Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по математическому анализу.doc
Скачиваний:
140
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
3.08 Mб
Скачать

Лекция №20-21 Ряды Фурье (продолжение)

  1. Тригонометрические ряды. Сходимость в среднеквадратичном.

Пусть одномерный тор,можно считать 2-периодической, если она продолжается на всю прямую равенством

одномерный тор

Пусть интегрируемая по Риману функция наТ.

Тригонометрическая система имеет вид

Теорема. Тригонометрическая система ортогональна на Т.

Доказательство проведём в три этапа.

2)

3) Найдём скалярное произведение

Доказано.

Тригонометрический ряд Фурье обычно записывают следующим образом:

где коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:

В случае чётной и нечётной функции запись ряда Фурье можно упростить.

Выпишем тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье для функции с периодом

Теорема. Тригонометрическая система является замкнутой в пространстве

Доказательство. Полиномы порядка n по тригонометрической системе обычно записывают следующим образом: Размерность подпространства тригонометрических полиномов порядкаn равна

Доказательство теоремы будет осуществлено в несколько этапов с помощью метода промежуточного приближения.

Пусть

1) Любую интегрируемую функцию можно в среднеквадратичном приблизить к кусочно-постоянной функции.

Т.к. выполнены равенства:

Итак,существует кусочно-постоянная функция.

Любую кусочно-постоянную функцию можно в среднеквадратичном приблизить непрерывной 2-периодической функцией.

2) Пусть

3) Любую непрерывную 2-периодическую функцию можно приблизить тригонометрическим полиномом равномерно.

Теорема Вейерштрасса.

Из связи между среднеквадратичной и равномерной нормы отсюда вытекает, что этот полином близок к непрерывной функции и в среднеквадратичном:

4) Подведём итоги: любую интегрируемую функцию можно приблизить в среднеквадратичном тригонометрическим полиномом:

Доказано.

Следствие 1. Тригонометрическая система является базисом в пространстве

в среднеквадратичном,

Следствие 2. справедливо равенство Парсеваля

Следствие 3. и для величины наилучшего среднеквадратичного приближения: справедливо равенство

Задача. Сформулировать следствия 1-3 для периодических функций с периодом l.

Пример 1. Написать ряд Фурье для функции

Т.к. разложение в тригонометрический ряд Фурье единственно и наша функция уже является тригонометрическим рядом, то данный ряд и есть разложение в ряд Фурье.

Пример 2. Написать ряд Фурье для функции

Лекция №22 Ряды Фурье (продолжение)

  1. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье

Т.к. частичные суммы тригонометрического ряда, тригонометрические полиномы являются функциями непрерывными, то в случае равномерной сходимости предельная функция будет также непрерывной. Поэтому при исследовании равномерной сходимости можно считать, что раскладываемая функция является непрерывной.

Для всякой ли непрерывной функции тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно?

Теорема Банаха-Штейнгауза.

  1. константа Лебега – ограниченная последовательность;

  2. существует плотное подмножество в такое, что для любой функции из этого плотного подмножества есть равномерная сходимость.

Доказательство. Проанализируем выполнение условий 1 и 2.

тригонометрический полином порядка m и запишем частичную сумму этого полинома порядка п:

т.е. есть равномерная сходимость на плотном множестве полиномов. Для проверки первого условия подробно запишем частичную сумму тригонометрического ряда Фурье.

ядро Дирихле, а сама запись частичной суммы называется интегральной (свёрткой функции f с ядром Дирихле). Для ядра Дирихле возможна другая запись:

Далее

Можно показать, что

Лемма.

Доказательство.

Отсюда

Доказано.

Следствие. Т.к. константы Лебега неограниченны, то равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье для любой непрерывной функции отсутствует.