Скачиваний:
35
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
149.5 Кб
Скачать

Отчет по

производственной практике.

Задание: Подготовить лабораторную работу по дисциплине "Методы параметрического анализа данных". (Дискретный фильтр Калмана. Расширенный фильтр Калмана. Алгоритм адаптивной фильтрации.)

1. Теоретическая часть.

1.1. Дискретный фильтр Калмана.

1.1.1. Постановка задачи.

Содержательная постановка задачи.

Рассматривается задача рекуррентного оценивания состояния динамической системы по результатам наблюдений, выполняемых в дискретные моменты времени.

В качестве динамической системы будем рассматривать систему, заданную линейным дифференциальным уравнением вида:

(1) где x(t) - скалярная переменная; m, f, и kf - постоянные параметры; F(t) - заданная функция времени, а Wf (t) - случайный белошумный процесс с M{Wf(t)} = 0 и M{Wf(t)W(t')} = d(t-t')Qf(t). Здесь М - символ математического ожидания; d(t-t') - дельта функция.

Уравнение (1) описывает поведение большого класса физических систем, например, электрических, механических (поступательное, возвратно-поступательное или вращательное движение), акустических, термических, магнитных. Переменные x, F, Wf и параметры m, f, kf в каждой из таких систем имеют свою физическую интерпретацию.

В случае механических систем уравнение (1) описывает, например, такие процессы одномерного движения, как:

1) при f = 0 и kf = 0 - поступательное движение материальной точки на прямой под действием детерминированных F(t) и (или) случайных Wf (t) возмущений ускорения;

2) при kf = 0 и Wf (t) = 0 - движение материальной точки на прямой в присутствии силы трения, пропорциональной скорости, и под действием заданной внешней силы F(t).

3) при kf = 0 и F(t) = 0 - движение материальной точки на прямой в вязкой жидкости (f - коэффициент вязкого трения) под действием случайной силы Wf (t) ("броуновское движение");

4) f = 0, kf > 0 и Wf (t) = 0 - управляемый процесс в одномерной колебательной системе, где входное воздействие заранее известно;

5) при наличии всех членов в (1) - линейный осциллятор с трением под действием вынуждающей детерминированной F(t) и случайной Wf (t) силы.

Здесь естественна следующая интерпретация параметров: m - масса; f - коэффициент трения; kf - коэффициент упругости.

В случае электрических систем уравнение (1), преобразованное для удобства в других обозначениях к виду:

(1 а)

описывает, например, управляемый (приложенным напряжением e(t) ) процесс в колебательном RLC - контуре под действием случайных возмущений напряжения We(t). Здесь q(t) - заряд; - сила тока; L - индуктивность; С - емкость; R - сопротивление.

Пусть над динамической системой (1) производится ряд последовательных наблюдений, и по результатам этих наблюдений необходимо в каком-то смысле наилучшим образом определить текущее состояние динамической системы. Причем оценки состояния требуется получать в темпе поступления измерений. Такая задача наиболее естественным образом решается с помощью рекуррентных процедур оценивания.

Задача лабораторной работы состоит в исследовании с помощью машинного эксперимента некоторых свойств процедуры рекуррентной фильтрации на примере оценивания состояния динамической системы вида (1).

Формальная (математическая) постановка задачи обработки.

а) Модели сигналов. При решении задач оптимального оценивания состояния динамической системы вида (1) удобно перейти к ее описанию с помощью системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого введем так называемые состояния и . Тогда уравнение (1) можно записать в виде:

или, вводя вектор состояния , в матричном виде:

(2)

где матрица А, В и С имеют вид:

(3)

и где введены обозначения .

Отметим, что теперь

Далее будем предполагать, что в начальный момент времени t0 известны несмещенная оценка вектора и ковариационная матрица ошибки этой оценки

Сформулируем основные предположения относительно процесса наблюдения за динамической системой (2). Пусть измеряется только первая компонента вектора состояния на фоне аддитивной помехи.

Тогда модель процесса наблюдения запишем в виде:

Zk = HY(tk) + Vk (4)

где Н=[1, 0], а Vk - случайный процесс, описывающий помеху наблюдения. Свойства процесса Vk задаются его характеристиками:

M{Vk}=0 и M{ Vk Vk' }= dkk'sk2. Здесь dkk' - символ Кронекера. В дальнейшем, как правило, предполагается, что и возмущения динамической системы и помеха наблюдения Vk- гауссовские. Кроме того, считаем, что процессы и Vk некоррелированы между собой при t и tk.

Учитывая дискретный во времени характер процесса и результатов наблюдения (4), можно при описании динамической системы перейти от дифференциального уравнения (2) к конечно-разностному уравнению вида:

(5)

где Y(tk)=Yk, а Uk и Wk - входные воздействия, соответствующие входным воздействиям F(t) и Wf(t) в исходном уравнении (1).

б) Исходной информацией в задаче обработки являются измерения z1, z2, ..., zN и, кроме того, значения параметров модели динамической системы m, f, kf, Q, F(t), априорная информация о состоянии системы в виде начальной оценки и ковариационной матрицы ошибки этой оценки P0=P(t0), а также параметры "измерителя" sk.

в) Требуемая выходная информация представляет собой оценки фильтрации вектора состояния и характеристики их точности при k = 1, 2, ... , N.

1.1.2. Метод и процедуры фильтрации.

Итак, пусть поведение динамической системы описывается разностным уравнением:

(6)

где Yk, Uk и Wk - n-мерные векторные состояния, входных воздействий и случайных возмущений, соответственно. В нашем случае для системы (1) n=2.

Пусть над системой производятся скалярные наблюдения вида

Zk = HYk + Vk (7)

Кроме того, выполнены соотношения:

Далее будем через обозначать оценки вектора состояния Yk, полученные по измерениям z1, z2,..., zk и , z1, z2,..., zk-1 соответственно.

Как известно, оптимальная в среднеквадратическом смысле оценка фильтрации вектора состояния Yk может быть получена с помощью дискретного фильтра Калмана, уравнения которого имеют вид:

(8) где Pk - ковариационная матрица ошибки оценки фильтрации.

Для работы алгоритма необходимо задать начальные условия , Р0, при этом предполагается, что:

при всех к.

Кратко поясним смысл уравнений ФК. Процедура фильтрации действует по схеме "предсказание (экстраполяция) - коррекция предсказания" при обработке каждого измерения Zk. Первые два уравнения определяют оценку экстраполяции и ковариационную матрицу ошибки этой оценки P'k при условии, что заданы предыдущие. Затем оценка фильтрации получается коррекцией оценки . Корректирующий член учитывает новую информацию в виде невязки измерений . Полезно отметить, что Ск есть дисперсия невязки измерений. Матрицу Кк, входящую в корректирующий член предпоследнего уравнения, часто называют весовой матрицей, матрицей передачи фильтра или матрицей коэффициентов усиления фильтра. Последнее уравнение определяет ковариационную матрицу Pk ошибки оценки фильтрации .

Таким образом фильтр Калмана не каждом шаге обработки очередного наблюдения одновременно с вычислением оценки состояния определяет и меру ее точности, характеризуемую диагональными элементами ковариационной матрицы.

Если процессы Wk, Vk и начальная оценка имеют гауссовское распределение, то - наилучшая в среднеквадратическом смысле оценка состояния Yk.

Качество работы ФК определяется, с одной стороны, величиной фактических ошибок оценок состояния , а с другой стороны, соответствием между ними и теоретическими предсказанными ошибками.

В тех случаях, когда необходимо сравнить результаты различных прогнозов машинного эксперимента, целесообразно ввести интегральные показатели качества работы фильтра. Такими показателями могут служить, например:

Очевидно, что J1() характеризует среднюю по траектории величину квадратичной абсолютной ошибки оценки, а - среднее по траектории соответствие фактических и теоретических ошибок фильтрации.

Соседние файлы в папке KALMAN