Скачиваний:
37
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
594.43 Кб
Скачать

41Частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины

Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия частицы монотонно возрастает по мере удаления от точки, где эта энергия минимальна. На рис. 2.1 изображена одномерная потенциальная яма бесконечной глубины с «плоским дном»:

при при и .

Рис. 2.1

Стационарное уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме имеет вид

(2.13)

при краевых условиях , означающих, что и вне области т.е. что вероятность найти частицу вне потенциальной ямы равна нулю.

Решение уравнения Шредингера

(2.14)

где и – постоянные, – волновое число. Из краевых условий следует, что , и , то есть волновое число принимает ряд дискретных значений соответствующих требованию , где

Последнее уравнение означает, что

или .

На длине потенциальной ямы должно укладываться целое число полуволн де Бройля.

Физические величины, которые могут принимать лишь определенные дискретные значения, называются квантованными (квантование физических величин). Собственные значения энергии частицы в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины

(2.15)

представляют собой дискретный ряд значений энергии, которая является квантованной. Таким образом, энергетический спектр такой частицы является дискретным, в отличие от свободной частицы.

Квантованные значения называются уровнями энергии, а число , определяющее энергетические уровни частицы в потенциальной яме, называется квантовым числом.

При больших квантовых числах происходит относительное сближение энергетических уровней частицы в потенциальной яме: отношение , где . Неравенство при означает, что квантование энергии при больших квантовых числах дает результаты, близкие к результатам, которые получаются в классической физике, – энергетические уровни становятся квазинепрерывными (квазинепрерывность энергетических уровней при ).

Принцип соответствия Бора: выводы и результаты квантовой механики при больших квантовых числах должны соответствовать классическим результатам.

Более общая формулировка принципа соответствия: между любой физической теорией, которая является развитием классической, и первоначальной классической существует закономерная связь – в определенных предельных случаях новая теория должна переходить в старую. Например, формулы кинематики и динамики специальной теории относительности переходят в формулы механики Ньютона при таких скоростях, когда . Геометрическая оптика является предельным случаем волновой оптики, если можно пренебречь величиной длины волны .

42Движение частиц в потенциальной яме конечной глубины

Посмотрим, что изменится, если потенциальная яма будет иметь конечную глубину

.Появляется возможность рассматривать две задачи: энергия

E < U0, что соответствует связанному состоянию, и E > U0 – задача о рассеянии частиц. Займемся первой, оставив вторую для последующих лекций. Теперь нет оснований полагать, что волновая функция равна нулю в первой и третьей областях. Посмотрим, как будет выглядеть уравнение Шредингера для этих областей

.

Во втором слагаемом коэффициент перед Ψ отрицателен. Обозначим его

.

Уравнения Шредингера вне и внутри ямы отличаются знаком перед Ψ

и имеют решения

.Надо сразу положить A1 = B3 =0, чтобы решения не увеличивались беспредельно в области больших отрицательных и больших положительных значениях x. Для нахождения остальных коэффициентов надо использовать условия непрерывности волновой функции Ψ и ее первой производной dΨ/dx в точках x = 0 и x = a. Здесь мы ограничимся обсуждением качественно новых результатов. Решения вне ямы – апериодические, быстро спадающие. Например, в области 3 .

Отличие от нуля волновой функции Ψ(x) (а, следовательно, и |Ψ|2)в первой и третьей областях – это новый результат, которого нельзя было ожидать на основе классической теории. Напомним, что на рисунке 4 в области x > a энергия E < U0. По классическим представлениям кинетическая энергия T = E - U0 отрицательна! На длине

волновая функция в "классически запрещенной" области убывает в e раз. Поскольку в числителе стоит постоянная Планка h ~ 10-34 Дж·с, ожидать заметного эффекта для тел с макроскопической массой m или энергией U0 - E не приходится (при этом l → 0).

Возможные значения энергии, как и для ямы бесконечной глубины, квантованы. И полученная нами формула (1) остается хорошей аппроксимацией, особенно для больших U0 - E. Для получения точного значения необходимо решить численно трансцендентное уравнение. Отметим только, что число уровней в яме зависит от ее ширины и глубины. И может статься, в яме не окажется ни одного уровня. Это означает, что связанного состояния при данных параметрах не существует. Для дейтрона (U0 ~ 30 МэВ, a ~ 10-15 м) существует только одно связанное состояние с энергией -2.2 МэВ.

35Интерференция электрона в опыте с двумя щелями

Рис. 1

Из некоторого источника испускаются элементарные частицы, например электроны ( см. рис. 1). На их пути стоит непроницаемый для них экран с двумя щелями (1 и 2), частицы испускаются не слишком часто, так что для любых двух электронов всегда удается установить, какой из них вылетел раньше. Направление, по которому летит электрон, является случайным. Только попавшие в щели первого экрана электроны могут проникнуть за этот экран и попасть на второй. Если открыта только щель 1, то больше всего электронов попадает на второй экран прямо против этой щели ; чем дальше от щели, тем меньше электронов попадает в это место экрана. Распределение вероятности попадания электронов на различные участки второго экрана при открытой щели 1 изображено кривой P 1. Если открыть только щель 2, то такое же распределение вероятности попадания электронов будет с максимумом против щели 2 ( кривая P 2 ).

Что будет, если открыть одновременно обе щели ?

«Обыденный смысл» подсказывает следующее. Электрон может попасть на второй экран, только предварительно пройдя или через щель 1, или через щель 2; любой третий вариант исключен. Распределение попадания электронов на второй экран будет равно сумме распределений для случаев, когда открыта только щель 1 или только щель 2; P 12 = P 1 + P 2. Именно так было бы при подсчете вероятности попадания камней, если бы мальчишки обстреливали из рогатки с улицы комнату с двумя открытыми окнами.

Но электроны или любые другие элементарные частицы ведут себя не так. Распределение их попаданий на второй экран не похоже на кривую P 12. Оно происходит так, как показано на кривой P* 12, что характерно для интерференции. Ясно, что P* 12 Ф P 1 + P 2. Такое распределение кажется удивительным. Как могло случиться, что в точку a попало больше электронов, чем число электронов, попадающих сюда из числа прошедших щель 1, в то время как при открытии одной щели 2 электроны сюда вообще не попадают ? Каким путем пришли сюда эти «избыточные» электроны ?

Посмотрим на точку b: при двух открытых щелях сюда почти не попадает электронов. Но ведь когда открыта только щель 1, сюда попадает довольно большое число электронов. Каким же путем они летят, если открыта еще и щель 2?

Попытаемся проследить — через какую щель (1 или 2) прошел каждый электрон, попавший на второй экран. Для этого поставим за щелями 1 и 2 индикаторы (1 1 и 1 2 ), которые будут регистрировать прохождение каждого электрона через щель. Эти индикаторы представляют собою источники света ( фотонов ), «освещающего» пролетающие электроны. Каждый раз, в полном соответствии с «обыденным смыслом», срабатывает только один индикатор: электрон проходит либо через щель 1, либо через щель 2. Но вот распределение попаданий электронов на второй экран соответствует теперь не кривой P* 12, а сумме кривых P 1 и P 2. Электроны, летящие через щель 1, попадают на второй экран точно так, как было бы, если бы была только щель 1. Точно так же электроны, прошедшие через щель 2, распределяются на втором экране так, как было бы, если бы открытой была только щель 2.

При наличии индикаторов, определяющих, через какую щель прошел электрон, получается классическая картина, без интерференции. При отсутствии же индикаторов интерференция есть, но невозможно сказать, через какую щель прошел электрон.

Итак, само наблюдение меняет ход электронов между первым и вторым экраном. Электроны, как и любые другие элементарные частицы, невозможно наблюдать, не изменив траектории их полета. Если при изучении макрообъектов в классической физике одним из основных требований было использование такого метода наблюдения или измерения явления, который не меняет протекания наблюдаемого процесса, то при переходе к изучению микрообъектов ( элементарных частиц ) оказалось, что не существует методов наблюдения, не изменяющих ход наблюдаемого явления. Наблюдаемое явление и наблюдатель со всей совокупностью средств наблюдения составляют один неразрывный комплекс.

Но вернемся к опыту с двумя щелями. Через какую щель пролетает электрон, когда нет индикаторов, регистрирующих его прохождение ? Казалось бы, через ту же, через которую он пролетит и при наличии индикатора: ведь индикатор стоит ( и может повлиять на путь электрона ) после щели, а то место, в какое попадает электрон, определяется его траекторией на участке от источника до щели, т. е. раньше, чем в ход процесса может вмешаться влияние индикатора. Но тогда кажется совершенно непонятным, почему путь электрона, который прошел через щель 1, зависит ( при отсутствии индикаторов !) от того, открыта или закрыта щель 2 ( вспомним, например, точку, куда электроны почти перестают попадать при обеих открытых щелях

А

36Волновая функция и ее статистический смысл

Экспериментальное подтверждение идеи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, ограниченность применения классической механики к микрообъектам, диктуемая соотношением неопределенностей, а также противоречие целого ряда экспериментов с применяемыми в начале XX в. теориями привели к новому этапу развития квантовой теории — созданию квантовой механики, описывающей законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств. Ее создание и развитие охватывает период с 1900 г. (формулировка Планком квантовой гипотезы; см. § 200) до 20-х годов XX в.; оно связано прежде всего с работами австрийского физика Э. Шредингера A887—1961), немецкого физика В. Гейзенберга и английского физика П.Дирака A902—1984). На данном этапе развития возникли новые принципиальные проблемы, в частности проблема физической природы волн де Бройля. Для выяснения этой проблемы сравним дифракцию световых волн и микрочастиц. Дифракционная картина, наблюдаемая для световых волн, характеризуется тем, что в результате наложения дифрагирующих волн друг на друга в различных точках пространства происходит усиление или ослабление амплитуды колебаний. Согласно волновым представлениям о природе света, интенсивность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. По представлениям фотонной теории, интенинтенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной картины. Следовательно, число фотонов в данной точке дифракционной картины задается квадратом амплитуды световой волны, в то время как для одного фотона квадрат амплитуды определяет вероятность попадания фотона в ту или иную точку. Дифракционная картина, наблюдаемая для микрочастиц, также характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц, рассеянных или отраженных по различным направлениям,— в одних направлениях наблюдается большее число частиц, чем в других. Наличие максимумов в дифракционной картине с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. С другой стороны, интенсивность волн де Бройля оказывается больше там, где имеется большее число частиц, т. е. интенсив- ность волн де Бройля в данной точке пространства определяет число частиц, попавших в эту точку. Таким образом, дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности, согласно которой частицы попадают в те места, где интенсивность волн де Бройля наибольшая. Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц является важнейшей отличительной особенностью квантовой теории. Можно ли волны де Бройля истолковывать как волны вероятности, т. е. считать, что вероятность обнаружить микрочастицу в различных точках пространства меняется по волновому закону? Такое толкование волн де Бройля уже неверно хотя бы потому, что тогда вероятность обнаружить частицу в некоторых точках пространства может быть отрицательна, что не имеет смысла. Чтобы устранить эти трудности, немецкий физик М. Борн A882—1970) в 1926 г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности и обозначаемая Ψ (х, у, z, t). Эту величину называют также волновой фун-кцией (или Ψ '-функцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля:Ψ *). Таким образом, описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в области с координатами х и х+dх, у и y+dy, z и z + dz.

в квантовой механике состояние микрочастиц описывается принципиально по-новому — с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах. Вероятность нахождения частицы в элементе объемом dV равна

величина

плотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами x,y,z. Таким образом, физический смысл имеет не сама Ψ '-функция, а квадрат ее модуля | Ψ│^2, которым задается интенсивность волн де Бройля. Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V, согласно теореме сложения вероятностей, равна

вероятность, необходимо волновую функцию W нормировать так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего пространства. Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки вероостей

где данный интеграл B16.3) вычисляется по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам х, у, z от — оо до <х>. Таким образом, условие B16.3) говорит об объективном существовании частицы во времени и пространстве. Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастиц, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция 4х, характеризуя вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объема, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком). Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями Wi, 4f2i---.4rn. •. •, то она также может находиться в состоянии W, описываемом линейной комбинацией этих

где С„ (и=1,2, ...)— произвольные, вообще говоря, комплексные числа. Сложение волновых функций принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.Волновая функция 4Г, являясь основной характеристикой состояния микрообъектов, позволяет в квантовой механике вычислять средние значения физических величин, характеризующих данный микрообъект. Например, среднее расстояние (г) электрона от ядра вычисляют по формулегде интегрирование производится, как и в 16,3)

37ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ:

Принцип неопределённости – фундаментальное положение квантовой теории, утверждающее, что любая физическая система не может находиться в состояниях, в которых координаты её центра инерции и импульс одновременно принимают вполне определённые, точные значения. Количественно принцип неопределённости формулируется следующим образом. Если ∆x – неопределённость значения координаты x центра инерции системы, а ∆px – неопределённость проекции импульса p на ось x, то произведение этих неопределённостей должно быть по порядку величины не меньше постоянной Планка ħ. Аналогичные неравенства дожны выполняться для любой пары т. н. канонически сопряженных переменных, например для координаты y и проекции импульса py на ось y, координаты z и проекции импульса pz. Если под неопределённостями координаты и импульса понимать среднеквадратичные отклонения этих физических величин от их средних значений, то принцип неопределённости для них имеет вид:

px ∆x ≥ ħ/2, ∆py ∆y ≥ ħ/2, ∆pz ∆z ≥ ħ/2

Ввиду малости ħ по сравнению с макроскопическими величинами той же разномерности действие принципа неопределённости существенно в основном для явлений атомных (и меньших) масштабов и не проявляются в опытах с макроскопическими телами.

Из принципа неопределённости следует, что чем точнее определена одна из входящих в неравенство величин, тем менее определенно значение другой. Никакой эксперимент не может привести к одновременно точному измерению таких динамичных переменных; при этом неопределённость в измерениях связано не с несовершенством экспериментальной техники, а с объективными свойствами материи.

Принцип неопределённости, открытый в 1927 г. немецким физиком В. Гейзенбергом, явился важным этапом в выяснении закономерностей внутриатомных явлений и построении квантовой механики. Существенной чертой микроскопических объектов является их корпускулярно-волновая природа. Состояние частицы полностью определяется волновой функцией (величина, полностью описывающая состояние микрообъекта (электрона, протона, атома, молекулы) и вообще любой квантовой системы). Частица может быть обнаружена в любой точке пространства, в которой волновая функция отлична от нуля. Поэтому результаты экпериментов по определению, например, координаты имеют вероятностный характер.

(Пример: движение электрона представляет собой распространение его собственной волны. Если стрелять пучком электронов через узкое отверстие в стенке: узкий пучок пройдёт через него. Но если сделать это отверстие ещё меньше, такое, чтобы его диаметр по величине сравнялся с длиной волны электрона, то пучок электронов разойдётся во все стороны. И это не отклонение, вызванное ближайшими атомами стенки, от которого можно избавиться: это происходит вследствие волновой природы электрона. Попробуйте предсказать, что произойдёт дальше с электроном, прошедшим за стенку, и вв окажетесь бессильными. Вам точно известно, в каком месте он пересекает стенку, но сказать, какой импульс в поперечном направлении он приобретёт, вы не можете. Наоборот, чтобы точно определить, что электрон появится с таким-то определённым импульсом в первоначальном направлении, нужно увеличить отверстие настолько, чтобы электронная волна проходила прямо, лишь слабо расходясь во все стороны из-за дифракции. Но тогда невозможно точно сказать, в каком же точно месте электрон-частица прошёл через стенку: отверстие-то широкое. Насколько выигрываешь в точности определения импульса, настолько проигрываешь в точности, с какой известно его положение.

Это и есть принцип неопределённости Гейзенберга. Он сыграл исключительно важную роль при построении математического аппарата для описания волн частиц в атомах. Его строгое толкование в опытах с электронами такого: подобно световым волнам электроны сопротивляются любым попыткам выполнить измерения с предельной точностью. Этот принцип меняет и картину атома Бора. Можно определить точно импульс электрона (а следовательно, и его уровень энергии) на какой-нибудь его орбите, но при этом его местонахождение будет абсолютно неизвестно: ничего нельзя сказать о том, где он находится. Отсюда ясно, что рисовать себе чёткую орбиту электрона и помечать его на ней в виде кружка лишено какого-либо смысла.)

Следовательно, при проведении серии одинаковых опытов, по тому же определению координаты, в одинаковых системах получаются каждый раз разные результаты. Однако некоторые значения будут более вероятными, чем другие, т. е. будут появляться чаще. Относительная частота появления тех или иных значений координаты пропорционально квадрату модуля волновой функции в соответствующих точках пространства. Поэтому чаще всего будут получаться те значения координаты, которые лежат вблизи максимума волновой функции. Но некоторый разброс в значениях координаты, некоторая их неопределённость (порядка полуширины максимума) неизбежны. То же относится и к измерению импульса.

Понятия координаты и импульса в классическом смысле не могут быть применены к микроскопическим объектам. Пользуясь этими величинами при описании микроскопической системы, необходимо внести в их интерпретацию квантовые поправки. Такой поправкой и является принцип неопределённости.

Несколько иной смысл имеет принцип неопределённости для энергии ε и времени t:

ε ∆t ≥ ħ

Если система находится в стационарном состоянии, то из принципа неопределённости следует, что энергию системы даже в этом состоянии можно измерить только с точностью, не превышающей ħ/∆t, где ∆t – длительность процесса измерения. Причина этого – во взаимодействии системы с измерительным прибором, и принцип неопределённости применительно к данному случаю означает, что энергию взаимодействия между измерительным прибором и исследуемой системой можно учесть лишь с точностью до ħ/∆t.

34Волновые свойства частиц

Свет обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами. Волновые свойства проявляются при распространении света (интерференция, дифракция). Корпускулярные свойства проявляются при взаимодействии света с веществом (фотоэффект, излучение и поглощение света атомами).

Свойства фотона как частицы (энергия Е и импульс p) связаны с его волновыми свойствами (частотой ν и длиной волны λ) соотношениями

E = hν;   p = hν / c = h / λ,

где h = 6,63·10–34 Дж·с – постоянная Планка.

Французский физик де Бройль в 1924 г. высказал предположение, что сочетание волновых и корпускулярных свойств присуще не только свету, но и любому материальному телу. Согласно де Бройлю, каждому телу массой m, движущемуся со скоростью υ, соответствует волновой процесс с длиной волны

(нерялятивистское приближение υ << c).

Наиболее отчетливо волновые свойства проявляются у элементарных частиц. Это происходит потому, что из-за малой массы частиц длина волны оказывается сравнимой с расстоянием между атомами в кристаллических решетках. В этом случае при взаимодействии пучка частиц с кристаллической решеткой возникает дифракция.

Для иллюстрации волновых свойств частиц часто используют мысленный эксперимент – прохождение пучка электронов (или других частиц) через щель шириной Δx. С точки зрения волновой теории при дифракции на щели пучок будет уширяться с угловой расходимостью θ ≥ λ / Δx. С корпускулярной точки зрения уширение пучка после прохождения щели объясняется появлением у частиц некоторого поперечного импульса. Разброс значений этого поперечного импульса («неопределенность») есть

Δpx ≈ pθ ≥ (λ / Δx)p = h / Δx.

Соотношение

Δpx · Δx ≥ h

носит название соотношения неопределенностей. Это соотношение на корпускулярном языке выражает наличие волновых свойств у частиц.

Эксперимент по прохождению пучка электронов через две близко расположенные щели может служить еще более яркой иллюстрацией волновых свойств частиц. Этот эксперимент является аналогом оптического интерференционного опыта Юнга.

Компьютерная модель воссоздает на экране дисплея мысленные эксперименты по дифракции электронов на одной и двух щелях.

Подлетая к экрану со щелями, частицы взаимодействуют с ним как волны де Бройля. Поведение частиц в пространстве между экраном со щелями и фотопластинкой описывается в квантовой физике с помощью Ψ-функций. Квадрат модуля пси-функции определяет вероятность обнаружения частицы в том или ином месте. Таким образом, попадание частиц в различные точки фотопластинки есть вероятностный процесс. Компьютерная модель позволяет продемонстрировать этот процесс.

В случае одиночной щели модель иллюстрирует соотношение неопределенностей, которое является следствием двойственной природы частиц. Можно изменять в некоторых пределах ширину щели и наблюдать дифракционное размытие электронного пучка на фотопластинке.

Предполагается, что электроны имеют энергию порядка 100 эВ.

Обратите внимание, что в случае двух щелей наблюдаемое на фотопластинке распределение не является простым наложением двух независимых распределений от каждой из щелей в отдельности. Появление интерференционных полос на фотопластинке однозначно свидетельствует о том, что каждая достигшая фотопластинки частица одновременно прошла через обе щели экрана.

Соседние файлы в папке Шпаргалка по физике (3 семестр)