Математика. Шпаргалка по интегралам

№

Новое понятие

Содержание

п/п

совокупность всех первообразных F(x) для функции f(x) на промежутке (a; b),

1

неопределённый интеграл

f (x)dx F (x) C , где

— знак неопределённого интеграла, функция f(x) —

от функции f (x)

подынтегральная функция, выражение f (x) dx — подынтегральное выражение,

С — произвольная постоянная

0 du C ;

[1]

du u C ;

[2]

u n du

u n 1

C, n 1;

[3]

du

n 1

ln|u| C ;

[4]

u

au

au du

C,a 0,a 1;

[5]

lnа

eu du eu

C ;

[6]

sinu du cosu C ;

[7]

2

таблица простейших

cosu du sinu C ;

[8]

интегралов

du

ctg u C ;

[9]

2

u

sin

du

tg u C ;

[10]

2

u

cos

du

arcsin u

C,

a u a, a 0;

[11]

a

2

2

u

a

du

ln|u

u 2 a 2| C ;

[12]

u

2

2

a

du

1

ln

u a

C,

a 0;

[13]

u

2

2

2a

a

u a

du

1 arctg u

C,

a 0;

[14]

a

2

2

u

a

a

Основные методы интегрирования

метод непосредственного

интеграл путём тождественных преобразований подынтегральной функции

(или выражения) и применения свойств неопределённого интеграла

интегрирования

приводится к одному или нескольким табличным интегралам

3

подведение под знак

f (x) (x)

dx f (t) dt

дифференциала

правило поправочного

f (a x

b) dx

1

F (a x

b) C (a, b — const)

коэффициента

a

© Н.М. Пекельник

- 1 -

u и v — две функции аргумента х, имеющие производные u

и v

u dv u v v du

вид интеграла

u

P(x) a bx

dx ; P(x) sin kx dx ;

u=P(x)

P(x) coskx dx

P(x) ln Q(x) dx ;

интегрирование

P(x) arcsin(mx) dx ;

ln(Q(x));

3

по частям

P(x) arccos(mx) dx ;

u= arcsin(mx); arccos(mx);

P(x) arctg(mx) dx ;

arctg(mx); arcctg(mx);

P(x) arcctg(mx) dx

возвратные

sin( x );

или u=e kx

e kx sin( x ) dx ; e kx cos( x ) dx

u=

).

a x 2 dx

cos( x

u

a x

2

dx

ln | x a | C

или

dx

(x a) k 1

C

x a

(x a)k

k 1

вид множителя

вид слагаемого

х – а

A

x a

(x a)k

B1

B2

...

Bk

(x a)k

x-a (x a)2

x2

p x q

C x D

x2 p x q

интегрирование рациональных

(x

2

p x q)

k

M1x

N1

...

M k x Nk

3

x2 px q

x2

px q k

дробей

Если

дробь

Cx D

,

то в

знаменателе

выделить полный

5.

x2 px q

p

квадрат

и

сделать

замену

t x

и

перейти к

сумме

двух

2

интегралов, т.е.

Cp

p

Cx D

C

D

x

=

ln | x2

2

2

px q |

arctg

C

2

p

2

2

x

px q

2

q

q

p

4

4

Mx N

,

6.

Если

дробь

x2

px q k

то

воспользоваться

формулой:

Mx N

t dt

Mp

dt

dx =M

N

=

x2 px q

k

(t 2

a 2 )k

2

(t

2 a 2 )k

=

1

I k ,

где

a 2

q

p 2

,

2(1 k)(t 2

a 2

)k 1

4

I

dt

1

t

1

2k 3

I

k

(t 2 a 2 )k

2a

2 (k

1)

(t 2 a 2

)k 1

a 2

2k 2

k 1

© Н.М. Пекельник

- 2 -

© Н.М. Пекельник

- 3 -