- •Интегрирование рациональных выражений
- •1.16). . Разложение знаменателя по корням
- •Теорема (необходимый признак существования экстремума).
- •Теорема (достаточные условия экстремума).
- •Теорема о существовании и единственности решения Задачи Коши (3.2),(3.4).
- •3.2). Решить Задачу Коши:
- •3.3). Найти общее решение уравнения
- •3.4). Решить уравнение
- •3.5). Решить уравнение
- •3.6). Решить уравнение
- •3.14). Решить уравнение .
- •3.15). Решить уравнение .
- •Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Учебный комплекс для студентов – экономистов 1-го курса
Второй семестр
1. Интегрирование
Неопределенный интеграл
Основной операцией дифференциального исчисления является дифференцирование - нахождение производной данной функции. Обратной к этой операции является интегрирование – отыскание функции по известной ее производной. В этом разделе рассматриваются некоторые из основных методов и приемов интегрирования.
Функция , для которой выполняется равенство для всех из области определения , называется первообразной функции . Несколько примеров первообразных для различных функций приведем в следующей таблице.
Таблица 1.
-
0
1
Если - первообразная функции , то функция , где С – любое действительное число, также является первообразной функции , т.к .
Теорема 1. Любые две первообразные и данной функции отличаются только на некоторую постоянную, т.е. существует число такое, что .
Доказательство. Поскольку и , то . А это означает, что . Итак, .
Следствие. Если - одна из первообразных функции , то множество всех ее первообразных имеет вид .
Теорема 2. Если функция непрерывна в области своего определения, то она имеет первообразную, определенную в этой же области.
Множество всех первообразных данной функции называется ее неопределенным интегралом (обозначается ): . Здесь - переменная интегрирования, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, -знак неопределенного интеграла, - одна из первообразных функции , С – произвольная постоянная ( ) называемая постоянной интегрирования.
Например, . Множество всех первообразных подынтегральной функции представляет собой множество парабол отличающихся от первообразной параллельным переносом по оси . Таким образом, все эти параболы покрывают сплошь плоскость . При этом через каждую точку плоскости проходит только одна из парабол этого семейства первообразных.
Свойства неопределенного интеграла.
I. . II. , или .
III. . IV. .
Таблица простейших неопределенных интегралов.
1. , . 7. .
2. . 8. .
3. . 9. , .
4. , . 10. , .
5. . 11. .
6. . 12. .
Разложение подынтегральной функции на слагаемые.
Представляя подынтегральную функцию в виде алгебраической суммы отдельных слагаемых, можно воспользоваться свойством IV и проинтегрировать каждое слагаемое отдельно, используя в дальнейшем табличные формулы.
1.1). .
1.2).
.
1.3).
.
Введение функции под знак дифференциала.
Этот наиболее часто употребляемый прием заключается в следующем преобразовании
. При этом, как правило, используется одно из следующих соотношений: , , , , ,
, , , , .
1.4). .
1.5). .
1.6). .
1.7). .
Метод подстановки.
Упрощение интеграла достигается введением новой независимой переменной .
Замена позволяет преобразовать исходный интеграл к следующему виду:
, т.к. .
1.8). . Чтобы избавиться от иррациональности, используем замену переменной
. Т.к. , то
.
1.9). . Найдем область определения подынтегральной функции .
. Отсюда замена переменной имеет вид , а .
И, т.к. , то
.
Здесь .
1.10). . Используем замену переменной . Тогда . Следовательно,
.
Интегрирование по частям.
Если и - непрерывно дифференцируемые функции, то, поскольку , справедлива следующая формула , использование которой называют интегрированием по частям.
11.11). . Здесь .
1.12). = .
Последний интеграл вычислим отдельно, вторично применяя интегрирование по частям.
. Итак, окончательно
получаем .
Задания для самостоятельного решения
1.1. . 1.8. . 1.15. . 1.22. .
1.2. . 1.9. . 1.16. . 1.23. .
1.3. . 1.10. . 1.17. . 1.24. .
1.4. . 1.11. . 1.18. . 1.25. .
1.5. . 1.12. . 1.19. . 1.26. .
1.6. . 1.13. . 1.20. . 1.27. .
1.7. . 1.14. . 1.21. . 1.28. .
Ответы:
1.1. . 1.8. . 1.15. . 1.22. .
1.2. .1.9. . 1.16. . 1.23. .
1.3. . 1.10. . 1.17. . 1.24. .
1.4. . 1.11. . 1.18. .
1.25. .
1.5. .1.12. . 1.19. . 1.26.
.
1.6. . 1.13. . 1.20. . 1.27. .
1.7. . 1.14. . 1.21. . 1.28. .
Интегрирование рациональных выражений
Рассмотрим интеграл от рациональной дроби , в которой степень многочлена в числителе не меньше степени многочлена в знаменателе. Деление с остатком числителя на знаменатель позволяет представить эту подынтегральную функцию в виде суммы многочлена, как целой части данной неправильной рациональной дроби, и некоторой правильной рациональной дроби (степень многочлена меньше степени многочлена ).
1.13). . Подынтегральная функция здесь - это неправильная рациональная дробь.
Деление с остатком (“деление в столбик”) позволяет выделить ее целую часть и представить в виде: . А исходный интеграл вычисляется как разность двух интегралов.
.
Из курса алгебры известна следующая
Теорема. Любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей вида
,
где ; .
1.14). . В соответствии с разложением знаменателя данной рациональной дроби по корням сама дробь по сформулированной выше Теореме представляется в виде суммы простейших дробей первого типа
.
Умножая обе части этого равенства на , получим
.
Это равенство двух многочленов выполняется тождественно для всех , а это возможно только при совпадении коэффициентов при одинаковых степенях .
Решая эту систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными, получаем , ,
. Таким образом, подынтегральная функция представляется в виде
,
поэтому
.
1.15). . Поскольку многочлен третьей степени в знаменателе данной правильной дроби обращается в нуль при , остальные его корни находим делением этого многочлена на , и получаем следующее разложение знаменателя дроби по корням
,
в соответствии с которым по той же Теореме записываем представление подынтегральной функции в виде
.
В этом представлении множителю соответствуют две дроби второго и первого типа. Умножая обе части этого равенства на , т.е. освобождаясь от знаменателей, получим равенство двух многочленов . Составить систему
для определения коэффициентов можно двумя способами: приравнять коэффициенты при одинаковых степенях , или подставить в равенство многочленов . Итак, получаем . Следовательно,
.
1.16). . Разложение знаменателя по корням
определяет представление подынтегральной функции в виде суммы простейших дробей первого и третьего типов
.
Коэффициенты находим из тождества
,
в которое подставляем четыре различных значения . Отсюда система
,
имеющая решение . Таким образом, исходный интеграл представлен в виде суммы следующих интегралов:
.
Последний интеграл в правой части равенства вычислим выделяя в числителе производную
знаменателя и выделяя полный квадрат в знаменателе второго из следующих интегралов:
.
Окончательный ответ выглядит так
.
Замечание. При вычислении интеграла были продемонстрированы два основных приема, используемых для интегрирования функций, содержащих квадратный трехчлен, например, интегралов от простейших дробей третьего типа: . А именно: выделение в числителе производной знаменателя и выделение полного квадрата в знаменателе. В том случае, когда квадратный трехчлен в знаменателе имеет действительные корни, следует пользоваться тем, что подынтегральная функция разлагается на две простейшие дроби первого типа.
Интегрирование простейших иррациональностей
Интегралы вида , где подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и различных радикалов из . Обозначим через наименьшее общее кратное всех показателей . Тогда рассматриваемый интеграл сводится к интегралу от рациональной функции (рационализируется) введением новой переменной
.
1.17). . Обозначим . Тогда , и =
.
1.18). . Обозначим . Тогда
.
Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида рационализируются универсальной тригонометрической подстановкой: . При этом используются формулы, выражающие синус и косинус через тангенс половинного аргумента
.
Кроме того, при замене переменной в этом интеграле учитываем, что .
Рационализация с помощью универсальной подстановки иногда приводит к громоздким подынтегральным функциям. В некоторых частных случаях эффективнее использовать подстановки или .
1.19).
. В этом примере использована универсальная подстановка.
1.20). . Здесь удобно выполнить замену . И, так как , то
.
В интегралах вида , если и - четные положительные числа, используются формулы понижения степени: . Если же или - нечетное число, интеграл находят, отделяя от нечетной степени один множитель.
1.21). =
. Здесь .
1.22). . Обозначив, , получим
. Здесь .
Интегралы вида находятся с помощью тригонометрических формул: ,
, .
1.23). .
Задания для самостоятельного решения
1.29. . 1.36. . 1.43. .
1.30. . 1.37. . 1.44. .
1.31. . 1.38. . 1.45. .
1.32. . 1.39. . 1.46. .
1.33. . 1.40. . 1.47.
1.34. 1.41. . 1.48. .
1.35. . 1.42. . 1.49. .
Ответы.
1.29. 1.36. . 1.43. .
.
1.30. . 1.37. . 1.44. .
1.31. . 1.38. . 1.45. .
1.32. .1.39. . 1.46. .
1.33. . 1.40. . 1.47.
1.34. . 1.41. . 1.48. .
1.35. . 1.42. . 1.49. .
Определенный интеграл.
Функция определена и ограничена на отрезке . Произвольно выбранными точками
разобьем этот отрезок на элементарных отрезков , , длина каждого из которых равна . В каждом из этих элементарных отрезков произвольно выберем точку , . Сумма вида
называется -ой интегральной суммой функции на отрезке . Если на , то - площадь ступенчатой фигуры. Обозначим .
Конечный предел последовательности интегральных сумм при и называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается
.
Предел в этом определении не зависит от способа разбиения отрезка на элементарные отрезки и выбора в каждом из них промежуточных точек . Здесь - переменная интегрирования, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, - отрезок интегрирования, и -нижний и верхний пределы интегрирования. Если определенный интеграл существует, то функцию называют интегрируемой на отрезке . В частности, непрерывность подынтегральной функции на отрезке обеспечивает ее интегрируемость на этом отрезке.
Геометрический смысл определенного интеграла. Если на , то - это площадь криволинейной трапеции – плоской фигуры, ограниченной графиком функции , осью и двумя прямыми .
Теорема. Если функция определена и непрерывна на всюду за исключением конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства определенного интеграла.
1. ( ). 2. .
3. . 4. .
5. 6. Если, , то .
7. Если , то . 8. .
9. Если , где , то
.
10. Если непрерывна на , то существует точка , такая, что
.
Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница.
Пусть функция интегрируема на , , . Тогда функция
называется интегралом с переменным верхним пределом. Перечислим основные его свойства.
1. Если интегрируема на , то функция непрерывна для любого .
2. Если непрерывна в точке , то функция имеет производную в этой точке, и . Поэтому всякая непрерывная функция имеет первообразную.
3. Если - какая-нибудь первообразная непрерывной на отрезке функции , то справедливо равенство
,
называемое формулой Ньютона – Лейбница.
1.24). . 1.25). .
1.26). .
Замена переменной в определенном интеграле.
Допустим, что в процессе вычисления определенного интеграла производится замена переменной: , , где функция и ее производная непрерывны на отрезке , причем . Замена переменной под знаком определенного интеграла осуществляется по формуле .
1.27). . Поскольку , т.е. , эффективной будет подстановка: .
Если , то , при . Учитывая, что , осуществим замену переменной в данном определенном интеграле
= = .
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
При необходимости интегрировать по частям в определенном интеграле соответствующая формула имеет вид .
1.28). .
Вычисление площади плоских фигур.
Используя геометрический смысл определенного интеграла, вычисляется площадь фигуры, ограниченной графиками функций , и прямыми , по формуле
.
1.29). Найти площадь, ограниченную параболой и прямой .
Решение. Решая систему данных уравнений, находим абсциссы двух точек пересечения прямой и параболы : . По приведенной выше формуле
.
Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл)
Пусть функция непрерывна на промежутке . Интеграл по бесконечному промежутку называется несобственным интегралом первого рода. Для вычисления этого интеграла используется формула .
Интеграл называется сходящимся, если в вышеуказанной формуле существует конечный предел , в противном случае этот интеграл называется расходящимся.
Аналогично, и
, где .
1.30). Исследовать на сходимость и, если интеграл сходится, вычислить .
По определению несобственного интеграла первого рода
. Таким образом, данный интеграл расходится.
1.31). Вычислить интеграл или установить его расходимость.
По определению . В случае и при
, т.е. существует конечный предел, значит, интеграл сходится и
. В случае и при , . Таким образом, в этом случае интеграл расходится.
Задания для самостоятельного решения
1.50 – 1.63. Вычислить интегралы.
1.64. – 1.70. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.
1.71. – 1.77. Вычислить интегралы или установить их расходимость.
1.50. . 1.57. . 1.64. . 1.71. .
1.51. . 1.58. . 1.65. . 1.72. .
1.52. . 1.59. . 1.66. . 1.73. .
1.53. . 1.60. . 1.67. . 1.74. .
1.54. . 1.61. . 1.68. . 1.75. .
1.55. . 1.62. . 1.69. . 1.76. .
1.56. . 1.63. . 1.70. . 1.77. .
Ответы.
1.50. . 1.57. . 1.64. 10,67. 1.71. Расходится.
1.51. 1. 1.58. . 1.65. 0,42. 1.72. 1.
1.52. . 1.59. 1,57. 1.66. 1,23. 1.73. .
1.53. 2,01. 1.60. 0,57 . 1.67. 29,87. 1.74. Расходится.
1.54. 0, 33. 1.61. 1,57. 1.68. 0,50. 1.75. .
1.55. 1, 50. 1.62. -0, 25. 1.69. 2, 67. 1.76. Расходится.
1.56. 0,50. 1.63. 0,21. 1.70. 0,75. 1.77. .
Контрольная № 1. Интегрирование.
1.- 8. Вычислить неопределенные интегралы.
9. Вычислить определенный интеграл.
10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
Вариант 1.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. . 7. . 8. . 9. . 10. .
Вариант 2.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. . 7. . 8. . 9. . 10. .
Вариант 3.
1. .2. . 3. . 4. . 5. .
6. . 7. . 8. . 9. . 10. .
Вариант 4.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. . 7. . 8. . 9. . 10. .
Вариант 5.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. .7. . 8. . 9. . 10. .
Вариант 6.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. . 7. . 8. . 9. . 10. .
Вариант 7.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. .7. .8. . 9. . 10. .
Вариант 8.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. .7. .8. . 9. . 10. .
Вариант 9.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. .7. .8. .9. .10. .
Вариант 10.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. .7. .8. .9. .10. .
Вариант 11.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. .7. .8. .9. .10. .
Вариант 12.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. .7. .8. .9. .10. .
Вариант 13.
. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. .7. .8. .9. .10. .
Вариант 14.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. .7. .8. .9. .10 .
Вариант 15.
1. . 2. . 3. . 4. . 5.
6. .7. .8. . 9. .10. .
Вариант 16.
1. . 2. . 3. . 4. .5. .
6. .7. .8. .9. .10. .
Вариант 17.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. .7. .8. .9. .10. .
Вариант 18.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. .7. .8. . 9. .10. ,
Вариант 19.
1. . 2. . 3. . 4. .5. .
6. .7. .8. . 9. .10. .
Вариант 20.
1. . 2. . 3. . 4. .5. .
6. .7. .8. . 9. .10. .
Вариант 21.
1. . 2. . 3. . 4. .5. .
6. .7. .8. . 9. .10. .
Вариант 22.
1. . 2. . 3. . 4. .5. .
6. .7. .8. . 9. .10. .
Вариант 23.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. .7. .8. . 9. .10. .
Вариант 24.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. .7. .8. . 9. . 10. .
Вариант 25.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. .7. .8. . 9. .10. .
Вариант 26.
1. . 2. . 3. . 4. .5. .
6. .7. .8. .9. .10. .
Вариант 27.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. .7. .8. .9. .10. .
Вариант 28.
1. . 2. . 3. .4. .5. .
6. .7. .8. . 9. .10. .
Вариант 29.
1. . 2. . 3. . 4. .5. .
6. .7. .8. . 9. .10. .
Вариант 30.
1. . 2. . 3. .4. .5. .
6. .7. .8. .9. .10.
2. Функции нескольких переменных
Если каждой точке из некоторого подмножества пространства по некоторому правилу или закону поставлено в соответствие единственное значение переменной из множества , то говорят, что задана функция нескольких переменных ( переменных): . Подмножество называется областью определения этой функции, а - множеством ее значений.
Например, - функция двух переменных, - функция трех переменных. В этом разделе будут рассмотрены некоторые из понятий дифференциального исчисления функций двух переменных: .
Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства , таких, что и . Таким образом, график представляет собой поверхность - множество точек с координатами в пространстве .
2.1). Найти область определения функции . Существование этой функции обеспечивает условие , т.е. . Таким образом, областью определения данной функции является внутренность круга с центром в начале координат и радиусом 1.
Для построения поверхности – графика функции используется метод сечений этой поверхности плоскостями, параллельными координатной плоскости , т.е. системой плоскостей , где произвольное число . Пересечение поверхности с плоскостью определяется равенством .
Линией уровня функции двух переменных называется множество точек плоскости , удовлетворяющих равенству . Число здесь называют уровнем. Итак, для точек, принадлежащих одной линии уровня, функция принимает одно и то же значение, равное .
2.2). Найти линии уровня функции . Построить ее график. Линии уровня данной функции определяются уравнениями , где . Эти уравнения описывают множество концентрических окружностей в плоскости с общим центром в начале координат с радиусами . График этой функции представляет собой поверхность , называемую параболоидом.
Число называется пределом функции в точке ( ), если для любого сколь угодно малого положительного числа ( ) найдется такое положительное число ( ), что для всех точек , отстоящих от точки на расстояние меньшее, чем (такое множество точек называется -окрестностью точки : ) , выполняется неравенство . Если предел существует, то он не зависит от пути, по которому точка стремится к точке .
2.3). .
2.4). . Например, при , т.е., если точка стремится к точке по прямой , предел равен . Если же , т.е. точка стремится к точке по прямой . В этом случае предел оказывается равен . Итак, предел в этом примере не существует, так как при стремлении точки к точке по различным путям, он получается различным.
Функция называется непрерывной в точке , если
функция определена в точке и в некоторой ее окрестности,
существует конечный предел при стремлении точки к точке произвольным образом,
.
Функция разрывна в точке , если нарушено хотя бы одно из условий 1., 2., 3.
Функция непрерывная в любой точке некоторой области называется непрерывной в этой области
.
2.5). Функция определена во всех точках плоскости , но не в точке , поэтому разрывна в этой точке. В остальных точках плоскости она непрерывна.
2.6). Функция разрывна в точке , так как не имеет предела в этой точке.
2.7). Функция разрывна в точке , поскольку .
Теорема. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то
она в этой области ограничена, т.е. существует число ( ) такое, что для всех точек выполняется неравенство ,
в области имеются точки, в которых функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений.
Частные производные функции двух переменных. Полный дифференциал.
Рассмотрим функцию . Пусть - область ее определения. Зафиксируем точку . Придадим аргументам и приращения и соответственно. При этом . Тогда разности и
называются частными приращениями функции по переменным и соответственно, а разность - ее полным приращением.
Частными производными функции по переменным и называются следующие пределы разностных отношений .
Значение частной производной функции зависит от точки , в которой она вычисляется, т.е. сама по себе частная производная является функцией точки . Формулы и правила, используемые при вычислении производной функции одной переменной, справедливы также и для частных производных функции двух переменных. Главное в процессе вычисления частной производной функции по одной из ее переменных – помнить, что другая переменная при этом считается постоянной.
2.8). Вычислить частные производные функции .
, .
Частные производные, как функции тех же переменных, тоже в свою очередь могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка.
, , , ,
Смешанные производные и равны между собой, если они являются непрерывными функциями.
2.9). Вычислить частные производные второго порядка функции .
Пользуясь уже имеющимися в примере 36) частными производными первого порядка, получаем , , ,
. Как видим, .
Если функция имеет в точке непрерывные частные производные, то ее полное приращение может быт представлено в виде , где
и при . Главная линейная часть полного приращения функции называется ее полным дифференциалом , с учетом того, что для независимых переменных и .
2.10). Полный дифференциал функции записываем, следуя формуле
Производная по направлению. Градиент.
Пусть функция определена в некоторой области . Точка , - некоторое направление (вектор с началом в точке М), задаваемое единичным вектором (ортом)
, где и - косинусы углов, образуемых вектором с осями координат, называемые направляющими косинусами. При перемещении из точки в точку по направлению функция получает приращение
, называемое приращением функции в данном направлении . Пусть - величина перемещения. Предел отношения при , если он существует, называется производной функции по направлению и обозначается , или . Итак, . Производная характеризует изменения функции в направлении . При заданных направляющих косинусах производная по направлению вычисляется по формуле .
Градиентом функции в точке называется вектор , координаты которого равны соответствующим частным производным и , вычисленным в точке . Т.е. , или . Градиент, это вектор, указывающий направление наибольшего роста функции.
2.11). Вычислить производную функции в точке по направлению .
Найдем длину вектора : . Тогда . Таким образом, единичный орт вектора имеет координаты . Используя частные производные и , запишем производную по направлению в произвольной точке : . Итак, в точке эта производная оказывается равной .
2.12). Вычислить градиент функции в точке .
Градиент этой функции в произвольной точке выглядит так . В данной точке .
Экстремум функции двух переменных.