Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

329- Теория вероятностей и математическая статистика_под ред Кибзуна А.И_2002 -224с

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
23.08.2019
Размер:
8.61 Mб
Скачать

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ

М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с.

Книга предназначена для начального ознакомления с основами теории вероятностей и математической статистики и развития навыков решения практических задач.

Основное внимание уделяется краткости изложения полного курса «Теории вероятностей и математической статистики», состоящего из теоретического и практического материала. Структура изложения максимально приближена к лекционным и практическим занятиям. Пособие может одновременно играть роль учебника, задачника и справочника.

Для преподавателей ВУЗов, инженеров и студентов технических и экономических специальностей.

СОДЕРЖАНИЕ

 

Предисловие редактора

6

Предисловие

7

Список основных сокращений и обозначений

10

Глава I. Случайные события

13

§ 1. Основные понятия

13

1.1. Пространство элементарных событий (13). 1.2. Алгебра событий

 

(14). 1.3. Вероятность события (15).

 

§ 2. Основные свойства вероятности

17

2.1. Аксиоматические свойства (17). 2.2. Свойства вероятности для

 

полной группы событий (19). 2.3. Типовые задачи (21).

 

§ 3. Основные формулы вычисления вероятностей

30

3.1. Формула умножения вероятностей (30). 3.2. Формула сложения

 

вероятностей (32). 3.3. Формула полной вероятности (33). 3.4.

 

Формула Байеса (33). 3.5. Формула Бернулли (34). 3.6. Типовые

 

задачи (35).

 

§ 4. Задачи для самостоятельного решения

42

Глава II. Случайные величины

53

§ 5. Основные понятия

53

5.1. Функция распределения (53). 5.2. Дискретные случайные

 

величины (54). 5.3. Непрерывные случайные величины (56). 5.4.

 

Числовые характеристики случайных величин (58). 5.5.

 

Характеристическая функция (61). 5.6. Квантиль (62). 5.7. Типовые

 

задачи (63).

 

§ 6. Основные дискретные распределения

68

6.1. Биномиальное распределение (68). 6.2. Распределение Бернулли

 

(70). 6.3. Распределение Пуассона (71). 6.4. Типовые задачи (73).

 

§ 7. Основные непрерывные распределения

76

7.1. Равномерное распределение (76). 7.2. Экспоненциальное

 

распределение (78). 7.3. Нормальное распределение (79). 7.4.

 

Распределение Вейбулла (82). 7.5. Логарифмически нормальное

 

распределение (83). 7.6. Типовые задачи (84).

 

§ 8. Задачи для самостоятельного решения

87

Глава III. Случайные векторы

93

§ 9. Двумерные случайные величины

93

9.1. Функция распределения (93). 9.2. Плотность распределения (96).

 

9.3. Типовые задачи (99).

 

§ 10. Условные распределения

105

10.1. Условная функция распределения (105). 10.2. Условная

 

плотность распределения (107). 10.3. Условное математическое

 

ожидание (109). 10.4. Корреляционная зависимость (111). 10.5.

 

Двумерное нормальное распределение (113). 10.6. Типовые задачи

 

(114).

 

§ 11. Многомерные случайные величины

119

11.1. Основные характеристики многомерных СВ (119). 11.2.

 

Многомерное нормальное распределение (122). 11.3. Биржевой

 

парадокс (123). 11.4. Типовые задачи (125).

 

§ 12. Задачи для самостоятельного решения

128

Глава IV. Случайные последовательности

132

§ 13. Закон больших чисел

132

13.1. Виды сходимости последовательностей СВ (132). 13.2.

 

Сходимость усредненной суммы независимых СВ (135). 13.3.

 

Типовые задачи (138).

 

§ 14. Центральная предельная теорема

141

14.1. Сходимость нормированной суммы независимых СВ (141). 14.2.

 

Сходимость частоты (144). 14.3. Типовые задачи (146).

 

§ 15. Задачи для самостоятельного решения

149

Глава V. Математическая статистика

152

§ 16. Основные выборочные характеристики

152

16.1. Основные понятия (152). 16.2. Вариационный ряд (153). 16.3.

 

Выборочная функция распределения (154). 16.4. Гистограмма (156).

 

16.5. Выборочные моменты (157). 16.6. Типовые задачи (159).

 

§ 17. Основные распределения в статистике

161

17.1. Распределение хи-квадрат (161). 17.2. Распределение Стьюдента

 

(162). 17.3. Распределение Фишера (164).

 

§ 18. Точечные оценки

165

18.1. Основные понятия (165). 18.2. Метод максимального

 

правдоподобия (169). 18.3. Метод моментов (172).

 

§ 19. Интервальные оценки

173

19.1. Основные понятия (173). 19.2. Использование центральной

 

статистики (174). 19.3. Использование точечной оценки (180). 19.4.

 

Типовые задачи (182).

 

§ 20. Проверка статистических гипотез

183

20.1. Основные понятия (183). 20.2. Проверка гипотезы о значении

 

параметра (185). 20.3. Проверка гипотезы о виде закона распределения

 

(186). 20.4. Проверка гипотезы о независимости двух СВ (188). 20.5.

 

Проверка гипотезы об однородности наблюдений (189). 20.6. Типовые

 

задачи (190).

 

 

§ 21. Задачи для самостоятельного решения

 

196

Глава VI. Приложения математической статистики

198

§ 22. Регрессионный анализ

 

198

22.1. Модели регрессии (198). 22.2. Схема Гаусса-Маркова (199). 22.3.

 

Простая линейная регрессия (201). 22.4. Типовые задачи (204).

 

§ 23. Метод статистических испытаний

 

205

23.1. Основные понятия (205). 23.2. Вычисление вероятности события

 

(205). 23.3. Вычисление определенного интеграла (208). 23.4. Типовые

 

задачи (211).

 

 

§ 24. Задачи для самостоятельного решения

 

212

Ответы

 

213

Таблицы

 

216

Список литературы

 

219

Предметный указатель

 

221

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

 

Аксиомы теории вероятностей 16

Группировка выборки 156

 

Алгебра Буля 15

Диаграммы Венна 14

 

— событий 15

Дисперсия выборочная 157

 

Биржевой парадокс 124

— — несмещенная 158

 

Вероятность доверительная 174

— случайной величины 59

 

— события 16

Доверительная область 183

 

— — апостериорная 34

Доверительный интервал 174

 

— — априорная 33

— — право (лево) сторонний 174

 

— — условная 19

— — центральный 174

 

Выборка неоднородная 152

Закон больших чисел 135

 

— однородная 152

— — — усиленный 136

 

Выборочная дисперсия 157

— распределения СВ 53

 

— квантиль 154

Информация Фишера 167

 

Выборочное среднее 157

Квантиль 62

 

Выборочные начальные и

— выборочная 154

 

центральные моменты 157

Ковариация 111

 

Гамма-функция 83

Коэффициент корреляции 111

 

Гипотеза 19

— — выборочный 158

 

— о виде закона распределения 186

Кривая Гаусса 77

 

— — значении параметра 185

— регрессии 109

 

— — независимости 188

Кривые Пирсона 161

 

— об однородности 189

— Стьюдента 163

 

— статистическая 183

— Фишера 164

 

Гистограмма 156

Критерий статистический 183

 

Группа событий полная 19

— хи-квадрат (Пирсона) 186, 188,

 

189

— точечная (выборочная) 165

— эффективности 168

— эффективная 166

Критическая область 183

R-эффективная 168

Линия регрессии 204

Ошибка 1-го (2-го) рода 184

ММ-оценка 172

— предсказания

МНК-оценка 199, 202

среднеквадратическая 203

МП-оценка 169

План эксперимента 198

Математическое ожидание СВ 58

Плотность распределения

— — условное 109, 110

(вероятности) двумерной СВ 96

— — n-мерной СВ 119

— — двумерной нормально

Матрица ковариационная 119

распределенной СВ 113

— корреляционная 120

— — случайной величины 56

— ортогональная 175

— — условная 107

— плана 199

— — n-мерной СВ 119

— регрессионная 199

Полигон частот 157

Медиана 62

Поправки Шеппарда 188

Метод максимального

Порядковая статистика 153

правдоподобия 170

— экстремальная 153

— моментов 172

Правило « k сигм» 82

— наименьших квадратов 199, 202

Пространство выборочное 152

— статистических испытаний

— элементарных событий 13

(Монте-Карло) 205

Прямая среднеквадратической

Многоугольник распределения 55

регрессии 204

Моменты случайной величины

Разряд 156

начальные 59

Распределение Бернулли 70

— — — — выборочные 157

— Вейбулла 82

— — — центральные 59

— Коши 163

— — — — выборочные 157

— Пуассона 71

Неравенство Рао-Крамера 168

— Стьюдента 162

— Чебышева 134

— Фишера 164

Область доверительная 183

— биномиальное 68

— критическая 183

— логнормальное 83

Опыт 13

— нормальное (гауссовское) 79

— сводящийся к схеме случаев 19

— равномерное 76

Отклик 198

— треугольное (Симпсона) 99

Оценка интервальная 174

— хи-квадрат 161

— максимального правдоподобия

— экспоненциальное 78

169

Реализация выборки 152

— метода моментов 172

— случайной величины 53

— — наименьших квадратов 199, 202

Регрессия 109

— несмещенная 165

— параболическая 200

— робастная 203

— простая линейная 201

— состоятельная 166

Регрессор 198

— — сильно 166

Решающее правило 183

Ряд вариационный 153

— элементарное 13

— распределения 54

Событий произведение 14

— статистический 156

— разность 14

Свойство счетной аддитивности

— сумма 14

вероятности 32

События независимые 30

— устойчивости частоты 13, 16

— — в совокупности 30

Система уравнений метода моментов

— — попарно 30

172

— несовместные 14

—— — правдоподобия 170

— равные 14

Случай 19

Среднее выборочное 157

— благоприятствующий событию 19

— значение СВ 58

Случайная величина 53

— квадратическое отклонение СВ 59

— — абсолютно непрерывная 56

Статистика 153

— — двумерная 93

— порядковая 153

— — — дискретная 95

— — экстремальная 153

— — — непрерывная 96

— центральная 174

— — дискретная 54

Статистическая гипотеза 183

— — непрерывная 56

— — альтернативная 183

— — нормальная (гауссовская) 79

— — основная 183

— — — стандартная 80

— — простая 183

— — нормированная 59

— — сложная 183

— — сингулярная 56

Статистическая модель 153

— — центрированная 59

— — параметрическая 153

— — n-мерная 119

— — — регулярная 167

— — — нормально распределенная

Статистический критерий 183

122

Схема Бернулли 33

Случайная последовательность 135

— Гаусса-Маркова 199

— — независимых СВ 131

Сходимость случайной

Случайные величины

последовательности в среднем

коррелированные 111

квадратическом 134

— — —отрицательно 112

— — — по вероятности 133

— — — положительно 112

— — — — распределению 132

— — независимые 95, 120

— — — почти наверное 133

— — некоррелированные 111

Теорема Бернулли 137

— — — попарно 120

— Гаусса-Маркова 199

Случайный вектор 93

— Гливенко-Кантелли 155

Событие 13, 16

— Колмогорова 137

— достоверное 14

— Ляпунова 142

— невозможное 13

— Муавра-Лапласа 144

— почти никогда не происходящее

— — интегральная 145

17

— — локальная 145

— происходящее почти наверное 17

— Пуассона 72

— противоположное 14

— Фишера 176

— случайное 13, 16

— Чебышева 136

— о нормальной корреляции 114

Функция Лапласа 80

— центральная предельная 141

— единичная ступенчатая

Уровень доверия 174

(Хевисайда) 55

— значимости 184

— правдоподобия 166

— надежности 174

— — логарифмическая 167

Условие Ляпунова 141

— распределения

— независимости 72

— — выборочная (эмпирическая) 155

— нормировки 55, 56, 95

— — двумерной СВ 93

— ординарности 72

— — случайной величины 53

— стационарности 72

— — условная 105

Условная плотность распределения

— — n -мерной СВ 119

(вероятности) 107

— теоретической регрессии 198

— функция распределения 105

— характеристическая 61

Формула Байеса 34

Центральная предельная теорема 141

— Бернулли 34

Частота события 15

— классическая вычисления

— «успехов» 137, 144

вероятности 20

Число испытаний гарантирующее

— полного математического

206

ожидания 110

— перестановок 23

— полной вероятности 33

— сочетаний 28

— свертки плотностей 98

σ-алгебра 16

— сложения вероятностей 32

 

— умножения вероятностей 30