Тонкослоистые пласты

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
266	Пракmuческuе аспекты геофизических исследований скважин

у

а

х

Рис. А4. 1. Уравнение прямой линии

Дифференциалы большинства функций, с которыми приходится стал­

киваться инженеру, можно запомнить наизусть или найти в математи­

ческих справочниках. В таблице A4.1 приводятся основные функции,

скоторыми во время работы приходится встречаться специалисту. Возможно также взять дифференциал функции dy/dx, который в дан­

ном случае записывается как cf2y/dx2 или d/dx(dy/dx). В случае если фун­

кция зависит более чем от одной переменной, ситуация может быть не­ сколько более сложной. Рассмотрим функцию:

t=axx+bxy.

Чтобы получить dtJdx, необходимо также знать, как у будет изменять­ ся по мере изменения х, и будет ли меняться вообще. В большинстве ин­ женерных приложений х и у могут представлять собой такие параметры, как давление или температура, которые можно контролировать в лабора­ торных условиях. Когда нужно вывести дифференциал по одной перемен­

ной при сохранении остальных переменных неизменными, используют

Таблица А4.1

ФуНКЦИII

dyjdx

у = х" + а (n "'О)

у=е"

У = lп(х) (ln - натуральный логарифм с основанием е)

у= sin(x) (х - в радианах = град х 11/180)

у= cos(x) (х - в радианах = град х 11/180)

у= tg(x)

n х х"-]

е"

l/x

cos(x)

-sin(x)

sec2(x) (sec = l/cos)

у= аХ

аХ log(a)

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943	267
Вспомогательные теоретические материалы по математике

специальное условное обозначение. Так, частный дифференциал функции t по переменной х при сохранении постоянной переменной у обозначается

дt/дх или, иногда, дt/дхlу.

Для данной функции дt/дх = а, постоянные члены при дифференциро­

вании становятся равными нулю.

Интегрирование представляет собой процедуру, противоположную

дифференцированию. Тогда как дифференцирование функции одной переменной дает градиент графика зависимости у от х, интегрирование функции дает площадь под графиком (от кривой до оси у = О).

Рассмотрим еще раз функцию у = а х х + Ь. Интеграл от у по перемен­

ной х обозначается как:

fy dx = f(a х х + b)dx = 0,5 х а х х2 + Ьх + с,

где с - константа, а знак f, представляющий собой вытянутую букву

S, указывает на то, что суммирование осуществляется по бесконечно

малым приращениям dx. Поскольку интегрирование противоположно дифференцированию:

f(dy/dx)dx =у + с.

Константа с появляется вследствие того, что градиент (dy/dx) не содер­ жит информации о каком-либо фиксированном смещении у от оси у = О (которое исчезает при дифференцировании).

Чтобы определить площадь под графиком зависимости у от х, необхо­

димо определить начальную и конечную точки х. Они указываются над знаком интеграла и под ним. Такой интеграл называется определенным.

Как и в случае дифференцирования, большинство инженеров запомина­ ют наиболее часто используемые неопределенные интегралы. Некоторые из них приведены в таблице А4.2.

Таблица А4.2

	ФУНКЦИII		fydx
y=x"+a(n;t-l)		(l/n + 1) х х'" 1 + а х х + с
у=е'		е' + с
У = ln(x) ОП - натуральный логарифм с основанием е)		х х Оп(х) -	1) + с
у = l/x		log(x) + с
у = sin(x) (х -	в радианах = град х л1180)	-cos(x) + с
у = cos(x) (х -	в радианах = град х л1180)	sin(x) + с
у= tg(x)		-log(cos(x»	+ с
у= аХ		ax//og(a) + с

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
268	Пракmuческuе аспекты геофизич.еских исследований скважин

Вычисление определенного интеграла состоит в оценке неопределен­

ного интеграла с последующим получением площади под графиком пу­

тем вычитания его значения при начальном х из значения при конечном

х. Следовательно, в нашем примере интеграл функции у = а х х + Ь, оце­

ненный между точками х! и Х2' равен:

('(а х х + b)dx = [0,5 х а х r + Ьх + с] = 0,5 х а х (х22 - х/) + Ь х (Х2 - x j ) .

Х,

Во многих реальных инженерных задачах данные представляются

в дискретном виде (например в процессе каротажа используется шаг

0,5 фута) и не могут быть описаны простыми математическими функци­ ями. Такие данные можно подвергать численному дифференцированию или интегрированию, не прибегая к теории интегрального и дифферен­

циaльHoгo исчисления.

Допустим, необходимо продифференцировать диаграмму гамма-каро­

тажа по глубине. Эта процедура будет заключаться в определении раз­

ностей между всеми парами последовательных значений данных по всей

диаграмме и делении этих разностей на приращение глубины. Взятие

интеграла заключается в сложении последовательных значений данных,

умноженных на приращение глубины.

А4.2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (АНАЛИЗ ФУРЬЕ)

Диаграммы каротажа любого типа можно представить в виде слож­

ной смеси косинусоидальных волн, которые, если взять их в правильных

пропорциях, будут удовлетворять поведению этих диаграмм.

Эти косинусоидальные функции имеют следующий вид:

у, = А; х cos(2 х л х Х/Л; + ф),

где	А;	-	амплитуда компонента i;
	(1/л) или k;	-	волновое число компонента i;
	ф;	-	фаза компонента i.

Если Цх) представляет собой полную диаграмму, можно сказать, что:

Цх) = 'Lyi.

Спектральный анализ - это математическое определение набора А; и ф; как функции k;. Определение спектров выполняется с помощью компью­

терных алгоритмов, которые не являются предметом обсуждения в дан­

ной книге.

Используемые k; находятся в диапазоне от О (соответствует гармоничес­

кой волне бесконечной длины) до 1/шаг проведения замеров (поскольку

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
270	Пракmuческuе аспекты геофизических исследований скважин

музыкального фрагмента, амплитудный спектр соответствовал бы час­

тотному составу этой музыки. Изъятие компонентов частотного спектра

осуществляется аналогично тому, как это делается с помощью графичес­

кого эквалайзера в домашнем стерео. Фильтрация обычно сводится к ма­ нипуляции амплитудным и фазовым спектрами с целью изъятия нежела­

тельных компонентов. Поскольку процесс преобразования является обра­

тимым, из отфильтрованных компонентов может быть составлена новая

«диаграмма» .

А4.3. НОРМАЛЬНОЕ (ГАУССОВО) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Кривая нормального распределения определяется соотношением:

р(х) = [ехр(-0,5 х (х - т)2/а2))/( -/2хп ха).

(А4.1)

Среднее значение этого распределения - т, а дисперсия - а. Эта фун­ Kция изображена на рис. А4.3, где ее среднее значение равно О, а диспер­

сия - 1. Вероятность того, что некое значение находится в диапазоне

между точками Х1 и х2, равна:

р = (2! -/2 хп ) х Гехр(-0,5 х (х - m)2/a2)dx.	(А4.2)
х,

На практике оказывается, что очень многие распределения, встречаю­

щиеся в природе, являются нормальными, так что зачастую бывает доста­

точно рассчитать среднее значение и дисперсию для данного распределе­

ния и впоследствии предполагать, что вероятности новых значений, нахо­

дящихся в рамках заданного диапазона, могут быть получены с помощью

уравнения А4.2.

0,45
0,4
				/\
0,35
				/	\
0,3
				/	\
>< 0,25
				/	\
а: 0,2
				/	\
0,15
				/	\
0,1
			/		\
0,05
			./		.~
О
			-2		2	4
-4				о

х

Рис. А4.3. Нормальное распределение

vk.com/club152685050Вспомогательные| vkтеоретические.com/id446425943материалы по математике 271

В частности, следует отметить, что 68,3% значений попадает в пределы

стандартного отклонения (standard deviation, SD - квадратный корень

из дисперсии), 95,4% - в пределы 2 SD и 99,7% - в пределы 3 SD от сред­

него значения.

А4.4. ВЕКТОРНАЯ МЕХАНИКА

Понимание основ векторной механики существенно для оперирова­

ния векторными составляющими в системе координат скважины, кото­

рое обсуждалось в главе 12. Рассмотрим декартову систему координат,

определяемую тремя ортогональными осями: вектор - это фактически

способ обозначения направлений в терминах, определяющих степень

продвижения по направлениям х, у и z при описании перемещения из од­

ной точки пространства в другую. Поэтому вектор, связывающий начало

координат с точкой А, имеющей координаты (ар а2 , аз), обозначается 1!

и имеет следующие составляющие:

Длина вектора обозначается буквой а и определяется соотношением

J(~2+ ai + а;). Единичным вектором называется вектор, имеющий дли­

ну, равную 1. Чтобы преобразовать а в единичный вектор, его каждую

составляющую следует разделить на J(~2+ ai + а;), и полученный век­

тор должен в дальнейшем обозначаться значком ~. Скалярное произве­

дение двух векторов позволяет определить угол, под которым они нахо­

дятся друг к друту:

1!.~	= а х с х cos(8) = (аl х сl + а2 х с2 + а3 х с3),	(А4.3)
где а	и с - амплитуды одноименных векторов, а 8 -	угол между этими

векторами. Векторное произведение двух векторов создает новый вектор,

ортогональный двум первым (то есть находящийся к ним под прямым уг­

лом). Следовательно:

[	а1]	[С1]	[а2хсз-а3ХС2]
	а2	1\ с2 =	а3хс1-а1хс3 .	(А4.4)
	а3	С3	а1 х с2 - а2 х с1

vk.272com/club152685050Практuческuе аспекты| vk.геофизическихcom/id446425943исследований скважин

Вектор, определенный векторами!! /\ ~, имеет амплитуду а х с х sin(q).

Направление векторного произведения определяется с помощью прави­

ла буравчика вращением от вектора !! к вектору ~. Следовательно, если

вектор!! направлен на север, а ~ - на восток, их векторное произведение

будет направлено к Земле. Особым ориентиром при обследовании сква­

жин является то, что векторное произведение единичного вектора силы

тяжести и вектора, направленного вдоль ствола скважины, представляет

собой горизонтально направленный вектор, повернутый под углом 900

вправо от направления на верхнюю часть скважины в плоскости дат­

чика. Векторное произведение этого вектора и вектора, направленного вдоль ствола скважины, образует вектор, направленный в сторону верх­

ней части скважины.

А4.5. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Для читателя, занимающегося расчетами ценности информации (VOI),

полезно ознакомиться с дополнительной информацией по теории вероят­

ности, позволяющей лучше понять концепции ЕМУ и надежности. Часть

этой информации разъясняется в настоящем разделе. Предположим, вы открыли нефтяное месторождение. С этим месторождением связано

множество неопределенностеЙ. Однако вы создали план разработки мес­

торождения, который намереваетесь воплощать в жизнь, и хотите знать

ожидаемую денежную стоимость (ЕМУ) этого плана.

В зависимости от фактической природы месторождения ваш план может быть либо очень хорошим, либо очень плохим, либо находиться

где-то между этими двумя крайними оценками. Хотя истинная природа

месторождения, очевидно, может иметь бесконечное число различных

состояний, допустим, что существует N возможных состояний, которые

более или менее охватывают весь диапазон возможностей.

Для конкретного состояния i (из N возможных) план разработки мес­

торождения определяет значение NPV(i), являющееся чистой приведен­

ной стоимостью с учетом расходов за весь срок эксплуатации месторож­

дения. Состояние i с вероятностью Ри) близко к истинному состоянию

месторождения. Очевидным является соотношение:

n
L,Pq)=l,O.	(А4.5)
i=1
ЕМУ определяется соотношением:
n
ЕМУ= L, q)x NPY q)	(А4.6)

i=!

vk.com/club152685050Вспомогательные|теоретическиеvk.com/id446425943материалы ПО математике 273

Некоторые значения NPV(i) могут быть отрицательными (например,

если месторождение оказывается много меньше, чем первоначально

ожидалось), а некоторые - большими и положительными (если место­

рождение оказывается больше, чем ожидалось). Итоговое значение ЕМУ

должно быть определенно положительным, иначе не имеет смысла при­ ступать к разработке месторождения.

Теперь допустим, что кто-то предлагает скорректировать план разра­

ботки месторождения. Например, предлагается расширить программу сбора информации за счет включения в нее импульсного нейтронного гамма-каротажа. Изменение этой программы, конечно, не приведет к из­

менению P(i), но оно изменит параметр NPV(i). Будет истрачено больше

денег, что уменьшает NPV(i), но взамен, если данные оказались надеж­ ными и полезными (что может иметь место только для некотрых из воз­ можных состояний месторождения), это приведет к увеличению дохода

или снижению других затрат, в результате чего чистый эффект будет вы­

ражаться в увеличении NPV(i).

Поскольку значение NPV(i) изменилось, значение ЕМУ изменится на новое - ЕМУ'. Величина дЕМУ, вызванная внесением предложенного

изменения, определяется как:

дЕМУ = ЕМУ' - ЕМУ.

(А4.7)

Важно отметить, что дЕМУ, независимо от каких-либо аспектов, каса­

ющихся надежности, зависит от всех возможных состояний месторожде­

ния, а не только от базового варианта состояния.

Для простоты введения концепции надежности в конкретном примере

можно предположить, что месторождение имеет только два возможных

состояния - 51 И 52. Тогда величину ЕМУ месторождения можно при­ ближенно записать, как:

(А4.8)

Теперь рассмотрим предложение по изменению плана разработки

месторождения (field development plan, FDP). Оно будет включать в себя сбор данных, требующий затрат в размере Z, причем параметр С будет

принимать значения либо «истина», либо «ложь». Значение параметра С

задает следующие условия:

1. Если значение С - «истина», месторождение, определенно, находится в состоянии 1. Если значение С - «ложь», месторождение определен­

но находится в состоянии 2. Когда известно, в каком состоянии на­

ходится месторождение, можно оптимизировать проект разработки

месторождения.

vk.274com/club152685050Пракmuческuе аспекты| vk.геофизическихcom/id446425943исследований скважин

2.Если значение С - «истина», проект может быть оптимизирован, и для

месторождения, находящегося в состоянии 51' на его основе получена новая величина - NPV(5] и С).

3.Аналогично, если значение С - «ложно», проект может быть опти­

мизирован, и для месторождения, находящегося в состоянии 2, на его

основе получена новая величина - NPV(52и С).

Изменение величины EMV определяется из соотношения:
дЕМV = - z + P(5 j ) х NPV(5j и С) +
+ Р(52) х NPV(52 и С) - ЕМУ	(А4.9)

Это изменение можно считать целесообразным только тогда, когда по

крайней мере одна из величин -	NPV(5] и С) или NPV(52 И С) -	стала
больше, чем NPV(5]) или NPV(52).
Очевидно, что величина VOI	определяется соотношением	VOI =

(дЕМV - Z). Рассмотрим теперь эффект от использования надежности.

Фактически он выражается в том, что иногда параметру С присваивается

значение «истина» даже если месторождение находится в состоянии 2,

и наоборот. Надежность определяется как:

то есть вероятность того, что С будет иметь значение «истина», когда мес­

торождение находится в состоянии 1. Для простоты можно также поло­

жить, что это то же самое, что и Р(С/52), то есть вероятность, что С будет

иметь значение «ложь», когда месторождение находится в состоянии 2.

Введение параметра R, очевидно, приводит к необходимости рассматри­ вать дополнительные сценарии формирования NPY

1. NPV(5j и С): NPV формируется, когда полагают, что месторождение находится в состоянии 2, а фактически оно находится в состоянии 1.

2. NPV(52 И С): NPV формируется, когда полагают, что месторождение

находится в состоянии 1, а фактически оно находится в состоянии 2.

Рассчитаем дЕМV с учетом появившихся дополнительных сценариев:

дЕМV = - z + P(5 j	) х [Р(C/5j ) х NPV(5 j и С) + Р(с/5 j ) х
х NPV(5 j	и С)] + Р(52) х [Р(С /52) х
х NPV(52И С) + Р(С/52) Х NPV(52		и С)] - ЕМУ	(А4.10)
Используя определение R, получим:
дЕМV = - Z + P(5 j	) х [R х NPV(5 j и С) + (1	- R) х
х NPV(5] И С)] + Р(52) х [R х NPV(52и С) +
+ (1 - R) х NPV (52 И С)] - ЕМУ			(A4.11)

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943	275
Вспомогательные теоретические материалы ПО математике

С другой стороны, имеется четыре возможных комбинации С, С', S] И S2'

каждая из которых характеризуется своей вероятностью и связанным с

ней значением NPY. Поэтому .....EMV можно записать и так:

..... EMV = P(S] и С) х NPV(S] И С) +

+ P(S2	И С) х NPV(S2 И С) +
+ P(S] и С) х NPC(S] И С) +
+ P(S2 И С) х NPV(S2 И С) -
-Z-EMY.		(А4.12)
Кроме того,
P(S] и С) + P(S2 И С) + P(S] и С) + P(S2 И С) = 1.		(А4.1З)

Теперь Р(С и S]), то есть вероятность того, что и С, и S1 имеют место,

определяется как:

и так далее для остальных комбинаций. Замена Р(С и S]) и аналогичных

членов уравнения А4.12 приводит к тому же результату, что и уравнение А4.7. Зачастую бывает полезно построить график .....EMV в зависимости

от R. Таким образом можно определить значение R, для которого целесо­

образно проведение специальной кампании по сбору данных. Приведенные выше концепции, очевидно, могут быть расширены до

большего числа состояний, а величина EMV может быть рассчитана достаточно просто благодаря применению доступного специализиро­

ванного программного обеспечения. Заметим, что надежность прибо­

ра была определена как P(C/S]), и т. д. Интересно также знать величину

P(S]/C), то есть вероятность того, что месторождение находится в состо­

янии 1 при показании прибора С. Чтобы провести это преобразование,

необходимо использовать теорему Байеса (Bayes). При этом использует­ ся тот факт, что:

Р(С и S]) = P(ClS]) х P(S]) = P(S] и С) = P(S] /С) х Р(С);		(А4.14)
Р(С) = Р(C/S]) х P(S]) + Р(C/S2) х P(S2)'		(А4.15)
Комбинируя эти уравнения, получаем:
P(S]/C) = [P(S])	х P(C/S])]/[P(S]) х P(C/S]) + P(S2) х P(C/S2)];	(А4.16)
P(S]) х R/[P(S])	х R + P(S2) х (1 - R)], поскольку R = P(C/SJ	(А4.17)

Подобным же образом: