Линейная Агебра

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

1093. Установить, как расположена точка А(2; —1; 3) относительно каждой из следующих сфер — внутри, вне или на поверхности:

1)(x-3)2 + (y+l)2 + (z--1)2 = 4;

2)(х+14)2 +(y— 11)2 + (z+12)2 = 625;

3)(х— 6)2 + (у-1)2 + (z - 2)2 = 25;

4)х2+у2 + z2 — 4х + 6у —8z + 22 = 0;

5)x2+y2 + z 2 — х+Зу — 2z— 3 = 0.

1094.	Вычислить кратчайшее расстояние от точки А до данной
сферы в следующих случаях:
	а) А (—2; 6; -3),	х2+у + z2 = 4;
	б) А(9; —4; —3),	ха+у3 + z 2+ 14х— 16у — 24z + 24l =0;
	в) А(1; —1; 3),	х2+у2 + z2 —6х + 4у — 102 —62 = 0.
1095.	Определить, как расположена плоскость относительно сферы — пересекает ли, касается или
проходит вне её; плоскость и сфера заданы следующими уравнениями:
	1) z = 3,	х2+у2 + z2 — 6х + 2у—102 + 22 = 0;
	2) у = 1,	х2+уа + z2 + 4х — 2у — 62 + 14 = 0;
	3) х = 5,	х2+у2 +z2 — 2x + 4y — 2z — 4 = 0.
1096.	Определить, как расположена прямая относительно сферы — пересекает ли, касается или
проходит вне eg; прямая и сфера заданы следующими уравнениями:
	1) х = —2t + 2,	у=3t —7/2, z=t — 2,

	x2+y2 + z2			+ x — 4y— 3z +			1
							2
	2)	x 5		y		z 25
		3		2		2

х2+у + z2 — 4х — 6у + 2z —

3)	2x y 2z 12 0
		2x 4 y z 6	0

х2+y2 + z2 — 2х + 2у + 4z —

= 0;

67 = 0;

43 = 0.

1097. На сфере

(х-1)2 + (у + 2)2 + (2-3)2 = 25

найти точку М1 ближайшую к плоскости

Зх —4z+19 = 0,

и вычислить расстояние d от точки М1 до этой плоскости. 1098. Определить центр С и радиус R окружности

x 3)2	( y 2)2 (z 1)2 100
	2x 2 y z 9 0

1099.	Точки А (3; —2; 5) и В(—1; 6; —3) являются концами диаметра окружности, проходящей
через точку С(1; —4; 1). Составить уравнения этой окружности.
1100.	Точка (7(1; —1; —2) является центром окружности, отсекающей от прямой
	2x y 2z 12 0

4x 7 y z 6 0

хорду, длина которой равна 8. Составить уравнения этой окружности.

1101. Составить уравнения окружности, проходящей через три точки М1(3; — 1; —2), М2(1; 1; — 2) и М3(— 1; 3; 0).

1102. Даны две сферы

(х-m1) 2 + (y – n1)2 + (z – p1 )2 = R21,

(х-m1) 2 + (y – n1)2 + (z – p1 )2 = R21,

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

которые пересекаются по окружности, лежащей в некоторой плоскости т. Доказать, что любая сфера, проходящая через окружность пересечения данных сфер, а также плоскость т могут быть представлены уравнением вида

α [(x-m1)2+(y-n1)2+(z-p1)2-R21]+ β[(x-m2)2+(y-n2)2+(z-p2)2-R22]=0

при надлежащем выборе чисел α и β .
1103. Составить	уравнение плоскости, проходящей линию пересечения двух сфер:
	2х2 + 2у2 + 2z2 + 3х — 2у + z — 5 = 0,
	x2+y2 +z2 —х+ Зу — 2z+1=0.
1104. Составить	уравнение сферы, проходящей через начало координат и окружность

x

2

y

2

z

2

0

2x

3y 5z 5 0

1105.

Составить

уравнение сферы,

проходящей

через

окружность

x

2

y

2

z

2

2x 3y 6z 5 0

5x

2 y z 3 0

1106.

Составить уравнение сферы, проходящей через две окружности:

x

2

y

2

25

x

2

y

2

16

y 2

y 3

1107.

Составить

уравнение

касательной

плоскости

к сфере

х2 +y 2+ z2 = 49 в точке M1 (6; — 3; — 2).

1108.

Доказать, что плоскость

2х — 6у + 3z — 49 = 0

касается сферы

х2+у2+z2 = 49.

Вычислить координаты точки касания. 1109. При каких значениях а плоскость

х+у+z=а

касается сферы

х2+y2 + z2=12.

1110. Составить уравнение касательной плоскости к сфере

(х — 3)2+(у— 1)2+(z + 2)2 = 24

в точке М1(—1; 3; 0).

1111. Точка М1(х1;y 2 ,) лежит на сфере х2+у2 + z2 = r3. Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке M1.

1112. Вывести условие, при котором плоскость

Ах + By + Cz + D = О

касается сферы

х2+y2 +z2 =R2.

1113. Точка М1(х1;y 2 ,) лежит на сфере

(х — α)2 +(y — β)2 + (z - γ)2 = r2.

Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке /WA. 1114. Через точки пересечения прямой

х = 3t — 5, у = 5t—11, z = — 4t + 9

и сферы

(х + 2)2 + (у—1)2 + (z + 5)2 = 49

проведены касательные плоскости к этой сфере. Составить их уравнения. 1115. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере

х2+у 2+ z2 = 9

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

и параллельных плоскости

х + 2у —2z+15 = 0.

1116. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере

(х—3)2+(y + 2)2 + (z— 1)2 = 25

и параллельных плоскости

4х+32—17 = 0.

1117. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере

ха +у + 22 — 10х + 2у + 26z — 113 = 0

и параллельных прямым

x 5

y 1

z

13

,

x 7

y 1

z 8

2

3

2

3

2

0

1118. Доказать, что через прямую

8x 11y 8z 30

x y 2z 0

можно провести две плоскости, касательные к сфере

х2 + у3 + z2 + 2х — 6у + 4z — 15 = 0,

и составить их уравнения.

1119. Доказать, что через прямую

x 6

y 3

z 1

2

нельзя провести плоскость, касательную к сфере

х2 + у2 + z2 — 4х + 2у — 4z + 4 = 0.

1120. Доказать, что через прямую

х = 4t + 4, у=3t+1, z = t+1

можно провести только одну плоскость, касательную к сфере

х2+у2 +z2 — 2х + 6у + 2z + 8 = 0,

и составить её уравнение.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

§ 45. Уравнения плоскости, прямой и сферы в векторной символике

В дальнейшем символ М (г) означает, что r есть радиус-вектор точки М.

1121. Составить уравнение плоскости α, которая проходит через точку M0(r0) и имеет нормальный вектор п.

Р е ш е н и е*). Пусть М (r) — произвольная точка. Она лежит в плоскости о в том и только в том

случае, когда вектор	M	0 M перпендикулярен	к
является равенство нулю их
скалярного произведения.		Таким образом, M 0	M
		M 0 M n =0

п. Признаком перпендикулярности векторов

в в том и только в том случае, когда

(1)

Выразим вектор

M	M
0

через радиус-векторы его конца и начала:

M 0 M =r-r0

Отсюда и из (1) находим: (r-r0) n=1

(2)

Это есть уравнение плоскости а в векторной символике; ему удовлетворяет радиус-вектор r точки М в том и только в том случае, когда М лежит, на плоскости α [r называется текущим радиусвектором уравнения (2)].

*) Задачи 1121 и 1129 существенны для правильного понимания задач этого параграфа. Их решения приводятся в текие.

1122. Доказать, что уравнение r n + D = 0 определяет плоскость, перпендикуляр-ную к вектору n. Написать уравнение этой плоскости в координатах при условии, что n = {А; В; С}.

1123. Даны единичный вектор n0 и число р>0. Доказать, что уравнение rn0— p = 0

определяет плоскость, перпендикулярную к вектору n0 и что р есть расстояние от начала координат до плоскости. Написать уравнение этой плоскости в координатах при условии, что вектор n0 образует с координатными осями углы α, β и γ.

1124. Вычислить расстояние d от точки M1(r1) до плоскости rn0— p = 0. Выразить расстояние d также в координатах при условии, что

r1 = {x1, у1, z1,}, n0 = {cos α, cos β, cos γ}.

1125. Даны две точки М1(r1) и M2(r2). Составить уравнение плоскости, которая проходит через

точку М1 перпендикулярно к вектору динатах при условии, что

M	M	2
1

. Написать уравнение этой плоскости также в коор-

r1 = {x1, у1, z1,}, r2 = {x2, у2, z2,}.

1126. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(r0) параллельно векторам a1 и а2. Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что

r0 = {x0, у0, z0,}, a1 = {l1; т1, п1,}, а2 = {l2; т2, п2,},

1127. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(ri), M2(r2) и М3(г3). Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что

r1 = {x1, у1, z1,}, r2 = {x2, у2, z2,}, r3 = {х3; у3; z3}.

1128. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М0(r0) перпендикулярно к плоскостям:

rn1 + D1 = 0, rn2 + D2 = 0.

Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что

r0 = {x0, у0, z0,}, n1 = {А1; В1, С1}, п2 = {А2, В2; C2}.

1129. Доказать, что уравнение

[(r — r0)а] = 0

определяет прямую, которая проходит через точку М0 (r0,) параллельно вектору а, т. е. что этому уравнению удовлетворяет радиус-вектор r точки М(r) в том и только в том случае, когда М лежит на указанной прямой.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку М(r). Пусть r удовлетворяет данному уравнению; по правилу вычитания векторов r — r0 = М0М1; так как [(r — r0) а] = 0, то [М0М а] = 0; следовательно, вектор М0М коллинеарен вектору а. Значит, точка М действительно лежит на прямой, которая проходит через М0 в направлении вектора а. Обратно, пусть М лежит на этой прямой. Тогда МйМ коллинеарен а. Следовательно, [М0Ма] = 0; но М0М= r — r0; отсюда [(r — r0) а] = 0. Итак, заданному уравнению удовлетворяет радиус-вектор r точки М в том и только в том случае, когда М лежит на указанной прямой (r называется текущим радиус-вектором уравнения).

1130. Доказать, что уравнение

[rа] = т

определяет прямую, параллельную вектору а. 1131. Доказать, что параметрическое уравнение

r = r0 + at,

где t—переменный параметр, определяет прямую, которая проходит через точку M0(r0) (т. е. при изменении t точка М(r) движется по указанной прямой). Написать в координатах канонические уравнения этой прямой при условии, что

r0 = {x0, у0, z0,}, a = {l; т, п,}.

1132. Прямая проходит через две точки: М1(r1). и М2(r2). Составить её уравнения в виде, указанном в задачах 1129, 1130, 1131.

1133. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(r1) перпенди-кулярно к прямой r = r0 + at. Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что

	r1 = {x1, у1, z1,}, a = {l; т, п,}.
1134.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0(r0) параллельно прямым [rа1] =
m1, [rа1] = т2.
1135.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0(r0) перпендику-лярно к
плоскостям
	rn1 + D1 = 0, rn 2 + D2 = 0.
1136.	Прямая проходит через точку М0(r 0) перпендикулярно к плоскости	rn + D = 0.

Составить её уравнение в параметрическом виде. Написать каноничес-кие уравнения этой прямой в координатах при условии, что

r0 = {x0, у0, z0,}, n = {A; B, C,}.
1137. Прямая проходит через точку М0(r0) параллельно плоскостям rn1 + D1 = 0,	rn 2 + D2 = 0.

Составить её уравнение в параметрическом виде. Написать канони-ческое уравнение этой прямой в координатах при условии, что

	r0 = {x0, у0, z0,}, n1= {A1; B1; С1}, n2 = { А2; В2; С2}.
1138.	Вывести условие, при котором прямая r = r0 + at лежит на плоскости		rn + D = 0.
Написать это условие также в координатах при условии, что
	r0 = {x0, у0, z0,},	a = {l; т, п,}, n = { А; В; С}.
1139.	Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую r = r0 + a1t параллельно прямой
		[rа2] = т.
1140.	Вывести условие, при котором две прямые
	r = r1 + a1t и r = r2 + a2t
лежат в одной плоскости.
1141.	Найти радиус-вектор точки пересечения прямой r = r0 + at и плоскости		rn + D = 0.
Вычислить также координаты х, у, z точки пересечения при условии, что
	r0 = {x0, у0, z0,},	a = {l; т, п,}, n = { А; В; С}.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

1142. Найти радиус-вектор проекции М1(r1) на плоскость rn + D = 0. Вычислить также координаты х, у, z этой проекции при условии, что

	r1 = {x1, у1, z1,}, n = {А; В; С}.
1143.	Найти радиус-вектор проекции точки М1(r1) на прямую r = r0 + at. Вычислить также
координаты х, у, z этой проекции при условии, что
	r1 = {x1, у1, z1,},	r0 = {x0; у0; z0}, а = {l; т; п}.
1144.	Вычислить расстояние d точки Ml(rl) от прямой rn + D = 0. Выразить расстояние d также в
координатах при условии, что
	r1 = {x1, у1, z1,},	r0 = {x0; у0; z0}, а = {l; т; п}.
1145.	Вычислить кратчайшее расстояние d между двумя скрещивающимися прямыми:
	r = r1 + a1t		и	r = r2 + a2t.
Выразить расстояние d также в координатах при условии, что
	r1 = {x1, у1, z1,},			r2 = {x2, у2, z2,},
	а1 = {l1; т1; п1},			а2 = {l2; т2; п2}.
1146.	Доказать, что уравнение

(r — r0)2 = R2

определяет сферу с центром С(r0) и радиусом, равным R (т. е., что этому уравнению удовлетворяет радиус-вектор r точки М в том и только в том случае, когда М лежит на указанной сфере).

1147. Найти радиус-векторы точек пересечения прямой r = at

и сферы

r2 = R2.

Вычислить также координаты точек пересечения при условии, что

а = {l; т; п}.

1148. Найти радиус-векторы точек пересечения прямой r = r0 + at

и сферы

(r — r0)2 = R2.

Вычислить также координаты точек пересечения при условии, что

	r0 = {x0; у0; z0}, а = {l; т; п}.
1149.	Точка M1(r1) лежит на сфере
	(r — r0)2 = R2.
Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М1.
1150.	Составить уравнения сферы, которая имеет центр С(r1) и касается плоскости rn + D = 0.
Написать уравнение этой сферы также в координатах при условии, что
	r1 = {x1, у1, z1,}, п = {А; В; С}.
1151.	Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере

r 2 = R2

и параллельных плоскости

rn + D = 0.

Написать уравнения этих плоскостей также в координатах при условии, что

п = {А; В; С}.

1152. Через точки пересечения прямой

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

r = r0 + at

и сферы

(r — r0)2 = R2

проведены касательные плоскости к этой сфере. Составить их уравнения. Написать уравнения этих плоскостей также в координатах при условии, что

r0 = {x0; у0; z0}, а = {l; т; п}.