (угол e).

Таким образом, можно сделать вывод: если синусоидальная величина при переходе oт отрицательных значений к положительным пересекает ось абсцисс левее оси ординат, то она имеет положительную начальную фазу, а если правее то отрицательную. Изображенные на рис. П7.8 ЭДС описываются уравнениями

e1 = E1m sin( t + e1); e2 = E2m sin( t e2).

Особое значение в электротехнике и электроэнергетике имеет сдвиг по фазе между напряжением и током. В соответствии с формулой

(П7.11)

= u i,

где u и i — начальные фазы напряжения и тока.

137

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Рис. П7.7. Синусоидальные ЭДС,

Рис. П7.8. Синусоидальные ЭДС

не совпадающие по фазе

с положительной и отрицательной начальными фазами

Рис. П7.9. Синусоидальные напряжение	Рис. П7.10. Графическое сложение
и ток, сдвинутые по фазе на	синусоидальных токов

Если начальную фазу тока выразить через начальную фазу напряжения i = u , то напряжение и ток будут описываться уравнениями

u = Um sin( t + u); i = Im sin( t + u ).

Если u = 0, то

u = Um sin t; i = Im sin( t ).

138

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Эти уравнения показывают, что если угол положительный, то ток отстает по фазе от напряжения на этот угол (Рис. П7.9), и наоборот.

При сложении синусоидальных величин, изображенных в прямоугольных координатах, надо сложить ординаты для ряда значений угла t и по точкам построить синусоиду суммарной величины. Чем больше точек берут для построения, тем точнее сложение. На Рис. П7.10 показано сложение двух токов i1 и i2. Суммарный ток i = Im sin( t + i), причем

Im I1m + I2m, а i i2 i1.

5. Векторное изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

Графическое построение синусоидальных величин в прямоугольных координатах является довольно трудоемкой операцией. Графическое сложение двух (или более) таких величин требует больших затрат времени, а хорошая точность при определении амплитуды суммарной величины и ее начальной фазы может быть достигнута лишь путем сложения очень большого числа мгновенных значений слагаемых. Значительно проще складывать две синусоидальные величины, изменяющиеся с одинаковой частотой, представив их вращающимися векторами.

В плоскости с осями координат ОХ и OY (Рис. П7.11, а) рассмотрим вращающийся с постоянной скоростью, равной угловой частоте , вектор ОА, длина которого равна амплитуде синусоидальной ЭДС e = Em sin( t + e), т. е. OA Em .

Рис. П7.11. Векторное изображение синусоидальных ЭДС

а вращающийся вектор; б кривая изменения его проекции на ось ОY

139

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

За положительное направление вращения вектора ОА принимаем направление, противоположное вращению часовой стрелки, а угол поворота вектора отсчитываем от оси ОХ. В начальном положении (при t = 0) вектор ОА повернут по отношению к оси ОХ на угол e.

Построим проекции вектора ОА на ось OY (Рис. П7.11, б), которые изменяются по мере поворота вектора на угол t по отношению к начальному положению. В начальном положении проекция OA0 = OA sin e = Еmsin e = e0, т. е. равна мгновенному значению ЭДС при

t = 0. Через некоторое время вектор ОА повернется на угол	t1	и будет со-
ставлять с осью ОХ угол t1 + e. Проекция его	на	ось OY:

ОА1 = OA sin( t + e) = Em sin( t1 + e) = e1, т. е. равна мгновенному значению ЭДС при t = t1. При t = t2 вектор ОА совпадает с осью OY и его проекция ОА = Ет = е2. При дальнейшем вращении вектора ОА его проекции на ось OY начнут уменьшаться, затем станут отрицательными и т. д.

Таким образом, проекции на ось OY вектора, вращающегося с постоянной скоростью и имеющего длину, равную амплитуде ЭДС, изменяются по синусоидальному закону, т. е. представляют собой мгновенные значения синусоидальной ЭДС. Следовательно, справедливо и обратное:

любую синусоидально изменяющуюся во времени величину можно изображать вращающимся вектором, длина которого равна амплитуде, а угловая скорость вращения угловой частоте этой синусоидальной величины. Начальное положение вращающегося вектора определяется углом, равным начальной фазе синусоидальной величины и откладываемым от положительного направления оси ОХ в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.

Векторами можно изображать синусоидальные ЭДС, напряжения, потенциалы и токи. В одних и тех же координатах ОХ и OY можно представить векторы всех ЭДС, действующих в данной электрической цепи, напряжений на всех участках этой цепи и токов во всех ее ветвях. Так как все ЭДС, напряжения и токи имеют одинаковую частоту, то изображающие их векторы вращаются с одинаковой угловой скоростью. Их взаимное расположение на плоскости остается постоянным. Поэтому векторы на практике не вращают, а строят их, соблюдая углы между векторами, которые представляют собой углы сдвига фаз.

140

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Рис. П7.12. Геометрическое сложение вращающихся векторов: а максимальных значений ЭДС; б действующих значений ЭДС

при произвольном расположении векторов, в действующих значений ЭДС при расположении начального вектора E1 по горизонтальной линии

Отказавшись от вращения векторов, можно строить векторы не только максимальных, но и действующих значений.

Найдем сумму двух ЭДС, имеющих разные амплитуды и начальные фазы: e1 = E1m sin ( t + e1); e2 = E2m sin ( t + e2), (Рис. П7.12, а).

Проекции слагаемых векторов на ось OY равны мгновенным значениям е1 и е2 слагаемых ЭДС. Мгновенное значение суммарной ЭДС е = е1 + е2, т. е. равно сумме проекций слагаемых векторов на ось OY. Как известно, сумма проекций векторов на какую-либо из осей равна проекции их геометрической суммы на эту же ось. Следовательно, надо сложить геометрически (по правилу параллелограмма) векторы слагаемых ЭДС E1m и Е2т и найти вектор суммарной ЭДС Em = E1m + E2m.

Длина этого вектора равна амплитуде искомой ЭДС, а угол e между ним и осью ОХ равен ее начальной фазе. Определив амплитуду и начальную фазу, находим суммарную ЭДС:

e = Em sin ( t + e).

Так как слагаемые ЭДС имеют одинаковую частоту , то такую же частоту будет иметь и суммарная ЭДС Геометрическое сложение векторов действующих значений E1 и E2 тех же ЭДС показано на Рис. П7.12, б.

141

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

В связи с отсутствием необходимости вращения векторов отпадает необходимость в изображении осей координат. Интересуясь только взаимным расположением векторов, один из них можно проводить в любом направлении. Обычно начальный вектор для удобства располагают горизонтально (Рис. П7.12, в) или вертикально. При построении остальных векторов соблюдают их правильное взаимное положение.

Если несколько векторов, ЭДС, напряже-

	Рис. П7.13. Векторная	ний и токов, построенных с учетом их правиль-
	диаграмма
		ного взаимного расположения на плоскости, яв-
	простейшей
		ляется изображением ЭДС, напряжений и то-
	электрической
		ков, действующих в какой-то электрической
	цепи	цепи, то такая совокупность векторов называ-
		ется векторной диаграммой.
	Для простейшей электрической цепи, состоящей из одного элемента,

на зажимах которого действует напряжение и = Uт sin ( t + u) и ток в ко-

тором i = Im sin ( t + i) = Im sin ( t + u ) отстает по фазе на угол от напряжения, векторная диаграмма имеет вид, представленный на

Рис. П7.13. Начальные фазы напряжения ( u) и тока ( i) на векторной диаграмме никак не изображаются, так как взаимное положение векторов полностью определяется разностью фаз = u i.

6. Комплексный метод расчета

Синусоидальные функции (ток, напряжение, ЭДС) очень просты, но их графическое изображение и операции с ними трудоемки и недостаточно точны. Эти операции можно существенно упростить, если синусоидальные функции времени изобразить комплексными числами.

Из курса математики известно, что любое комплексное число А

можно представить:
а) в алгебраической форме:
	A A	jA
б) в тригонометрической форме:	A A cos j sin (П7.12)
	A Ae j
а) в показательной форме:

г) вектором на комплексной плоскости (рис. П7.14),

142