Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по математическому анализу.doc
Скачиваний:
140
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
3.08 Mб
Скачать

Бесконечные произведения

  1. Определение бесконечного произведения

Пусть положительная последовательность, т.е..

Формальная запись (1) называетсябесконечным произведением.

Будем говорить, что бесконечное произведение (1) – сходится, если гдепоследовательность частичных произведений. В противном случае произведение (1) – расходится.

Основная теорема. Бесконечное произведение (1) – сходится сходится (2).

Доказательство. (1) – сходится

(2) – сходится.

Доказано.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Получаем сходится условно.

Исходный ряд сходится условно.

Бесконечное произведение (1) назовём абсолютно сходящимся, если сходится ряд . В противном случае (1) сходится условно. В предыдущем примере представлено условно сходящееся бесконечное произведение.

Лекция №10 Бесконечные произведения (продолжение)

Для дальнейшего удобно обозначить и рассматривать(3),(4),(5).

Теорема. Произведение (3) – сходится абсолютно (4) сходится абсолютно.

Доказательство. (3) сходится абсолютно сходится и в частности. Сравним рядыипри условии:для. Из этих неравенств вытекает, что эти ряды сходятся абсолютно.

Доказано.

Следствие: если в произведении (3) все bn, начиная с некоторого номера, имеют один и тот же знак, то сходимость произведения (3) эквивалентна сходимости ряда (4).

Пример. расходится.

Анализ этой теоремы показывает, что удобно использовать разложение .

Задача. Обозначим: «+» - сходится, «-» - расходится, и заполним следующую таблицу:

(4)

(5)

(3)

1.

+

+

+

2.

+

-

-

3.

-

+

-

4.

-

-

?

Доказательство 1. ,- сходятся

. Доказано.

Пример. сходится, т.к.сходится, норасходится.

Доказательство 2. Опять и из признака сравнения рядрасходится. Общий член есть сумма двух последовательностей – сходящейся и расходящейся, значит, рядрасходится, иначе рядбыл бы сходящимся как разность двух сходящихся рядов. Доказано.

Доказательство 3. Опять

И как в предыдущем случае ряд сходится.

Доказано.

Доказательство 4. Два примера:

  1. “-”, “-” “-” ;

  2. “-”, “-” “+”.

Ряд Частичная сумма порядка совпадает с частичной суммой гармонического ряда, т.е. ряд расходится.

расходится. Оба ряда расходятся.

Вычислим частичное произведение

т.к. произведение расходится по следствию:обобщённый гармонический ряд с показателемp = - сходится.

сходится к тому же числу, а значит и всё произведение сходится.

Доказано.

Лекция №11 Функции, представляющиеся в виде бесконечных произведений

Многие элементарные функции раскладываются в бесконечные произведения, например, . С помощью бесконечного произведения можно определять и новые функции, называемыеспиральными, например - функция (гамма-функция): константа Эйлера,. Проверим, что для всех указанныхS бесконечное произведение действительно сходится и определяет некоторую функцию. Проверим сходимость следующего ряда:

.

сходится .

Свойства - функции.

  1. Формула Эйлера: .

  2. Основное функциональное тождество для - функции:

В частности, .

Рассмотрим поведение n! для больших n:

формула Стирлинга

Доказательство 1.

Сравнивая (*) и (**), получим формулу Эйлера.

Доказано.

Доказательство 2. Рассмотрим отношение . По формуле Эйлера получаем:

Доказано.