Лекция №5 Ряды вида

1. Преобразование Абеля

Пусть дан ряд (1).

Введём преобразования Абеля

Доказательство.

Доказано.

С помощью преобразования Абеля доказываются следующие признаки сходимости ряда (1).

Признак Дирихле.

Если

1. невозрастающая и стремится к нулю ;

2. ограниченная,

то ряд (1) – сходится.

Доказательство. Воспользуемся критерием Коши и будем оценивать суммы:

(по преобразованию Абеля)

и по критерию Коши ряд (1) сходится.

Доказано.

Признак Абеля.

Если

1. монотонная и ограниченная;

2. сходится,

то ряд (1) – сходится.

Доказательство аналогично доказательству признака Дирихле.

Частным случаем признака Дирихле является признак Абеля.

Если монотонно убывает и стремится к нулю, тосходится (2).

ограниченные, значит ряд (2) сходится.

Рассмотрим ряд

Оценим суммы

Справедливы оценки

и по признаку Дирихле ряд сходится.

Задача. Исследовать на сходимость ряд

Указание. Рассмотреть

Лекция №6 Перестановки числовых рядов

Биекция называетсячисловой перестановкой N.

Если числовой ряд (1), то ряд виданазывается его перестановкой.

Пример. называется егоперестановкой.

Если ряд (1) сходится для любой перестановки и к той же сумме, то он называется безусловно сходящимся.

Теорема Римана. Если ряд (1) сходится условно, то и существуют перестановки, для которых представленный ряд расходится.

Введем некоторые обозначения:

Доказательство. Пусть ряд (1) – сходится условно,

В итоге построен ряд . Получили ряд, являющийся перестановкой исходного ряда.

Нужно показать, что эта перестановка сходится к числу S. Возможны четыре случая, пусть тогда

1. ;

2. 

3. 

4. 

Оценим разность в каждом из четырёх случаев.

1. 

2. 

3. 

4. 

Доказано.

Ряд (1) называется универсальным относительно перестановок, если

Теорема (об универсальных рядах). Ряд (1) – универсальный относительно перестановок 

1. 

2. 

Следствие: условно сходящийся ряд является универсальным относительно перестановок.

Задача. Проверить выполнение условий (1), (2) теоремы об универсальных рядах для условно сходящегося ряда.

противоречие.

Можно определить и другие понятия универсального числового ряда, например, универсальный относительно знака: ряд (1) – универсальный относительно знака, если

Задача. Пусть ряд сходится. Что можно сказать о сходимости рядов

Ряд не обязан сходиться, например

Ряд также не обязан сходиться.

Теорема (о безусловной сходимости). Ряд (1) – сходится безусловно тогда и только тогда, когда ряд (1) сходится абсолютно.

Доказательство. Необходимость.

(1) – сходится безусловно  (от противного)  (1) – сходится условно (по теореме Римана)  (1) – не сходится безусловно – противоречие  (1) – сходится абсолютно.

Достаточность.

перестановка

Доказано.

Замечание. Для абсолютно сходящегося ряда модуль суммы будет:

т.к. при

Лекция №6 Перестановки числовых рядов (продолжение)

1. Группировка числового ряда

Для числового ряда (1) группировка ряда – это ряд вида

Теорема. Любая группировка сходящегося ряда – сходится.

Доказательство. Последовательность частичных сумм группировки является подпоследовательностью частичных сумм исходного ряда и для сходящегося ряда имеет конечный предел. Любая группировка сходящегося ряда сходится к сумме ряда. Обратное утверждение не верно.

Доказано.

Пример. Ряд расходящийся, носходится. Илисходится.

2. Умножение рядов

Пусть даны два ряда (1),(2).

Образуем бесконечную таблицу

Элементы этой таблицы можно вытянуть в линию (занумеровать) бесконечно многими способами. Все они будут по отношению друг к другу перестановками. Этой бесконечной таблице соответствует бесконечно много переставленных числовых рядов. Если некоторые (-ая) перестановка (-и) сходится абсолютно, то все перестановки будут также сходится абсолютно к одной и той же сумме. В этом случае любую перестановку естественно назвать произведением рядов (1) и (2),а её сумму – суммой произведения исходных рядов.

Теорема. Если ряд (1) сходится абсолютно к А, а ряд (2) сходится абсолютно к В, то определено произведение рядов (1) и (2), равное АВ.

Доказательство. Пусть сумма (3) некоторая перестановка бесконечной таблицы, где и  - перестановки N – множества натуральных чисел.

Покажем, что (3) сходится абсолютно: Можно оценить сверху следующим образом:

сходится.

Остаётся выяснить, чему равна сумма произведений. Для этого достаточно взять произвольную перестановку и в этой перестановке – любую подпоследовательность частичных сумм. Возьмём следующую:

Доказано.

Формальным произведением, или произведение Коши рядов (1) и (2) называется сумма ряда (3) Отметим, что формальное произведение является группировкой некоторой перестановки бесконечной таблицы. Поэтому из предыдущей теоремы и теоремы о группировке сходящегося ряда вытекают следующие утверждения:

1. теорема Коши: если ряд (1) сходится абсолютно к А и ряд (2) сходится абсолютно к В, то ряд (3) сходится к ;

2. теорема Мертенса: если ряд (1) сходится абсолютно к А и ряд (2) сходится к В, то ряд (3) сходится к ;

3. теорема Абеля: если ряд (1) сходится к А и ряд (2) сходится к В, то ряд (3) сходится к .