Функции комплексного переменного / пФКП
.DOCКазанский государственный энергетический университет
Кафедра «Высшей Математики»
ПРАКТИКУМ
по теме «Элементы теории функций комплексной переменной»
Методические указания к выполнению расчетного задания.
Опр. Комплексной функцией комплексной переменной (ФКП) наз. правило соответствия между элементами двух множеств, когда каждому значению переменной z = x + iy из множества D сопоставляется одно или несколько значений w = u + iv из множества W. D – область определения, W – область значений функции w = f(z).
Если w = u + i v есть функция от z = x + iy , то u и v являются действительными функциями от х, у и наоборот, всякое выражение w =u(x,y)+i v(x,y) есть ФКП от z =x + iy.
Геометрический смысл функция f(z) - отображать плоскость z в плоскость w . При этом линии и фигуры, описанные изменяющейся z , переходят в линии и фигуры совершенно другой конфигурации.
Задание 1 Дана функция f(z) = 3z3 – 2i, где z = x + i y. Найти её значение при z = 1 - i.
Решение.
f(1 – i) = 3(13 – 3i + 3i2 – i3) – i = - 2 – 3 i
Задание 2 Какие кривые заданы уравнением Re ( z2 – 4z* ) = 5 ?
Пусть имеется равенство f(z) = a + ib . Оно сразу приводит к двум соотношениям Re f(z) = a и Im f(z) = b, которые связывают переменные х и у и, следовательно, определяют некоторые линии на координатной плоскости F1(x,y) = 0 , F2(x,y) = 0. В результате получаем комплексного представления кривых на плоскости .
Решение. z2 – 4z* = (x + i y)2 – 4(x – i y) = ( x2 – y2 – 4x ) + i ( 2xy + 4 ) ,
Re ( z2 – 3z* ) = 5 x2 – y2 – 4x = 5 . Это уравнение кривой второго порядка. Приведем его к полному квадрату. ( x2 – 2x2 + 4) – y2 = 9 (x – 2)2 – y2 = 9
Получаем каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в точке (2;0) и полуосями a = b = 3 .
Задание 3 Является ли дифференцируемой функция f(z) = e-x cos y - i e-x sin y ?
Опр. Производная однозначной ФКП w = f(z) определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента
lim = при ( 1 )
Если предел существует и не зависит от способа стремления к нулю, то функция
w = f(z) наз. аналитической в окрестности точки z .
Процесс определяют два процесса , и движение от точки z +z к точке z может происходить по произвольной кривой. Требование независимости
предела от способа стремления к нулю приводит к условиям Коши – Римана
, ( 2 )
Если ФКП w = u(x,y) + i v(x,y) можно представить как функцию одной независимой переменной z = x + iy, то она является аналитической за исключением отдельных точек. Это эквивалент условию Коши – Римана.
Решение.
1 способ. Проверка выполнения условий Коши – Римана: u = e-x cos y, v = - e-x sin y,
= - e-x cos y, = - e-x cos y да , = - e-x sin y , = e-x sin y да
2 способ. Представим f(z) как функцию одной переменной z . В таблице для элементарных функций находим ez = ex ( cos y + i sin y ) f(z) = e-x cos y - i e-x sin y = e- z
Задание 4 Дана действительная часть функции u = x3– 3xy2 + 1. Найти f(z), если f(0) = 1.
Функция u(x,y) должна быть гармонической, т.е. 6x = -(-6x). Общая идея: Вычисляем , . Эти производные по условиям Коши-Римана меняем на ,. Полученные дифференциальные уравнения интегрируем и находим v(x,y).
Решение. Вычислим = - 6xy . Заменим по условию Коши-Римана на - . Проинтегрируем дифференциальное уравнение = 6xy dv = 6xy dx v(x,y) = 3yx2 + h(y), где h(y) - произвольная функция у. Вычислим = 3x2 + h`(y) . Заменим по условию Коши –Римана на : = 3x2 + h`(y) , но
= ( x3 – 3xy2 + 1) = 3x2 – 3y2 . Сравнение производных дает h`(y) = – 3y2 или dh = – 3y2dy h(y) = - y3 + C или v(x,y) = 3yx2 – y3 + C .
Ответ. f(z) = (x3 – 3xy2 + 1) + i(3yx2 – y3) + C = (x + iy)3 + 1 + C = z3 + C
Условие f(0) = 1 определяет константу C = 1 .
Задание 5 Вычислить интегралы:
а) J = (z2 + 1) dz , где АВC – ломаная, zA = 0, zB = -1+ i , zC = i .
б) J = z|z| dz , где L : |z| = 1, Im z > 0
а) Решение. Способ 1 Общая формула J = u dx – v dy + iv dx + u dy ( 3 )
f(z) = (x + iy)2 + 1 = (x2 - y2 + 1) + i(2xy), АВС = АВ + ВС
АВ: y = -x, dy = -dx, 0x-1, u = 1 , v = - 2x2
JАВ = = -1/3 + 5i/3
BC: y = 1, dy = 0, -1x0 , u = x2 , v = 2x
JBC = = 1/3 – i , J = JАВ + JBC = 2i/3
Способ 2 По формуле Ньютона-Лейбница f(z) dz = F(b) - F(a) ( 4 )
J = = []|0i = 2i/3
б) Решение. Способ 1 Общая формула: J = u dx – v dy + iv dx + u dy ( 3 ) f(z) = z|z| = (x + iy)= x + i y
L: x2 + y2 = 1 y = , dy =, 1x-1, u = x, v = y
J = - + i { + } = 0 + i =
= = i = i =
= i ½ sin 2t = 0
Способ 2 Представим z в показательной форме z = reit , тогда dz = eitdr + ir eitdt ( 5 )
L: |z| = 1, Im z > 0 r = 1 , dr = 0 , ,
J = z|z| dz = = ½ i = ½ i(cos 2t + isin 2t) = 0
Задание 6 Разложить в ряд Лорана по степеням z функцию f(z) =
Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей
= = - []
и приведем их к общему знаменателю
A(z2 – 5z – 50) + Bz(z2 – 5z – 50) + C z2(z – 10) + D z2(z + 5) = -(5z + 100)
z3 | B + C + D = 0 A = 2
z2 | A - 5B – 10C + 5D = 0 Решение системы B = - 0,1
z1 | -5A – 50B = -5 линейных уравнений: C = 0,2
z0 | -50A = -100 D = - 0,1
f(z) = =
Имеем суммы двух геометрических прогрессий , с q = -z/5, q = z/10
f(z) = - 0,04 - 0,01.
Из условий сходимости |-z/5| < 1 , |z/10| < 1 |z| < 5 , |z| < 10 .
Ответ: Функция f(z) имеет полюс 2 порядка в точке z = 0 и определена в круге 0 < R< 5 . Вычет функции, т.е. коэффициент А -1 при 1/z , равен 0,1 .
Задание 7 Вычислить интеграл J = , где L : | z | = 2
Решение. Функция f(z) имеет точки разрыва при z = 0 , z = . Т.к. sin x x при малых х, то эти точки являются полюсами 1 порядка. В круг радиуса R = попадает только один полюс z = 0 и интеграл равен вычету A -1 в этом полюсе
J =f(z) dz = 2i A -1 = () ( 6 )
Если а полюс 1 порядка, то вычет А -1 = lim f(z)(z – a) при za ( 7 )
A -1 = = z = = , т.к. = 1
Задание 8a Вычислить интеграл J = dz , где L : | z | = 1
Решение 1. Функция f(z) при z = 0 имеет неопределенное значение {0/0}. Определим порядок полюса. Общая формула: функция f(z) имеет полюс порядка k в точке а,
если при za lim (z – a)k f(z) = c – конечное число ( 8 )
Пусть k = 1, тогда при z0 lim z f(z) = lim = lim = ½ lim= ½ ,
т.е. имеем полюс порядок 1 и по ( 7 ) А -1 = ½ . Полюс z = 0 попадает в круг R 1, и интеграл равен вычету в этом полюсе
J =f(z) dz = 2i A -1 = (i)
Решение 2. Функцию f(z) представим в виде ряда по степеням z
f(z) = =[-1 + 1 -+ - . . . ] = ½ + . . . A -1 = ½
Задание 8b Вычислить интеграл J = dz , где L : | z | = 1/3 .
Решение 1. Общая формула для вычисления вычета в полюсе порядка n в точке а
res f(z) = lim при z a ( 9 )
В нашем случае функция f(z) имеет полюс 2 порядка при z = 0
A -1 = = == -1
Полюс z = 0 попадает в круг R1/3 и интеграл равен вычету в этом полюсе
J =f(z) dz = 2i A-1 = -2i
Решение 2. Представим f(z) в виде разложения по степеням z
f(z) = = ½ - + A -1 = -1
Задание 9 Вычислить несобственный интеграл J = .
Решение. Функция f(x) = = аналити-
ческая в верхней полуплоскости, за исключением полюса 3 порядка в точке 2i . Проверка условия Жордана: lim z2f(z) = c – конечное число при |z| (10 )
lim z2f(z) = lim = lim = { z = r eit } =
= lim= 0 (да) интеграл равен вычету в точке z = 2i.
Вычислим 2-ю производную от функции [(z – 2i)3 f(z)] == (z + 2i)-3,
[(z + 2i)-3]` = -3(z + 2i)-4, [-3(z + 2i)-4]` = 12(z + 2i)-5 и найдем вычет по формуле ( 9 )
A -1 = == . Ответ: J = = 2i A -1 =