Примеры решения задач по СТО и релятивиской динамике

ПРИМЕРЫ решения ЗАДАЧ по СТО и РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ДИНАМИКЕ

Эффект Комптона.

Эффектом Комптона называют рассеяние гамма-кванта (фотона большой энергии) на свободном электроне. Если перевести на наш язык первого семестра, то под рассеянием следует понимать абсолютно упругое столкновение фотона с электроном. Задача решается с помощью законов сохранения энергии и импульса для замкнутой системы двух частиц. Мы предполагаем, что энергия γ - кванта так велика, что для энергии электрона надо

использовать релятивистскую формулу для энергии. Естественно, что до столкновения электрон имел энергию покоя. Уравнение, выражающее закон сохранения энергии для системы имеет вид:

=ω +mc2 = =ω′+ E

(1)

Закон сохранения импульса напишем в проекциях на оси: совпадающую с первоначальным направлением движения - кванта и перпендикулярную ей:

=ω	=	=ω′cosα + p cos β
c		c	(2)
=ω′
	sinα = psin β
c

α,β −углы рассеяния (отсчитываемые от оси, совпадающей с первичным направлением

фотона) - кванта и электрона соответственно. Уравнения три, а входящих величин больше. Поэтому определимся с тем, что измеряется на опыте, а что подлежит вычислению. Мы будем считать известными величинами: частоту или энергию кванта до рассеяния и угол, на который он рассеялся. Кроме того, нам известна формула, связывающая между собой энергию, импульс и энергию электрона. Задача – вычислить энергию γ - кванта после

столкновения с электроном.

Исключим (2) угол рассеяния электрона. Для этого сложим квадрат правой части второго уравнения с квадратом первого после переноса импульса рассеянного фотона в левую часть:

(=ω

− =ω′cosα)2

+(

=ω′sinα)2

= p2

c

c

c

После тривиальных преобразований получим:

c

= E

−(mc

)

(3)

(=ω)

+(=ω )

−2= ωω

cosα = p

2

′ 2

2

′

2

2

2

2

2

Найдем из (1) квадрат энергии электрона и приравняем его с выраженным из (30):

(=ω)	2			′	2		2	′	+	′			2	2	)	2	=
		+(=ω )				−2= ωω				2(=ω−=ω )mc				+(mc
=(=ω)				+(=ω )			−2= ωω			cosα +(mc	)
			2		′ 2			2	′	2		2

Исключив подобные члены, получим:

(=ω −=ω′)mc2 = =2ωω′(1−cosα)

Поделим последнее равенство на =mc2ωω′:

ω1′ −ω1 = mc=2 (1−cosα)

Так как длина волны связана с частотой, как λ = 2ωπ , последнюю формулу можно записать через разность длин волн:

		′	2π=		(4)
	λ		−λ = mc2	(1−cosα)

Экспериментально можно определить изменение длины в зависимости от угла рассеяния. Как это делается, будет объяснено в пятом семестре. Решение этой задачи здесь приведено по двум причинам. Во–первых, совпадение опыта с расчетом подтверждает выше рассмотренную теорию. Во–вторых, показать на примере, как записываются законы сохранения для релятивистских частиц.

Рождение частицы.

Имеется покоящаяся частица массы M . Какой минимальной кинетической энергией должна обладать частица массы m , чтобы при столкновении родилась еще одна такая же частица?

Задачи такого типа делаются с использованием инварианта энергия–импульса. Для налетающей частицы из него находится связь между ее полной энергией, импульсом и энергией покоя:

ε2 − p2c2 = (mc2 )2

(1)

Напишем этот инвариант для системы двух частиц до столкновения:

E2 −P2c2 = (ε + Mc2 )2 − p2c2 = E2		(2)
	0
В системе центра масс величина инварианта не изменится:
E2	= E2
0	0C

После столкновения величина инварианта снова не изменится:

E02C = E0′2C

Минимальной кинетическая энергия (конечно, и полная) будет в том случае, когда после столкновения все частицы в системе центра масс будут покояться. В этом случае полная энергия трех частиц будет равна :

EC′ = 2mc2 +Mc2 = E0′C

Используя все написанные равенства, получим:

(ε +Mc2 )2 − p2c2 = (2mc2 +Mc2 )2

Возведя в квадраты и заменяя импульс налетающей частицы из (1) находим выражение, из которого можно найти минимальную полную энергию налетающей частицы:

ε2 +2εMc2 +(Mc2 )2 −ε2 +(mc2 )2 = 4(mc2 )2 +4mc2Mc2 +(Mc2 )2

Приведя подобные члены, получим:

2εMc2 =3(mc2 )2 +4mc2Mc2 ε = 2mc2 + 3 mc2 mc2 2 Mc2

Искомая кинетическая энергия равна найденной полной энергии за вычетом энергии покоя:

Tmin = mc2 (1+ 32 Mm ) .

На примере этой задачи хотел показать, как надо пользоваться инвариантами.