Лабораторная работа №4

Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

кафедра математического обеспечения ЭВМ

Отчет

по лабораторной работе №4

по дисциплине «Моделирование»

Выполнил: студент гр. 3341 Рыжок М.С.

Проверил: доцент Романцев В.В.

Санкт-Петербург 2007

Лабораторная работа №4

«Планирование эксперимента и анализ данных»

Цель работы: научиться осуществлять планирование эксперимента и проводить статистический анализ полученных данных.

Задание: необходимо определить параметры модели некоторого объекта, характеризующегося следующими данными:

Порядок объекта: первый

Количество факторов объекта: 2

Модель включает в себя параметры: B0, B1, B2, B12;

Допустимый диапазон изменения факторов:

Подготовка к эксперименту

Область планирования – область значений факторов, в которой находятся точки, отвечающие условиям проведения опытов используемого плана эксперимента. Вектор, компонентами которого являются упорядоченные численные значения основных уровней факторов, задает точку, являющеюся центром области планирования, в которой и располагаются все точки плана.

	Координаты центра области	Интервалы варьирования
Фактор X1	0.0	10
Фактор X2	0.0	10

Выбранный тип плана эксперимента должен позволить получить раздельную оценку всех параметров модели заданного объекта. Планы первого порядка предназначены для получения полиномиальных моделей первого порядка при варьировании фактора на двух уровнях. В данном случае число точек плана невелико и можно провести полный факторный эксперимент. Это план, спектр которого содержит всевозможные комбинации всех факторов, варьирующихся на двух уровнях. Все комбинации входят в число эксперимента одинаковое число раз.

Спектр плана – совокупность несовпадающих точек плана.

Точка	Значения факторов		Координаты точки в реальном масштабе
	X1	X2
Точка 1	-1	-1	(-10, -10)
Точка 2	-1	1	(-10, 10)
Точка 3	1	-1	(10, -10)
Точка 4	1	1	(10, 10)

Проведение эксперимента

В ходе эксперимента для каждой точки плана находится значение функции отклика. Проводится 2 параллельных опыта.

Точка фактора плана	Параллельные опыты
	1	2
1	82.07	81.47
2	-98.32	-99.06
3	-99.06	99.06
4	120.94	120.94

Средние значения и дисперсии отклика в точках фактора плана.

Точка фактора плана	Среднее значение	Дисперсия
1	81.77	0.18
2	-98.69	0.28
3	-99.06	0.00
4	120.94	0.00

Среднее значение и дисперсия для каждой точки плана:

Проверка воспроизводимости эксперимента – проверка постоянства дисперсии шума. Считается, что условие постоянства дисперсии шума выполнено, если справедлива гипотеза о том, что дисперсии в каждой точке факторного пространства оценивают одну и ту же величину.

Проверка воспроизводимости проводится при помощи критерия Кохрена. В качестве выборочной статистики для критерия Кохрена используется отношение максимальной дисперсии из заданного ряда к сумме всех дисперсий этого ряда. Полученное значение этой статистики сравнивается с табличным значением G-распределения Кохрена. Если выборочная статистка меньше табличного значения для соответствующего числа степеней свободы числителя и знаменателя распределения Кохрена на выбранном уровне значимости, то считается, что экспериментальные данные не опровергают гипотезу об однородности ряда дисперсий.

Наблюдаемое значение критерия Кохрена:

Число степеней свободы числителя критерия Кохрена (число параллельных опытов -1) m = 1;

Число степеней свободы знаменателя критерия Кохрена (число точек спектра плана): 4

Критическое значение критерия Кохрена К_1,4 = 0.967 > К → эксперимент воспроизводим и дисперсия ошибки эксперимента составляет 0.46/4 = 0.115

Оценка параметров модели объекта

Объект содержит 4 параметра: B0, B1, B2 и B12. Для вычисления оценок параметров модели используется метод наименьших квадратов. Исходными значениями для вычисления являются: матрица спектра плана, средние значения отклика в эксперименте, матрица численных значений базисных функций. Столбцы этой матрицы соответствуют существенным переменным объекта, а строки – точкам плана. Т.е. любой элеменг этой матрицы – численное значение базисной функции в конкретной точке плана.

Точка	Существенные переменные
	X1	X2	X1*X2
Точка 1	-1	-1	1
Точка 2	-1	1	-1
Точка 3	1	-1	-1
Точка 4	1	1	1

При использовании МНК неизвестный вектор коэффициентов находится из условия минимизации суммы квадратов отклонений измеренных значений отклика от получаемых по модели.

, где Xi – существенная переменная (X1, X2 или X1*X2) и т д

Дисперсия параметров модели оценивается на основе вычисленной ранее дисперсии воспроизводимости , где N – число точек спектра плана, m – количество параллельных опытов

Параметр	Оценка	Дисперсия
B0	1.238	0.014
B1	9.698	0.014
B2	9.885	0.014
B12	100.115	0.014

В результате проверки значимости оценок выясняется, обусловлено ли отличие коэффициента от 0 чисто случайными обстоятельствами, влиянием помехи или вызвано тем, что в теоретической регрессионной модели присутствует соответствующий, не равный 0 коэффициент регрессии. Проверка значимости сводится к последовательной проверке гипотез для каждого коэффициента: «Рассматриваемый коэффициент незначительно отличается от 0» и «Рассматриваемый коэффициент не равен 0». Для проверки этих гипотез используется критерий Стьюдента. Если наблюдаемое значение критерия больше критического, то нулевая гипотеза отвергается, то есть коэффициент статистически значим.

В качестве выборочной статистики критерия Стьюдента обычно берется отношение выборочного математического ожидания к выборочному среднему квадратическому отклонению. Критическое значение берется из таблицы значений t-распределения Стьюдента. Число степеней свободы критерия Стьюдента равно (m-1)*N, где m – число параллельных опытов, N - число точек плана.

Зададимся уровнем значимости 0.01 Тогда

Параметр	Наблюдаемое значение	Критическое значение
B0	10.4630	10.36
B1	81.9631	81.21
B2	83.5435	82.77
B12	846.420	838.32

Оценки всех параметров модели значимы.

Проверка адекватности осуществляется путем сопоставления выборочных дисперсий адекватности и воспроизводимости. Для модели, адекватной реальному объекту, единственная причина, по которой дисперсия адекватности может отличаться от 0 – воздействие шума. При этом проверка адекватности сводится к проверке гипотез вида: «Дисперсии воспроизводимости и адекватности оценивают одну и ту же величину – дисперсию шума» и «Дисперсия адекватности существенно превышает дисперсию воспроизводимости».

Проверку адекватности проводят с помощью критерия Фишера: если наблюдаемое значение критерия Фишера меньше критического, принимается гипотеза об однородности дисперсий адекватности и воспроизводимости. В качестве выборочной статистики для критерия Фишера берется отношение рассматриваемых дисперсий. Критическое значение получается по таблице F-распределения.

Число степеней свободы для вычисления 4 коэффициентов в 4 точках равно 4-4 = 0, поэтому дисперсию адекватности определить невозможно→план является насыщенным. Поэтому проводим дополнительный опыт. Получили значение дисперсии адекватности 0.00, наблюдаемое значение критерия Фишера равно 0.00, критическое значение тоже составляет 0.00. Можно считать, что модель не адекватна.

Подлинные характеристики объекта по сравнению с построенной моделью:

Параметр	Модель	Объект
B0	1.238	1
B1	9.698	10
B2	9.885	10
B12	100.115	100

Выводы: при решении данной лабораторной работы были получены навыки в планировании эксперимента и обработке результатов методом дисперсионного и регрессионного анализа.