Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по математическому анализу.doc
Скачиваний:
139
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
3.08 Mб
Скачать

Лекция №8 Умножение рядов (продолжение)

Пример 1. Пусть дан рядИсследовать сходимость формального произведения этого ряда самого на себя.

сходится условно.

Ряд из сn является расходящимся.

Пример 2. Дан ряд Исследовать сходимость формального произведения этого ряда самого на себя.

Получаем последовательность Докажем, что она имеет предел. Для чего установим, что эта последовательность не возрастает и ограничена снизу:

Итак, константа Эйлера,

Если последовательность имеет предел, то она представляется в виде некоторого числа с и нового слагаемого.

невозрастающая,

По признаку Лейбница формальное произведение сходится и по теореме Абеля:

Найдём сумму данного ряда:

Двойные ряды

  1. Определение двойного ряда

Пусть двойная последовательность.

Элементы этой последовательности можно записать в виде бесконечной таблицы:

.

Под двойным рядом будем понимать следующую формальную запись: (1).

Образуем двойную последовательность частичных сумм Определим понятие предела двойной последовательности:

если

Ряд (1) называется сходящимся к числу S, если В противном случае ряд расходится.

(1)Лемма (необходимое условие сходимости). Если ряд (1) – сходится, то

Доказательство.

Доказано.

Лекция №9 Двойные ряды (продолжение)

Задача. Если то будет ли последовательностьограниченной?

Не будет. Рассмотрим, например, таблицу: .

но неограниченная,

  1. Повторные ряды

(2) Двойной ряд сходится, если конечная следующая сумма

(3) Двойной ряд сходится, если конечная следующая сумма

Перестановки последовательности

Т.к. элементы последовательности образуют счётное множество, то их можно занумеровать с помощью натуральных чисел бесконечно многими способами. Каждому способу будет соответствовать свой числовой ряд. Все эти ряда по отношению друг к другу являются перестановками. Будем говорить, что двойной ряд сходится в смысле определения (4), если сходится некоторая его перестановка. Напомним, что счётное множество – это множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N.

(4) Разные перестановки сходятся к разным числам.

Будем говорить, что двойной ряд сходится абсолютно в смысле определений 1-4, если сходится ряд из модулей в смысле этих определений.

Основная теорема. Если двойной ряд сходится абсолютно в смысле хотя бы одного из четырёх определений, то он будет сходится и в смысле всех других определений и к той же сумме (в смысле определения (4) при любой перестановке).

Задача 1. Исследовать сходимость двойного ряда

Составим бесконечную таблицу

Будем нумеровать по диагонали

Возьмём частичную сумму

если то ряд сходится; в остальных случаях ряд расходится.

Так ряд сходится при

Задача 2. Исследовать сходимость ряда, для которого

Сходится в смысле определения (1) к единице. Двойной ряд в смысле определений (2) и (3) является расходящимся. Любая перестановка этого ряда также будет расходящейся, т.к. общий не будет стремиться к нулю и не будет ограниченным.

Задача 3. Исследовать сходимость ряда, для которого

.

Ряд в смысле определения (4) является расходящимся.

Рассмотрим ряд в смысле определений (2) и (3).

Оба повторных ряда сходятся к нулю.

В смысле определения (4) для некоторой перестановки ряд будет расходящимся.

Рассмотрим перестановку сходится к нулю.

Задача 4. Придумать такую таблицу, для которой оба повторных ряда сходятся, но к разным суммам.

Задача 5. Исследовать сходимость ряда