Книга по ЦОС в формате pdf

1.Пространство сигналов

Зафиксируем натуральное число N . Будем называть сигналом N пе• риодическую комплекснозначную функцию целочисленного аргумента x = = x(j) = xj , j Z. Можно считать, что нам задана последовательность комплексных чисел x = {xj }Nj=0−1 продолженная периодически на все целые индексы, то есть xj+sN = xj , для любого s Z. Множество сигналов будем обозначать CN .

Единичным N–переодическим импульсом называется сигнал δN , у ко• торого δN (j) = 1 когда j делится на N и δN (j) = 0 в остальных случаях. Из этого определения легко получить следующее утверждение.

Лемма 1.1. Для любого сигнала x CN справедливо равенство.

NX−1

x(j) =	x(k) δN (j − k), j Z.	(1.1)
	k=0
Рассмотрим систему сдвигов единичного импульса
δN (j), δN (j − 1), . . . , δN (j − N + 1).		(1.2)

Нетрудно показать, что система (1.2) линейно независима на Z. Действи• тельно, пусть

NX−1

c(k) δN (j − k) = 0, при j 0 : N − 1.

k=0

Согласно (1.1) левая часть последнего равенства равна c(j). Тогда c(j) = 0 при всех j 0 : N − 1.

Как было установлено в (1.1) любой сигнал x раскладывается по ли• нейно независимой системе (1.2). Значит система (1.2) является базисом пространства CN . При этом размерность CN равна N .

Так как любой сигнал x CN является N периодичным, то при всех l Z выполняется равенство

N −1	N −1
X	X
x(j + l) =	x(j).	(1.3)
j=0	j=0
Равенство (1.3) легко преобразовать к виду
N −1	N −1
X	X
x(l − j) =	x(j).	(1.4)
j=0	j=0

1

Введем в CN скалярное произведение и норму

N −1
X			p
hx, yi =	x(j)		(j), kxk = hx, xi.
		y
j=0

Два сигнала x и y называются ортогональными, если hx, yi = 0. Сигнал называется нормированным, если kxk = 1.

Легко показать, что система сигналов (1.2) является ортонормирован• ной, т. е. образует ортонормированный базис в пространстве CN .

2.Дискретное преобразование Фурье

Рассмотрим корень N –й степени из единицы ωN

ωN = cos 2Nπ + i sin 2Nπ = ei 2Nπ = exp(2πi/N ).

Отметим, что для любых j, k Z

(ωNk )j = ωNkj , ωNk ωNj = ωNk+j .

Лемма 2.1. Справедливо равенство

1	N −1
	X
N	ωNkj = δN (j) j Z.	(2.1)
	k=0

Доказательство. В левой части равенства (2.1) стоит N – периодиче• ская функция, что следует из соотношения

ωNk(j+lN ) = ωNkj (j) (ωNN )kl = ωNkj при l Z.

N – периодическим является и единичный импульс δN (j). Потому равенство (2.1) достаточно проверить при j 0 : N − 1.

При j = 0 оно очевидно. Пусть j 1 : N − 1. Воспользуемся формулой для суммы членов геометрической прогресси

NX−1 zk = 1 − zN при z =6 1.

k=0

1 − z

Положив в последнем равенстве z = ωNj , получим

1	N −1	kj		1 − ωNN j
	X	ωN	=					= 0 при j 1 : N − 1.
N				N (1	−	ωj	)
	k=0					N

2

Дискретное преобразование Фурье (сокращенно ДПФ) это отображе• ние FN : CN → CN сопоставляющее сигналу x сигнал X = FN (x) со значениями

N −1
X
X(k) = x(j) ωN−kj , k Z.	(2.2)

j=0

Сигнал X называется спектром Фурье сигнала x или просто спектрoм, а величины X(k) – компонентами спектра или спектральными составляю• щими.

Теорема 2.1. Справедлива формула обращения

1

N −1

X

x(j) =

N

X(k) ωNkj ,

j Z.

(2.3)

k=0

Доказательство. Согласно (2.1) и (2.2) имеем

(N

ωNk(j−l))

N

N −1

X(k) ωNkj = N

x(l) ωN−kl!

ωNkj

=

x(l)

=

1

1

N −1 N −1

N −1

1

N −1

X

X

X

Xl

X

k=0

k=0

l=0

=0

k=0

NX−1

=x(l) δN (j − l) = x(j).

l=0

Формулу (2.3) коротко можно записать так x = FN−1(X).

Введем обозначение uk(j) = ωNkj . Тогда формула обращения для ДПФ примет вид

1		N −1
x(j) =		X
	N	X(k) uk(j).	(2.4)
		k=0

Это значит, что сигнал x(j) раскладывается по системе сигналов

u0(j), u1(j), . . . , uN −1(j). (2.5) Коэффициентами в этом разложении являются компоненты спектра.

Лемма 2.2. Система сигналов (2.5) является ортогональной. При этом kukk2 = N при всех k 0 : N − 1.

Доказательство. Имеем при k, l 0 : N − 1.

N −1			N −1
X			X
huk, uli =	uk(j)	ul	(j) = ωN(k−l)j = N δN (k − l).
j=0			j=0

Отсюда очевидным образом следует требуемое.

3

Таким образом, установлено, что система (2.5) образует ортогональ• ный базис в пространстве CN . Этот базис называется экспоненциальным.

Используя последние результаты найдем спектр единичного импульса δN . Умножим обе части равенства (2.4) скалярно на ul. Согласно лемме 2.2 получим hx, uli = X(l). Это значит, что коэффициенты в разложении (2.4) определяются однозначно. Тогда перепишем формулу (2.1) в виде

1 NX−1

δN (j) = N k=0 uk(j).

Имеем разложение единичного импульса по экспоненциальному базису, в котором все коэффициенты равны единице. В силу единственности разло• жения

FN (δN ) = 1.

(2.6)

Теорема 2.2. Пусть X = FN (x), Y = FN (y). Тогда

1

hX, Y i.

(2.7)

hx, yi =

N

Доказательство. Согласно определению ДПФ (2.2) получаем

N hX, Y i =

N k=0 X(k) Y (k) = N k=0

j=0 x(j) ωN−kj ! Y (k) =

1

1 N −1

1 N −1

N −1

X

X

X

= j=0 x(j)

(N

k=0 Y (k) ωN−kj )

= j=0 x(j) y(j).

N −1

1

N −1

N −1

X

X

X

Следствие 2.1. Справедливо равенство

1

kXk2.

kxk2 =

(2.8)

N

Формула (2.8) называется равенством Парсеваля, а формула (2.7)–

обобщенным равенством Парсеваля.

Замечание 2.1. Вычисление спектра X можно интерпретировать как вычисление значений полинома

NX−1

P (z) = xj zj

j=0

4

в точках единичной окружности zk произведения матрицы

	1	1		1
.		.N		.N
	1	ωN		ω2
.. ..				..
				N
	1	ω2		ω4
1 ωN −1			ω	−
		N		N
				2(N 1)

на вектор x.

= ωNk , k 0 : N −1, и как вычисление

. . .	ωNN −1
. . .	1
.. . .	ωN . −
..	..
	2(N 1)

. . . ωN(N −1)(N −1)

Рассмотрим пример на вычисление ДПФ.

Пример 2.1. Пусть N = 2n и

n : N−

x(j) =

(

1,

при j

1.

1,

при j

0 : n

1,

−

−

Покажем, что

X(k) =

0,

при четных k,

(2(1

−

i ctg πkN ),

при нечетных k.

По определению ДПФ

n−1

2n−1

n−1

X k

X

X

ω−k(j−n)−kn

ω−kn

X

ω−kj .

(

) =

N

−

N

= (1 −

N

)

N

j=0

j=n

j=0

Поскольку ω

2

=

−

1, то ω−kn = ω−kn = ω−k

= (

1)k. Таким образом, ис•

N

2n

2

−

пользуя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, получаем

X(k) = 2(1

ωN−kn)

4

при четных k,

0,

1

−

ω−

1

−

ω−

N

k

=

N

k

,

при нечетных k.

−

остается учесть, что в случае, когда k не делится на N (в частности при нечетных k), справедливо равенство

1

1

1

=

sin

N −

N

=

1

1

=

i ctg

.

=

1

−

ω−k =

1

−

cos

2πk

+ i sin

2πk

2 sin

πk

cos πk + i sin πk

N

N

2

N

N

N

N

2 sin πkN

−

N

πk

i cos πk

πk

5

3.Теорема об отсчетах

Отсчетом будем называть значение x(j) сигнала x при кокретном значении переменной j. Оказывается, что при некоторм предположении сигнал x полностью восстанавливается по своим отсчетам на более круп• ной, чем Z сетке.

Пусть N = mn, где n > 2. Введем функцию h(j) следующим образом

mX−1

h(j) = m1 k=0 ωNkj .

Согласно (2.1) h(ln) = δm(l) при всех l Z.

Теорема 3.1 (об отсчетах). Если спектр X сигнала x равен нулю на множестве m : N − 1, то

mX−1

x(j) = x(ln) h(j − ln), j Z.	(3.1)
l=0

Замечание 3.1. Формулу для функции ядра h можно существенно упростить

h(j) =

1,sin(πj/n)

(m−1)j

при j = 0,

(3.2)

ω2N

,

при j 1 : N − 1.

m sin(πj/N )

В простейшем

= 2

, N

= 2

m формула (3.2)

преоб•

частном случае n

разуется к виду

h(j) =

0,

при четных j

1 : N

−

1,

(3.3)

1,

при j = 0,

1

πj

m 1 + i ctg N ,

при нечетных j 1 : N − 1.

Следствие 3.1. В случае N = 2m теорему 3.1 можно переформули• ровать так: если на основном периоде JN = 0 : N − 1 половина значений спектра X(k) с индексами k m : 2m −1 равна нулю, то сигнал x восста• навливается по половине своих отсчетов x(2l), l 0 : m − 1, с помощью формулы

mX−1

x(j) = x(2l) h(j − 2l), j Z,

l=0

где функция ядра h имеет вид (3.3).

6

4.Простейшие свойства ДПФ

Сигнал x называется четным если x(−j) = x(j), и нечетным, если x(−j) = −x(j) при всех j Z. Сигнал x называется вещественным, если

Im(x) = 0, и чисто мнимым, если Re(x) = 0.

Теорема 4.1. Справедливы следующие свойства ДПФ.

1.Сигнал x CN является вещественным, тогда и только тогда, когда его спектр Фурье X = FN (x) четный.

2.Пусть a и b два вещественных сигнала из CN . Образуем комплекс• ный сигнал x = a + ib. Тогда для спектров A, B, X этих сигналов справедливы соотношения

1

1

A(k) =

[X(k) + X(N − k)], B(k) = −

i [X(k) − X(N − k)]

2

2

при всех k Z.

3. При четном N и k 0 : N/2 − 1 справедливы равенства

N/2−1

X(2k) =

[x(j) + x(N/2 + j)] ωN/−kj2,

j=0

X

N/2−1

X(2k + 1) =

[x(j) − x(N/2 + j)] ωN−j ωN/−kj2.

j=0

X

4. Пусть сигнал xl связан с исходным сигналом x CN

соотношением

xl(j) = x(j + l), где l Z.

Тогда спектры Xl, X связаны соотношением

Xl(k) = ωNkl X(k), k Z.

5. Пусть сигнал xl связан с исходным сигналом x CN

соотношением

2πlj

xl(j) = cos

x(j), где l Z.

N

Тогда для спектров Xl, X справедливо равенство

1

Xl(k) =

(X(k − l) + X(k + l)), k Z.

2

7

6. Cигнал xn является удлинением сигнала x CN , т. е.

n		(0,		при j	N : nN		1	(xn CnN ).
x	(j) =	x(j),		при j	0 : N − 1,
						−

Тогда их спектры Xn, X связаны формулой

N −1	1				N −1
Xl					X
Xn(k) =	X(l) h(k − ln), где h(k) =			N	ωnNkj .
=0					j=0

7. Cигнал xn является растяжением сигнала x CN , т. е.

x	(j) =	x(j/n),	если hjin = 0,		Z	(xn		CnN ).
n		(0,	при остальных j

Тогда для их спектров Xn, X справедливо равенство

Xn(k) = X(hkiN ).

8. Сигнал yn является прореживанием сигнала x CN , т. е.

yn(j) = x(jm) при N = mn (yn Cn).

Тогда для их спектров Yn, X справедливо равенство

1 mX−1

Yn(k) = m p=0 X(k + pn).

Замечание 4.1. Растяжение сигнала x в сигнал xn в пункте 7 и прореживание сигнала x в сигнал yn в пункте 8 в цифровой обработке сигналов называются соответственно интерполяцией и децимацией и используются при создании частотных конверторов.

Пусть X = FN (x). Тогда сигнал |X| называется амплитудным спек• тром, а сигнал |X|2 спектром мощности сигнала x.

В дополнение к примеру 2.1 приведем (без вывода) несколько извест• ных сигналов, спектры которых допускают явное представление.

πj

1. x(j) = sin N , j 0 : N − 1. Тогда для спектра X справедливо

		sin		π
X(k) =				N			.
	cos	2kπ	− cos			π
		N				N

8

2.	x(j) = (−1)j , j 0 : N − 1. Тогда
				N δN (k − n),
			X(k) =		πk
				1 + i tg			,
					N
3.	x(j) = j, j 0 : N − 1. Тогда
	1				1
	X(0) =		N (N − 1),	X(k) = −				N
		2				2

при N = 2n,

при N = 2n + 1.

1 − i ctg N		, k 1 : N − 1.
	πk

5.Циклическая свертка

Циклической сверткой сигналов x и y называется сигнал u = x y с

отсчетами

NX−1

u(j) =	x(k) y(j − k), j Z.	(5.1)
k=0
Иногда в литературе циклическую свертку называют круговой.
Теорема 5.1 (о свертке). Пусть X = FN (x), Y = FN (y). Тогда
FN (x y) = XY,		(5.2)
где справа стоит покомпонентное произведение спектров.
Доказательство. Согласно (1.3) имеем
[FN (x y)](k) =	x(l) y(j − l)! ωN−k(j−l)−kl	=
N −1	N −1
X	Xl
j=0	=0

NX−1

=x(l)

l=0

NX−1

=x(l)

l=0

	N −1
ω−kl	X	j		l	ω−k(j−l)
	y		−			=
N	(			)	N
	j=0
	N −1
	X
ωN−kl	y(j) ωN−kj = X(k)Y (k).

j=0

В последнем переходе цепочки равенств мы использовали (1.3) для сигнала y(j) ωN−kj .

Следствие 5.1. Циклическая свертка обладает следующими свой• ствами.

9

1.	Свертка двух четных сигналов четна.
2.	Справедливы равенства
	x y = FN−1(XY ), FN (xy) =	1	(X Y ).	(5.3)
		N

Из определения циклической свертки очевидно следует, что

1)x y = y x циклическая свертка коммутативна;

2)x (y z) = (x y) z циклическая свертка ассоциативна.

Замечание 5.1. Если ввести в множество сигналов CN сложение

y = x1 + x2 y(j) = x1(j) + x2(j), j Z,

и взять циклическую свертку в качестве операции умножения, то про• странство сигналов CN образует коммутативную алгебру с единицей. Единицей является δN , так как согласно (1.1)

NX−1

[x δN ](j) = x(k) δN (j − k) = x(j).

k=0

Обратный элемент y к сигналу x определяется условием

x y = δN .

(5.4)

Легко проверить, что обратный элемент существует, для любого тож• дественно ненулевого сигнала. Применим к обеим частям (5.4) операцию FN , получим уравнение XY = 1 относительно Y , эквивалентное (5.4). Этот прием называется переходом в спектральную область. Последнее уравне• ние имеет решение тогда и только тогда, когда все компоненты спектра отличны от нуля. Решение записывается в явном виде 1 Y = X−1. По фор• муле обращения (2.3) y = FN−1(X−1). Это и есть сигнал, обратный к x.

Замечание 5.2. Вычисление циклической свёртки x y можно ин• терпретировать как вычисление произведения правоциркулярной матри•

цы		y(1)	y(0)	y(N − 1)	. . . y(2)
		y(0)	y(N − 1)	y(N − 2)	. . . y(1)
	..		..	..	... ..
	.		.	.	.
	y(N 1)		y(N 2)	y(N 3)	. . . y(0)
		y(2)	y(1)	y(0)	. . . y(3)
на вектор x.		−	−	−

1Сигнал X−1(j) = 1/X(j)

10