Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАКЕТА ПРОГРАММ MATLAB.DOC
Скачиваний:
142
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
1.41 Mб
Скачать

3.1. Аналоговые фильтры-прототипы

Приведем расчетные формулы для нескольких стандартных типов аналоговых фильтров. Допустим, нужно рассчитать аналоговый фильтр нижних частот с частотой среза W = 1 рад/с. В качестве аппроксимируемой функции будет использоваться квадрат амплитудной характеристики (исключением является фильтр Бесселя).

Будем считать, что передаточная функция аналогового фильтра является рациональной функцией переменной s следующего вида:

.

3.1.1. Фильтры Баттерворта

Фильтры Баттерворта нижних частот характеризуются тем, что имеют максимально гладкую амплитудную характеристику в начале координат в s-плоскости. Квадрат амплитудной характеристики нормированного (т. е. имеющего частоту среза 1 рад/с) фильтра Баттерворта равен

,

где n – порядок фильтра. Аналитически продолжая функцию на всю s-плоскость, получим:

Все полюсы этой функции находятся на единичной окружности на одинаковом расстоянии друг от друга в s-плоскости. Выразим передаточную функцию H(s) через полюсы, располагающиеся в левой полуплоскости s:

,

где ,k = 1, 2, ..., n; k0 – константа нормирования.

Можно сформулировать несколько свойств фильтров Баттерворта нижних частот:

  • Фильтры Баттерворта имеют только полюсы (все нули передаточных функций этих фильтров расположены на бесконечности).

  • На частоте W= 1 рад/с коэффициент передачи фильтра равен (т. е. на частоте среза их амплитудная характеристика снижается на 3 дБ).

  • Порядок фильтра nполностью определяет весь фильтр.

3.1.2. Фильтры Чебышева

Отличительной чертой фильтров Чебышева является наименьшая величина максимальной ошибки аппроксимации в заданной полосе частот. В действительности ошибка аппроксимации представляется в заданной полосе частот равновеликими пульсациями, т. е. она флуктуирует между максимумами и минимумами равной величины. В зависимости от того, где минимизируется ошибка аппроксимации – в полосе пропускания или в полосе непропускания, – различают фильтры Чебышева типа 1 и 2.

Фильтры Чебышева типа 1 имеют только полюсы и обеспечивают равновеликие пульсации амплитудной характеристики в полосе пропускания и монотонное изменение ослабления в полосе непропускания. Квадрат амплитудной характеристики фильтра Чебышева типа 1 n-го порядка описывается выражением

,

где – полином Чебышеваn-го порядка, по определению равный

e – параметр, характеризующий пульсации в полосе пропускания.

Свойство оптимальности фильтров Чебышева типа 1 порядка n заключается в том, что не существует какого-либо другого фильтра n-го порядка, содержащего только полюсы, который имел бы такие же или лучшие характеристики и в полосе пропускания, и в полосе непропускания.

Фильтры Чебышева типа 2 (иногда их называют обратными фильтрами Чебышева) обеспечивают монотонное изменение ослабления в полосе пропускания и равновеликие пульсации в полосе непропускания. Нули фильтров этого типа располагаются на мнимой оси в s-плоскости, а полюсы – в левой полуплоскости. Квадрат амплитудной характеристики фильтров Чебышева типа 2 порядка n можно представить следующим образом:

,

где Wr – наинизшая частота, на которой в полосе непропускания достигается заданный уровень ослабления.