- •III осенний семестр Лекция №1 Числовые ряды
- •Лекция №2 Сходимость положительных рядов
- •Лекция №3 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Лекция №4 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Ряды с членами произвольного знака
- •Лекция №5 Ряды вида
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов (продолжение)
- •Лекция №8 Умножение рядов (продолжение)
- •Двойные ряды
- •Лекция №9 Двойные ряды (продолжение)
- •Бесконечные произведения
- •Лекция №10 Бесконечные произведения (продолжение)
- •Лекция №11 Функции, представляющиеся в виде бесконечных произведений
- •Функциональные последовательности и ряды
- •Лекция №12 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №13 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №14 Свойства предельной функции и сумма функционального ряда в случае равномерной сходимости
- •Лекция №15 Пространства и сходимость в них
- •Степенные ряды
- •Лекция №16 Степенные ряды (продолжение)
- •Лекция №17 Разложение функций в степенные ряды
- •Лекция №18 Ряды Фурье
- •Лекция №19 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №20-21 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №22 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №23 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №24 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №25 Ряды Фурье (продолжение).
- •Лекция №26 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье
- •Лекция №27 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье (продолжение)
- •Лекция №28 Собственные интегралы, зависящие от параметра
- •Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •Лекция №29 Несобственные интегралы, зависящие от параметра (продолжение)
- •Лекция №30 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Свойства гамма-функции
- •Лекция№31 Преобразование Фурье
- •Разложение в ряд Тейлора-Маклорена некоторых элементарных функций
Лекция №14 Свойства предельной функции и сумма функционального ряда в случае равномерной сходимости
Теорема 1. Если
Доказательство. Будем исходить из следующей оценки:
Итак,
Зафиксируем функция
равномерно непрерывна на [a, b]
равномерно непрерывна на [a, b].
Доказано.
Теорема 1. Если непрерывна, функциональный рядсходится кто
Доказательство. Если частичные суммы, тотакже непрерывна и равномерно сходится к
Утверждение теоремы 1 вытекает из теоремы 1.
Доказано.
Теорема 2. Если
Доказательство. Будем пользоваться следующим критерием интегрируемости функции по Риману (критерий Римана):
Пустьпроизвольное разбиение, тогда:
Итак,
Опять а из
Это и означает справедливость второй части теоремы 2.
Доказано.
Теорема 2. Если , и функциональный рядсходится кто
Доказательство. Если По теореме 2(по теореме 2) =
Доказано.
Теорема 3. Если
то также равномерно сходится к
.
Доказательство. Будем пользоваться следующими критерием:
произвольное, а Далее пользуясь критерием Коши, покажем равномерную сходимость последовательности
равномерно по Далее:
Доказано.
Пример 1. Исследовать сходимость функционального ряда
Пример 2. Исследовать сходимость функционального ряда
Пример 3. Исследовать сходимость функционального ряда
Теорема 3. Если
Доказательство. Если то
Доказано.
Лекция №15 Пространства и сходимость в них
Случай .
В этом случае - линейное пространство бесконечной размерности, в котором можно ввести норму для которой выполнены свойства:
Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством.
Норма позволяет определить сходимость [a, b]:
Последовательность функции называется фундаментальной, если Нормированное пространство, в котором всякая фундаментальная последовательность является сходящейся, называетсяполным, или банаховым пространством (по имени С. Банаха).
Отметим, что всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной, т.е. в полном пространстве сходимость эквивалентна фундаментальности, или в полном пространстве выполнен критерий Коши.
Покажем, что нормированное пространство является полным. Для этого рассмотрим сходимость в нём:
Итак, сходимость по норме пространства эквивалентна равномерной сходимости.
Известно, что для равномерной сходимости выполнен критерий Коши. Это и означает, что пространство - полное.
Пример. В пространстве введём норму. Полученное пространство будет нормированным, но не полным, например, в нём будет фундаментальная следующая система функций.
Можно указать фундаментальную последовательность , но не сходящуюся к непрерывной функции. Это нормированное пространство можно пополнить, и элементами этого пополнения будут функции, интегрируемые на [0, 1] по Лебегу.
Пространство
Это линейное пространство, в котором можно ввести норму
Охарактеризуем сходимость в этом пространстве:
т.е. сходимость по норме пространства эквивалентна равномерной сходимости самой последовательности и последовательности её производных порядкаk включительно.
Отметим, что пространство также является полным.
Пространство с нормойне будет полным и его пополнение – это так называемоепространство Соболева .