Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАКЕТА ПРОГРАММ MATLAB.DOC
Скачиваний:
121
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
1.41 Mб
Скачать

1.2. Представление цифрового фильтра в виде разностного уравнения

Цифровой фильтр в общем виде представляется следующим образом как разностное уравнение:

, (1.2)

где aj и bi – вещественные или комплексные коэффициенты.

Цифровые фильтры принято делить на два класса: нерекурсивные (НФ) и рекурсивные (РФ). Если в (1.2) все коэффициенты aj = 0, что соответствует отсутствию обратной связи, то фильтр является нерекурсивным и описывается уравнением

. (1.3)

Если в (1.3) хотя бы один из коэффициентов aj  0, то фильтр является рекурсивным и представляет собой устройство с обратной связью.

Таким образом, для рекурсивных фильтров соотношение между входной последовательностью {x(n)} и откликом фильтра {y(n)} может быть записано следующим образом:

, (1.4)

т. е. текущий отсчет отклика y(n) определяется не только текущим и предшествующим значениями входной последовательности, но и предшествующими отсчетами отклика.

В нерекурсивных фильтрах связь между входной последовательностью и откликом имеет вид

,

т. е. текущий отсчет отклика зависит от текущего и предшествующих значений входной последовательности.

Для анализа систем, описываемых разностными уравнениями, широко применяется z-преобразование. Прямое z-преобразование X(z) последовательности x(n) определяется формулой

. (1.5)

В разностных уравнениях существенной операцией является единичная задержка, описываемая оператором 1/z, или z–1 (т. е. для последовательности x(n1) z-преобразование будет иметь вид z1X(z).

Передаточной (системной) функцией H(z) цифрового фильтра называется отношение z-преобразований выходного Y(z) и входного X(z) сигналов фильтра. Для рекурсивного и нерекурсивного фильтров из (1.3) и (1.4), используя (1.5), получаем:

Комплексная частотная характеристика цифрового фильтра, представленного в виде разностного уравнения (1.2), может быть получена подстановкой в выражение для передаточной функции значения . Для рекурсивного фильтра общего вида частотная характеристика будет иметь вид

.

Аналогично, для нерекурсивного фильтра имеем:

.

2. Ких-фильтры. Методы синтеза

Фильтр, импульсная характеристика которого является последовательностью конечной длины, называют фильтром с конечной импульсной характеристикой, или КИХ-фильтром.

Такой фильтр всегда можно сделать физически реализуемым, введя необходимую задержку импульсной характеристики. Если все элементы импульсной характеристики конечны, то КИХ-фильтр всегда устойчив, так как проверка на устойчивость сводится к суммированию конечного числа ограниченных слагаемых. Более того, КИХ-последовательности можно выбрать так, чтобы фильтры имели строго линейные фазовые характеристики. Поэтому, используя КИХ-последовательности, можно проектировать фильтры с произвольной амплитудной характеристикой.

Известны три класса методов расчета КИХ-фильтров с линейной фазой:

  • методы взвешивания с помощью окна;

  • методы частотной выборки;

  • методы оптимальных (по Чебышеву) фильтров.

В настоящем пособии рассматривается только первый метод как наиболее просто реализуемый.

Частотная характеристика любого цифрового фильтра является периодической функцией частоты, поэтому ее можно представить рядом Фурье:

,

где .

Видно, что коэффициенты Фурье h(n) совпадают с коэффициентами импульсной характеристики цифрового фильтра. Используя для проектирования КИХ-фильтров соотношение (1.1), можно столкнуться с двумя трудностями. Во-первых, импульсная характеристика фильтра имеет бесконечную длину, поскольку суммирование в (1.1) производится в бесконечных пределах. Во-вторых, фильтр физически не реализуем, так как импульсная характеристика начинается в –¥, т. е. никакая конечная задержка не сделает фильтр физически реализуемым.

Один из возможных методов получения КИХ-фильтра, аппроксимирующего заданную функцию , заключается в усечении бесконечного ряда Фурье заn = ±M. Однако простое усечение ряда приводит к явлению Гиббса, которое проявляется в виде выбросов и пульсаций определенного уровня до и после точки разрыва в аппроксимируемой частотной характеристике.

Лучшие характеристики дает метод проектирования КИХ-фильтров, основанный на использовании весовой последовательности конечной длины w(n), называемой окном, для модификации коэффициентов Фурье h(n) в формуле (1.1) с тем, чтобы управлять сходимостью ряда Фурье. Проиллюстрируем метод взвешивания.

На рис. 2.1, а, показаны заданная периодическая частотная характеристика и ее коэффициенты Фурье. Изображена весовая последовательность конечной длиныw(n) и ее преобразование Фурье (рис. 2.1, б). Чтобы получить КИХ-аппроксимацию функции, формируется последовательность, в точности равная нулю за пределами интервала –M £ n £ M. Показана последовательность и ее преобразование Фурье(рис. 2.1, в), равное, очевидно, круговой свертке функций и, посколькуявляется произведениемh(n) и w(n). На рис. 2.1, г приведена физически реализуемая последовательность g(n), которая равна задержанной последовательности и может быть использована в качестве искомой импульсной характеристики фильтра.

а

б

в

г

Рис. 2.1

Рассмотрим основные виды окон, используемых при синтезе КИХ-фильтров.