Министерство общего и профессионального образования РФ

__________________

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

Университет (ЛЭТИ)

__________________________________________________

РЕКУРРЕНТНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ

ОЦЕНИВАНИЯ СИГНАЛОВ НА ЭВМ

Методические указания

к лабораторным работам

по дисциплинам

"АНАЛИЗ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДАННЫХ",

"АЛГОРИТЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ НА ЭВМ",

Санкт-Петербург – 1999

УДК 681.3

Рекуррентные процедуры оценивания сигналов на ЭВМ: Методические указания к лабораторным работам по дисциплинам "Анализ и интерпретация данных", "Алгоритмы обработки сигналов на ЭВМ"/Сост.: В. А. Зайцев, С. А. Ивановский, Н. В. Мальцева. А. В. Экало; СПбГЭТУ (ЛЭТИ). СПб., 1999. 30 с.

Содержат описания лабораторных работ и указания к их выполнению. Представлены основные сведения о получивших широкое распространение рекуррентных процедурах метода наименьших квадратов калмановской фильтрации.

Предназначены для студентов специальностей 010200 "Прикладная математика" и 220400 "Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем".

Утверждено

редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

© СПбГЭТУ (ЛЭТИ), 1999

Введение

Данное издание содержит описание цикла лабораторных работ по исследованию рекуррентных процедур оценивания сигналов на ЭВМ. Рассматриваются получившие широкое распространение рекуррентные процедуры метода наименьших квадратов (МНК) и калмановской фильтрации. Исследуются способы обеспечения устойчивости алгоритмов обработки сигналов к ошибкам округления и априорной неопределенности моделей сигналов. В лабораторных работах указанные процедуры исследуются с помощью машинного эксперимента.

Для лабораторных работ данного цикла общими являются:

- последовательный характер поступления измерений и рекуррентность процесса их обработки;

- методы обработки измерений, являющиеся развитием и обобщением классического МНК;

- методика проведения машинного эксперимента.

Во всех работах считается, что измерения (регистрируемые измерительным прибором значения сигнала) z_k (k = 1, 2, ..., N) выполнены в последовательные моменты времени t_k, причем t₁ < t₂ < ... < t_N, и представляют собой аддитивную смесь полезного сигнала s_k = s(t_k) и шума (помехи или ошибки наблюдения) v_k:

z_k = s_k + v_k , k = 1, 2, ..., N.

Полезный сигнал и помеха наблюдения понимаются здесь как процессы [1]. Статистическое описание помехи наблюдения задается первыми двумя моментами (математическим ожиданием и дисперсией) случайной величины v_k для каждого k; кроме того, v_k и v_j' считаются независимыми при k j.

В этих условиях требуется оптимальным в среднеквадратичном смысле образом восстановить полезный сигнал. Восстановить (оценить) сигнал  значит получить, вообще говоря, приближенное значение величины сигнала в любой заданный момент времени (из области определения сигнала). Дополнительно требуется, чтобы процедура восстановления сигнала имела последовательный характер и обеспечивала тем самым получение оценок полезного сигнала в темпе поступления измерений.

Различие в постановке задач в разных лабораторных работах связано с различием используемых моделей полезного сигнала. Так, в первой лабораторной работе ("рекуррентный МНК") скалярный сигнал s_k = s(t_k) задается в виде функции времени, которая известна с точностью до некоторых параметров x₁, x₂, ..., x_n, образующих вектор неизвестных постоянных параметров X = [x₁ x₂ ... x_n]^T, и таким образом s_k = h(t_k, X) = h_k(X). Восстановить заданный такой моделью полезный сигнал  значит, по измерениям z_j (j = 1, 2, ..., k) найти оценку вектора неизвестных параметров X.

В лабораторных работах по рекуррентной фильтрации сигнал s(t) рассматривается как известное преобразование некоторого другого сигнала Y(t), т. е. s(t) = h(t, Y(t)). Здесь Y(t) - это, вообще говоря, случайный векторный процесс, описываемый дифференциальным уравнением (t) = g(Y(t), U(t), W(t)), где, в свою очередь, U(t) - детерминированное, а W(t) - случайное возмущения. В таких случаях говорят о динамическом объекте (системе), состояние которого характеризуется вектором состояния Y(t), а сигналы U(t) и W(t) рассматриваются как входные воздействия на этот объект. В частном случае (t) = 0, т. е. Y(t) = const, такая модель сигнала переходит в параметрическую модель, рассмотренную выше. Восстановить сигнал Y(t), а следовательно, и сигнал s(t) по совокупности измерений z₁, ... , z_k значит определить оценку вектора состояния объекта для заданного момента времени t. Здесь возможны различные соотношения между t и t_k: при t = t_k  говорят о задаче фильтрации, при t > t_k - о задаче предсказания или экстраполяции, при t < t_k - о задаче сглаживания или интерполяции.

В лабораторных работах будет рассматриваться лишь задача фильтрации, поэтому оценки фильтрации будут далее обозначаться просто как (соответственно, значения сигнала Y(t_k) – как Y_k).

Итак, отмеченная общность лабораторных работ определяет и их общие цели, а именно:

1) ознакомиться с постановкой задачи и рекуррентными процедурами оценивания сигналов на ЭВМ;

2) ознакомиться с исследованием этих процедур с помощью машинного эксперимента;

3) получить некоторые практические навыки экспериментального исследования рекуррентных процедур обработки для ряда типовых задач оценивания сигналов.