§16.Кинетическая энергия.

Определение:Кинетической энергией тела называется энергия его поступательного движения.

Если внешняя сила действует на покоящееся тело, последнее приобре­тает некоторую скорость и способно само совершить работу. Этот запас работы и называется кинетической энергией тела. Запишем уравнение движения материальной точки:

где  результирующая сила. Умножим уравнение движения скалярно на , тогда

В правой части уравнения мы получили элементарную работу , в ле­вой — выражение, которое можно преобразовать к виду полного дифференциала:

В результате имеем , т.е. элементарная работа, совершенная силой,равна приращению величины, определяемой с точностью до произвольной постоянной. Получается, что сила совершает некоторую работу, и на такое же количество возрастает кинетическая энергия тела (обычное обозначениеТ или W_кин.). При отрицательной ра­боте силы кинетическая энергия тела убывает: энергия расходуется на преодоление действующей силы. Обычно считают, что покоящееся тело кинетической энергией не обладает, так что произвольную постоянную полагают равной нулю: .

§17.Потенциальная энергия.

Определение:Потенциальной энергией называется часть энергии механической системы, зависящей только от её конфигурации, т.е. от взаимного расположения всех частиц системы и, от расположения во внешнем потенциальном поле.

Убыль потенциальной энергии при перемещении системы из произвольного положения «1» в другое положение «2» измеряется той работой А₁₂, которую совершают при этом все потенциальные: внутренние и внешние, силы, действующие на систему:

U(1)  U(2) = А₁₂илиU = А₁₂,

где U = U(2)  U(1)изменения потенциальной энергии механической системы,

U(1), U(2)значения потенциальной энергии механической системы в положениях «1» и «2».

Соответственно, работа потенциальных сил при малом изменении конфигурации системы А =  dU.

Данные соотношения справедливы для случая стационарного (не зависящего от времени) внешнего потенциального поля. Для простейшего случая, нахождения материальной точки во внешнем потенциальном поле, сила с которой это поле действует на точку, вычисляется по формуле:

,

где называется градиентом скалярной функции (в данном случаепотенциальной энергии). Градиентэто векторная величина, направленная в сторону роста значений функцииU. В приведённой формуле фигурирует знак «», который указывает, что сила направлена в сторону убыли значений функцииU.

Обратное соотношение, позволяющее по известному выражению потенциальной силы, вычислить значение потенциальной энергии, очевидно,

.

Приведённая формула даёт возможность определения явных выражений потенциальной энергии для частных случаев. При вычислении данного интеграла, один из пределов стремятся выбрать таким, чтобы потенциальная энергия в рассматриваемой точке была равна нулю.

Пример №1.

Сила гравитационного взаимодействия двух тел равна ,

где радиус-вектор, проведённый от первого тела ко второму,Gгравитационная постоянная, знак «» указывает, что сила, действующая со стороны первого тела на второе противонаправлена радиусу-вектору.

.

Здесь было использовано соотношение: .

Пример №2.

Сила упругой деформации пружины равна , гдеkкоэффициент жесткости пружины,xвеличина деформации пружины, знак «» указывает на то, что сила упругости всегда направлена против деформации.

Тогда .

Пример №3.

Сила тяжести вблизи поверхности Земли равна .

Тогда .