Работа и энергия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия.

С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др.

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно охарактеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами в механике вводится понятие работа силы.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, которая составляет некоторый угол  с направлением перемещения (F_s = Fcos ), то работа этой силы равна произведению силы проекции F на направление перемещения (F_s – это проекция) умноженной на перемещение точки приложения силы:

A = F_sS = FScos  (S – перемещение точки)

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому последним выражением пользоваться нельзя!

Однако если рассмотреть элементарное применение , то силу можно считать постоянной, а движение точки её приложения прямолинейным. Элементарной работой силы на пути называется скалярная величина, равная:

где угол  – это угол между векторами и , и является участком элементарного пути, или элементарный путь. F_s – проекция вектора силы на .

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути.

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы F_s от пути S вдоль траектории от точки 1 до точки 2. Пусть эта зависимость представлена графически,

тогда искомая работа A определяется на графике площадью заштрихованной фигуры.

При движении тела прямолинейно F = const,  = const, тогда

где S – пройденный телом путь.

При  <  / 2 работа силы положительна. В этом случае составляющая F_s совпадает по направлению с вектором скорости движения v.

Если  >  / 2, то работа силы отрицательна.

При  =  / 2 работа силы равна нулю.

Единица измерения – Джоуль (1 Дж).

1 Дж – это работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м.

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы вводят понятие мощности:

За время dt сила F совершает работу

dA = Fdr, подставим в (1):

следовательно, мощность определяется скалярным произведением вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка, приложения этой силы.

Мощность – величина скалярная. Единица измерения – Ватт (1 Вт).

1 Вт – это мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж.

Кинетическая и потенциальная энергия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Кинетическая энергия механической системы – это энергия механического движения этой системы.

Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела изменяется на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от нуля до v, идет на увеличение кинетической энергии (T) этого тела.

dA = dT (1)

Тогда чтобы найти T, надо проинтегрировать обе части:

Таким образом, тело массой m, движущееся со скоростью v, обладает кинетической энергией:

Из формулы (2) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т.е. является функцией состояния ее движения.

Т.к. при выводе в (2) мы предполагали, что тело движется в инерциальной системе отсчета, иначе нельзя было использовать II закон Ньютона, таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета. В различных ИСО (инерциальных системах отсчета) кинетическая энергия не будет одинаковой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей, характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положения. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, – консервативными.

Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такие силы называются диссипативными (сила трения).

Работа консервативных сил по любому замкнутому пути равна нулю. Работа диссипативных сил при любых движениях в замкнутой системе всегда отрицательна.

Отметим, что существует еще один вид сил – герраскопические силы. Эти силы зависят от скорости материальной точки и действуют всегда перпендикулярно этой скорости. Работа таких сил равна нулю при любом перемещении материальной точки, в частности, при ее движении по замкнутому пути. Эти силы определяются не только положением, но и скоростью движущейся материальной точки. К ним относятся сила Кориолиса, сила Лоренца и т.д.

Но при рассмотрении движения относительно инерциальных систем отсчета такие силы вообще не существуют. Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией П. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком «–», т.к. работа совершается за счет убыли потенциальной энергии.

dA = – dП (3)

Fdr = – dП

где c – некоторая постоянная интегрирования.

Какое-либо произвольное положение системы, характеризующееся заданием координат ее материальных точек, условно примем за нулевое, а энергию тела в других положениях отсчитывают от нулевого уровня. При замене одного нулевого уровня другим потенциальная энергия системы меняется на постоянную величину. Тогда вместо потенциальной энергии следует говорить о ее разности в двух положениях.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Разностью потенциальных энергий в рассматриваемом и нулевом положении называется работа, совершаемая консервативными силами.

Таким образом, потенциальная энергия системы определена не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной. Для консервативных сил имеем:

i, j, k – это орты (единичные вектора).

Вектор, определяемый выражением (5), называется градиентом скаляра П. Для него наряду с обозначением «gradП» применяется обозначение «П». Перевернутый треугольник называется оператором Набли, или оператором Гамильтона.

Корректный вид функции П зависит от характера силового поля.

ПРИМЕР: Потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью земли, рассчитывается как

П = mgh + с,

где c есть потенциальная энергия на нулевом уровне.