Исследование упругих и прочностных свойств слоистого композиционного материала

Методические указания

к курсовой работе «Исследование упругих и прочностных свойств слоистого композиционного материала»

по курсу «Механика композиционных материалов»

Составители:

В.А.Салов

С.А.Солдатов

2006

ВВЕДЕНИЕ

С целью закрепления знаний, полученных студентами при изучении курса «Механика композиционных материалов», и приобретения ими практических навыков самостоятельной работы выполняется данная курсовая работа. В работу включены задачи, относящиеся к различным разделам макромеханики. Необходимо исследовать влияние углов армирования слоистого композиционного материала на его упругие характеристики; решить обратную задачу по поиску параметров структуры удовлетворяющей заданным условиям жесткости; построить диаграмму деформирования материала заданной структуры и определить предел прочности при одноосном растяжении; решить температурную задачу. Подобные задачи, в том или ином виде, встречаются в расчетной практике проектирования различных конструкций из композиционных материалов, и умение их решать является для студента необходимым базисом при последующем применении курса «Механика композиционных материалов».

ЗДАНИЯ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

Задача 1

Дан композиционный материал, состоящий из 3-х однонаправленных слоев, первый из которых постоянно ориентирован вдоль (или перпендикулярно ) оси Х, а два других слоя образуют с этой осью углы ± φ.

Построить зависимость упругих характеристик слоистого материала от угла ориентации φ (φ меняется от 0 до п/2 ). Построить графики Е_х(φ), Е_y(φ), G_xy(φ), μ_yx(φ). Исходные данные задачи приведены в таблице 1.2.

Задача 2

Определить необходимую толщину слоев с углами ±φ, при которых выполнялось бы условие Е_x = Е_y . Толщина постоянного слоя и угол ориентации, а также значения углов ±φ и характеристики материала приведены в таблице 1.2.

Задача 3

Для материала заданной структуры построить диаграмму деформирования при одноосном растяжении σ_x(ε_x) и определить предел несущей способности. Исходные данные приведены в таблице 1.2.

Задача 4

Слоистый композиционный материал заданной структуры расположен между двумя параллельными неподвижными поверхностями. Определить напряженно-деформированное состояние материала при нагреве его на Т градусов. Считать, что упругие постоянные слоя от температуры не зависят, а материал деформируется линейно. Исходные данные приведены в таблице 1.3.

ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МАКРОМЕХАНИКИ

СЛОИСТЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Рассмотрим композиционный материал состоящий из К однонаправленных слоев с толщиной отдельного слоя h_i и углом армирования φ_i (рис.1).

Физические соотношения для слоистого материала можно записать в виде

;

; (1)

;

где

;

;

;

;

;

;

;

;

;

; .

Приведенные соотношения можно представить в форме, разрешенной относительно средних деформаций пакета т.е.

(2)

Здесь

;

;

;

; ;

; ;

; ;

;

;

;

Для материала с симметричной структурой коэффициенты B₁₃= B₃₁= B₂₃= B₃₂ = 0. Кроме того, модули упругости и коэффициенты Пуассона в этом случае определяются формулами

; ; ; ;

(3)

; .

Деформации пакета связаны с деформациями слоев соотношениями

;

; (4)

.

Здесь деформации , , соответствуют направлениям вдоль и поперек армирования « i » слоя. Физические соотношения с учетом температуры для элементарного слоя имеют вид

;

; (5)

.

Где

; ;

T_i - изменение температуры « i » слоя.

ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ ЖЕСТКОСТИ

( Задача 1 )

Рассмотрим порядок определения модулей упругости материала E_x(φ), E_y(φ), G_xy(φ) на конкретном примере. Пусть имеется композиционный материал, состоящий из трех слоев, характеристики которых соответствуют материалу №1 таблицы 1.2.

E₁ = 65000 MPa, E₂ = 8500 MPa, G₁₂ = 4200 MPa, коэфф. Пуассона μ₂₁ = 0.26

Толщины слоев и углы армирования имеют значения

h₁ = 2мм, h₂ = 2мм, h₃ = 3.2мм, φ₁ = +φ°, φ₂ = −φ°, φ₃ = 90°.

Для построения зависимости жесткостных характеристик материала от углов армирования воспользуемся выражениями (3). При этом коэффициенты B_ij определяются по формулам, приведенным в (1).

Предварительно найдем коэффициент Пуассона μ₁₂ и модули , , G₁₂ по формулам (5).

μ₁₂=0.26 × 8500/65000=0.034,

Е₁ = 65000/(1-0.034×0.26) = 6.55797×10­­­­⁴ МПа,

Е₂ = 8500/(1-0.034×0.026) = 8.57581×10³ МПа,­­

Определяем относительные толщины слоев

h₁ = h₂ = 2/(2+2+3) = 0.28571

h₃ = 3/ (2+2+3) = 0.42857

Задавая различные углы φ для слоев 1 и 2, например ±φ = 0°, 15°, 30°, и т.д., при этом слой 3 имеет постоянный угол равный 90°, вычисляем коэффициенты В₁₁, В₁₂, В₂₂, В₃₃, а затем и искомые модули упругости. Приведем пример жесткостей пакета при φ = ±35°.

В₁₁ = 2×0.28571×(65579.7×0.45025 + 8575.81×0.10823 + 2×(65579.7×0.034 + 2×4200)×0.32899×0.67101) +

0.42857×8575.81×1 = 23760.4 МПа,

B₁₂=B₂₁=2×0.28571×(65579.7×0.034 + (65579.7 + 8575.81 - 2×(65579.7×0.034 + 2×4200)×0.32899×0.67101)) = 8902.35 МПа,

B₂₂=2×0.28571×(65579.7×0.10823 + 8575.81×0.45025 + 2×(65579.7×0.034 + 2×4200)×0.32899×0.67101) +

0.42857×8575.81×1 = 37049.8 МПа,

B₃₃=2×0.28571×((65579.7 + 8575.81 - 2×65579.7×0.034)×0.32899× 0.67101 + 4200×0.11698) + 0.42857×4200×1 = 10872.6 МПа.

Модули упругости E_x , E_y , G_xy :

E_x = 23760.4 – (8902.35)²/37049.8 = 21621.4 МПа,

E_y = 37049.8 – (8902.35)²/23760.4 = 33714.4 МПа,

Gxy = 10872.6 МПа.

Коэффициент Пуассона μyx = 0.24028

Аналогично вычисляются характеристики материала для других значений углов φ. Результаты расчета сведены в таблицу 1.1.

Таблица 1.1

φ°	0	15	30	45	60	75	90
Ex [МПа]	40998	36569	25581	15011	9847	8593	8500
Ey [МПа]	32885	32841	33201	36202	46126	59596	65000
Gxy [МПа]	4200	6089	9867	11757	9867	6089	4200
μyx	0.0675	0.1237	0.2226	0.2345	0.1526	0.067	0.034

На (рис.2) приведены зависимости модулей упругости материала и коэффициента Пуассона от угла армирования слоев 1 и 2.

Рис.2.

Построение диаграммы деформирования при одноосном нагружении.

( Задача 3 )

В задаче 3 курсовой работы необходимо построить диаграмму деформирования заданного композиционного материала при одноосном растяжении. При построении диаграммы деформирования можно воспользоваться следующей схемой [1].

1. Пусть известны безмоментные напряжения σ_x , σ_y , τ_xy возрастающие пропорционально некоторому параметру k. Тогда с помощью равенств (2) можно найти деформации ε(k), ε(k), γ(k) на первом этапе нагружения.

2. По найденным деформациям с помощью геометрических соотношений (4) определяются относительные деформации слоев, по которым с помощью закона Гука (5) находятся напряжения в слоях.

3. Определяется значение параметра нагрузки k, при котором в некотором наиболее нагруженном слое (например с номером m ) начинается образование трещин. Для определения этого момента можно воспользоваться следующими критериями прочности. Для связующего прочность материала определяется по критерию Хилла

,

или, учитывая, что связующее разрушается уже на ранних этапах нагружения, по критерию

(6)

Здесь , , - пределы прочности материала слоев вдоль направления армирования, поперек и при чистом сдвиге. Причем, пределы прочности должны соответствовать знаку напряжений, действующих в слоях.

4. При дальнейшем нагружении параметр нагрузки k отсчитывается от значения k₁ , а деформации – от значений, также соответствующих k=k₁ .

Для определения жесткости пакета при вычислении коэффициентов B_ij следует в слагаемых , соответствующих слою с номером m , принять

при σ₂ > 0 или

при σ₂ < 0 .

Далее находятся напряжения в слоях при k > k₁ и по ним устанавливают значение параметра k₂ , при котором произойдет разрушение связующего в следующем слое с номером n и вновь расчет повторяется, но уже с учетом разрушения связующего в двух слоях.

Таким образом, зависимость деформаций от нагрузки имеет вид ломаной, причем точки излома соответствуют моментам разрушения связующего в отдельных слоях. Описанный процесс продолжается до момента разрушения волокон в каком-либо слое. При этом прочность слоя вдоль волокон определяется первой теорией прочности т.е.

Соответствующая этому моменту нагрузка принимается разрушающей для материала.

Рассмотрим пример построения такой диаграммы. Свойства материала слоев взяты из задачи 1. Толщины слоев равны h₁=h₂=2мм, h₃=3.2мм, углы φ₁=+50°, φ₂=−50°, φ₃=90°. Определим упругие характеристики пакета через вычисление обобщенных жесткостей B_ij .

Е_x=12607 МПа, μ_yx=0.2062 .

Согласно изложенной выше методике, приложим к пакету в направлении оси X напряжения σ_x = σ. Учитывая, что напряженное состояние является одноосным, можно не вводить параметр k , а непосредственно оперировать с напряжениями σ .

Найдем деформации пакета при действии напряжений с помощью закона Гука (2)

По деформации пакета, используя соотношения (4) , определяем деформации отдельных слоев. Условимся в дальнейшем все напряжения и деформации, относящиеся к слоям 1 и 2, обозначать индексом « 1 », а к слою 3 – индексом « 3 ».

По закону Гука (5) найдем напряжения в слоях

Определяем напряжения σ , при которых произойдет разрушение волокон или связующего в слоях. Для волокон используем критерий

. Отсюда имеем

- для слоев 1 и 2

или

- для слоя 3

или

.

Для связующего воспользуемся критерием (6). Тогда получим для слоев 1 и 2

или

- для слоя 3

или

Сравнивая полученные результаты можно, сделать вывод, что на первом этапе нагружения, произойдет разрушение связующего в слоях 1 и 2 при значении . В этом случае деформации пакета и напряжения в слоях будут

При дальнейшем нагружении материала напряжениями σ > σ^* будем считать, что в слоях 1 и 2 E₂ = G₁₂ = μ₁₂ = 0. Тогда коэффициенты упругости B_ij примут значения

Подставляя коэффициенты упругости в (3), получим новый модуль упругости E_x и коэффициент Пуассона μ_yx

С помощью соотношений (2) определяем приращение деформаций и напряжений в слоях, причем последние с использованием выражений (4), (5).

Имеем

Здесь - приращение напряжений. Суммарные деформации и напряжения в слоях в этом случае будут

С помощью критериев прочности определяем напряжения, при которых происходит разрушение волокон и связующего. Для волокон имеем:

- слои 1 и 2

или

- слой 3

или

Разрушение связующего в слое 3 произойдет при напряжениях, определяемых с помощью критерия (6)

или

Таким образом, как следует из проведенных расчетов, на втором этапе нагружения произойдет разрушение связующего в слое 3 при значениях

В этом случае деформации материала и напряжения в слоях будут

При последующем нагружении материала напряжениями необходимо положить в слое 3 . Затем вновь определить коэффициенты упругости материала

Модуль упругости Е_х и коэффициент Пуассона μ_yx

и, наконец, приращения напряжений и деформаций в слоях

Тогда суммарные деформации и напряжения в слоях станут равными

С помощью критерия прочности для волокон определяем разрушающие напряжения

- в слоях 1 и 2

или

- в слое 3

Или

Отсюда следует, что разрушение материала произойдет при напряжениях из-за разрушения волокон слоев 1 и 2. Соответствующие суммарные деформации материала будут

Проведенные расчеты позволяют построить диаграмму деформирования материала, вид которой представлен на (рис. 3).