- •1. Общая характеристика цифровых фильтров
- •1.1. Свойства цифровых фильтров
- •1.2. Представление цифрового фильтра в виде разностного уравнения
- •2. Ких-фильтры. Методы синтеза
- •2.1. Прямоугольное окно
- •2.2. Обобщенное окно Хэмминга
- •2.3. Окно Блэкмана
- •2.4. Окно Кайзера
- •3. Бих-фильтры. Методы синтеза
- •3.1. Аналоговые фильтры-прототипы
- •3.1.1. Фильтры Баттерворта
- •3.1.2. Фильтры Чебышева
- •3.1.3. Эллиптические фильтры
- •3.1.4. Фильтры Бесселя
- •3.2. Методы дискретизации аналогового фильтра
- •3.2.1. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики
- •3.2.2. Метод билинейного преобразования
- •3.3. Преобразования полосы частот для аналоговых фильтров
- •3.4. Преобразование полосы для цифровых фильтров
- •4. Методы реализации цифровых фильтров
- •4.1. Прямая форма
- •4.2. Прямая каноническая форма
- •4.3. Каскадная форма
- •4.4. Параллельная форма
- •5. Работа в среде matlab
- •5.1. Ввод матриц
- •5.2. Матричные операции
- •5.3. Операторы, выражения и переменные
- •5.4. Функции построения матриц
- •5.5. Операторы for, while, if
- •5.6. Скалярные функции
- •5.7. Векторные функции
- •5.8. Mатричные функции
- •5.9. Подматрицы и форма записи с двоеточием
- •5.10. M-файлы
- •5.11. Текстовые строки, сообщения об ошибках, ввод данных
- •5.12. Сравнение эффективности алгоритмов
- •5.13. Формат вывода
- •5.14. Протокол
- •5.15. Графика
- •6. Записная книжка matlab для Microsoft Word
- •6.1. Начало работы
- •6.2. Краткий пример использования Записной книжки
- •7. Проектирование цифровых фильтров в среде matlab
- •Filtic – cоздание начального состояния для функции filter:
- •Freqs – частотная характеристика аналогового фильтра:
- •Freqspace – формирование последовательности отсчетов частоты:
- •Freqz – частотная характеристика цифрового фильтра.
- •Grpdelay – групповая задержка цифрового фильтра:
- •Impz – импульсный отклик цифрового фильтра:
- •Unwrap – корректировка фазовых углов:
- •Zplane – отображение нулей и полюсов цифрового фильтра:
- •7.2. Проектирование цифровых бих-фильтров besself – проектирование аналогового фильтра Бесселя:
- •Butter – проектирование цифрового и аналогового фильтров Баттерворта:
- •Cheby1 – проектирование цифрового и аналогового фильтров Чебышева – первого типа:
- •Cheby2 – проектирование цифрового и аналогового фильтров Чебышева второго типа:
- •Ellip – проектирование эллиптического цифрового и аналогового фильтров:
- •Yulewalk – проектирование рекурсивного фильтра с использованием метода наименьших квадратов по заданной амплитудно-частотной характеристике:
- •7.3. Выбор порядка бих-фильтра buttord – выбор порядка фильтра Баттерворта:
- •Cheb1ord – выбор порядка для фильтра Чебышева первого порядка:
- •Cheb2ord– выбор порядка для фильтра Чебышева первого порядка:
- •Ellipord – выбор порядка эллиптического фильтра:
- •7.4. Проектирование ких-фильтров fir1 – фильтр fir проектируется с использованием метода окна:
- •Fir2– проектирование фильтра fir с использованием оконного метода для произвольной формы фильтра:
- •Firls – проектирование ких-фильтра с использованием минимизации ошибок методом наименьших квадратов (мнк):
- •Intfilt – расчет интерполирующего ких-фильтра:
- •Remez – синтез оптимального fir-фильтра с равномерной (чебышевской) аппроксимацией на основе алгоритма Паркса – Мак-Клелана:
- •7.5. Преобразования czt–z-преобразование по спиральному контуру:
- •Dct– дискретное косинусное преобразование:
- •Impinvar – метод инвариантной импульсной характеристики для перевода аналогового фильтра в цифровой:
- •8. Примеры проектирования цифровых фильтров
- •8.1. Генерация входной последовательности сигнала
- •8.2. Реализация спектрального анализа с использованием бпф
- •8.3. Синтез цифрового ких-фильтра
- •8.4. Реализация цифровой фильтрации
- •Список литературы
- •Содержание
- •197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5
1.2. Представление цифрового фильтра в виде разностного уравнения
Цифровой фильтр в общем виде представляется следующим образом как разностное уравнение:
, (1.2)
где aj и bi – вещественные или комплексные коэффициенты.
Цифровые фильтры принято делить на два класса: нерекурсивные (НФ) и рекурсивные (РФ). Если в (1.2) все коэффициенты aj = 0, что соответствует отсутствию обратной связи, то фильтр является нерекурсивным и описывается уравнением
. (1.3)
Если в (1.3) хотя бы один из коэффициентов aj 0, то фильтр является рекурсивным и представляет собой устройство с обратной связью.
Таким образом, для рекурсивных фильтров соотношение между входной последовательностью {x(n)} и откликом фильтра {y(n)} может быть записано следующим образом:
, (1.4)
т. е. текущий отсчет отклика y(n) определяется не только текущим и предшествующим значениями входной последовательности, но и предшествующими отсчетами отклика.
В нерекурсивных фильтрах связь между входной последовательностью и откликом имеет вид
,
т. е. текущий отсчет отклика зависит от текущего и предшествующих значений входной последовательности.
Для анализа систем, описываемых разностными уравнениями, широко применяется z-преобразование. Прямое z-преобразование X(z) последовательности x(n) определяется формулой
. (1.5)
В разностных уравнениях существенной операцией является единичная задержка, описываемая оператором 1/z, или z–1 (т. е. для последовательности x(n–1) z-преобразование будет иметь вид z–1X(z).
Передаточной (системной) функцией H(z) цифрового фильтра называется отношение z-преобразований выходного Y(z) и входного X(z) сигналов фильтра. Для рекурсивного и нерекурсивного фильтров из (1.3) и (1.4), используя (1.5), получаем:
Комплексная частотная характеристика цифрового фильтра, представленного в виде разностного уравнения (1.2), может быть получена подстановкой в выражение для передаточной функции значения . Для рекурсивного фильтра общего вида частотная характеристика будет иметь вид
.
Аналогично, для нерекурсивного фильтра имеем:
.
2. Ких-фильтры. Методы синтеза
Фильтр, импульсная характеристика которого является последовательностью конечной длины, называют фильтром с конечной импульсной характеристикой, или КИХ-фильтром.
Такой фильтр всегда можно сделать физически реализуемым, введя необходимую задержку импульсной характеристики. Если все элементы импульсной характеристики конечны, то КИХ-фильтр всегда устойчив, так как проверка на устойчивость сводится к суммированию конечного числа ограниченных слагаемых. Более того, КИХ-последовательности можно выбрать так, чтобы фильтры имели строго линейные фазовые характеристики. Поэтому, используя КИХ-последовательности, можно проектировать фильтры с произвольной амплитудной характеристикой.
Известны три класса методов расчета КИХ-фильтров с линейной фазой:
методы взвешивания с помощью окна;
методы частотной выборки;
методы оптимальных (по Чебышеву) фильтров.
В настоящем пособии рассматривается только первый метод как наиболее просто реализуемый.
Частотная характеристика любого цифрового фильтра является периодической функцией частоты, поэтому ее можно представить рядом Фурье:
,
где .
Видно, что коэффициенты Фурье h(n) совпадают с коэффициентами импульсной характеристики цифрового фильтра. Используя для проектирования КИХ-фильтров соотношение (1.1), можно столкнуться с двумя трудностями. Во-первых, импульсная характеристика фильтра имеет бесконечную длину, поскольку суммирование в (1.1) производится в бесконечных пределах. Во-вторых, фильтр физически не реализуем, так как импульсная характеристика начинается в –¥, т. е. никакая конечная задержка не сделает фильтр физически реализуемым.
Один из возможных методов получения КИХ-фильтра, аппроксимирующего заданную функцию , заключается в усечении бесконечного ряда Фурье заn = ±M. Однако простое усечение ряда приводит к явлению Гиббса, которое проявляется в виде выбросов и пульсаций определенного уровня до и после точки разрыва в аппроксимируемой частотной характеристике.
Лучшие характеристики дает метод проектирования КИХ-фильтров, основанный на использовании весовой последовательности конечной длины w(n), называемой окном, для модификации коэффициентов Фурье h(n) в формуле (1.1) с тем, чтобы управлять сходимостью ряда Фурье. Проиллюстрируем метод взвешивания.
На рис. 2.1, а, показаны заданная периодическая частотная характеристика и ее коэффициенты Фурье. Изображена весовая последовательность конечной длиныw(n) и ее преобразование Фурье (рис. 2.1, б). Чтобы получить КИХ-аппроксимацию функции, формируется последовательность, в точности равная нулю за пределами интервала –M £ n £ M. Показана последовательность и ее преобразование Фурье(рис. 2.1, в), равное, очевидно, круговой свертке функций и, посколькуявляется произведениемh(n) и w(n). На рис. 2.1, г приведена физически реализуемая последовательность g(n), которая равна задержанной последовательности и может быть использована в качестве искомой импульсной характеристики фильтра.
а
б
в
г
Рис. 2.1
Рассмотрим основные виды окон, используемых при синтезе КИХ-фильтров.