6.2. Краткая сводка результатов

Параметрический метод спектрального оценивания состоит из трех этапов. На первом из них производится выбор параметрической модели временного ряда, соответствующий имеющейся записи измеренных данных. В этой главе будут рассмотрены три типа параметрических моделей временных рядов: авторегрессионная (АР) модель, модель скользящего среднего (СС) и комбинированная модель авторегрессии - скользящего среднего (АРСС). На втором этапе вычисляются оценки параметров модели. На третьем этапе оцененные значения параметров вводятся в теоретическое выражение для спектральной плотности мощности, соответствующее избранной модели.

В табл.6.1 указаны номера уравнений для АР-, СС-, и АРСС-моделей, которые приводятся в данной главе. В приложении 6.А помещена машинная программа ARMAPSD, предназначенная для вычисления значений СПМ по заданным значениям параметров соответствующей модели. Выбор одной из трех моделей, приведенных в табл.6.1, требует некоторых предварительных сведений о возможной форме спектральной оценки. Если необходимы спектры с острыми пиками, но без глубоких впадин (нулей), то наиболее подходящей является АР-модель. Если, наоборот, необходимы спектры с глубокими нулями, но без острых пиков, то подойдет СС-модель. Что же касается АРСС-модели, то она может, вообще говоря, применяться в обоих этих предельных случаях. В тех случаях, когда одинаково пригодна любая из трех моделей, следует, по всей вероятности, использовать ту из них, которая имеет наименьшее число параметров. Этот принцип экономии был предложен Боксом и Дженкинсом [1] и основан на том факте, что получить оценки с хорошими статистическими свойствами можно, как правило, тогда, когда число оцениваемых параметров минимально. Заметим, однако, что вычислительные затраты для оценивания параметров АР-модели часто значительно меньше вычислительных затрат, требуемых для оценивания параметров СС- и АРСС-моделей, поэтому АР-модель временного ряда иногда выгодно применять даже тогда, когда она не является моделью с наименьшим числом параметров. Вопросы, касающиеся числа параметров для уже выбранной модели будут рассмотрены в гл.8 и10.

Таблица 6.1. Сводка основных соотношений для параметрических моделей

Основные соотношения	АРСС	АР	СС
Определение временного ряда	(6.1)	(6.13)	(6.11)
Автокорреляционная последовательность	(6.29)	(6.31)	(6.35)
СПМ (на основе параметров)	(6.8)	(6.14)	(6.12)
СПМ (на основе АКП)	-	(6.33)	(6.36)
Эквивалентность АР-(¥)-модели	(6.17)	-	(6.17)
Эквивалентность СС-(¥)-модели	(6.24)	(6.24)	-

6.3. Ар-, сс- и арсс-модели случайных процессов

Модель временного ряда, которая пригодна для аппроксимации многих встречающихся на практике детерминированных и стохастических процессов с дискретным временем, описывается выходом фильтра, выражаемым следующим линейным разностным уравнением с комплексными коэффициентами:

(6.1)

(6.2)

Здесь x[n] - последовательность на выходе казуального фильтра (h[k]=0 при k<0), который формирует наблюдаемые данные, а u[n] - входная возбуждающая последовательность. Без потери общности можно положить b[0]=1, так как вход u[n] всегда можно соответствующим образом промасштабировать, с тем чтобы учесть любой коэффициент усиления фильтра. Выше было показано, что системная функция H(z) , связывающая вход и выход этого фильтра имеет рациональную форму

H(z) = (6.3)

в которой полиномы определяются следующими выражениями:

A(z) = 1 + (6.4)

B(z) = 1 + (6.5)

H(z) = 1+ (6.6)

При этом предполагается, что нули полиномов A(z) и B(z) расположены внутри единичной окружности в z-плоскости, с тем чтобы гарантировать принадлежность функции H(z) устойчивому минимально-фазовому казуальному фильтру.

Согласно выражениям z-преобразование автокорреляции выходной последовательности x[n] и z-преобразование автокорреляции входного случайного процесса u[n] связаны соотношением

P_xx (z) = P_uu (z)H(z)H^*(1/z^*) = P_uu (z) [B(z)B^*(1/z^*)] / [A(z)A^*(1/z^*)]. (6.7)

Входной возбуждающий процесс u[n] обычно не доступен для наблюдения и поэтому не может быть использован для целей спектрального анализа. Относительно него можно принять много различных допущений, скажем положить, что это единичный u[n] импульс, импульсная последовательность или белый шум. Если, например, использовано допущение о том, что это - импульс, то мы приходим к методам, которые описаны в гл.11. В данной главе мы будем полагать, что возбуждающая последовательность является белым шумом с нулевым средним значением и дисперсией p_w, так что P_uu(z)= p_w. Тогда модель авторегрессии-скользящего среднего (АРСС) для временного ряда будет определяться выражением, где u[n] - последовательность, соответствующая белому шуму. Функциональная схема АРСС-модели показана на рис.6.1,а; здесь параметры a[k] характеризуют авторегрессионную часть этой модели, а параметры b[k] - ее часть, соответствующую скользящему среднему. Спектральную плотность мощности для АРСС-модели получаем, подставляя в (6.7) z=exp(j2pfT) и масштабируя интервалом отсчетов T, что дает

Р_АРСС(f) = Tr_wTr_w(6.8)

где полиномы A(f) и B(f) определяются выражениями

A(f) = 1 + (6.9)

B(f) = 1 +

а векторы комплексных синусоид e_q(f) и e_p(f) и векторы параметров a и b имеют следующий вид:

e_p(f) = (6.10)

e_q(f) =

Спектральная плотность мощности АРСС-процесса вычисляется в диапазоне частот -1/2T£ f £1/2T.

В литературе часто используется обозначение АРСС(p,q), что удобно для краткого обозначения АРСС-модели с параметрами авторегрессии порядка p и параметрами скользящего среднего порядка q. Заметим, что задание АР-параметров, СС-параметров и дисперсии белого шума p_w полностью характеризуют спектральную плотность мощности АРСС-процесса x[n] . Любой аддитивный шум наблюдения, присутствующий в последовательности измеряемых данных, должен моделироваться как шум источника возбуждающего шума, являющегося составной частью АРСС-модели. Эффекты, обусловленные шумом наблюдения, обсуждаются в гл.8.

рисунки 6.2

Если все АР-параметры положить, за исключением a[0]=1, равными нулю, то тогда

x[n] =(6.11)

будет строго СС-процессом порядка q, или просто СС(q)-процессом. Полагая в уравнении (6.8) p=0, получаем спектральную плотность мощности СС-процесса

P_cc (f) =Tr_wTr_w (6.12)

Функциональная схема СС-модели показана на рис.6.1,в.

Если все СС-параметры положить, за исключением b[0]=1, равными нулю, то

x[n] = - (6.13)

будет строго АР-процессом порядка р, или просто АР(р) - процессом. Полагая в уравнении (6.8) q=0, получаем спектральную плотность мощности АР-процесса:

P_АР (f) = (6.14)

Функциональная схема АР-модели показана на рис.6.1,г. При заданных значениях параметров и дисперсии белого шума r_w спектральные плотности мощности АРСС-, СС-, АР-процессов можно вычислить с помощью подпрограммы ARMAPSD, приведенной в приложении 6.А.

На рис. 6.2 показаны спектры типичных АРСС-, СС-, АР-процессов. Отметим острые пики, характерные для АР-спектров, и глубокие провалы, характерные для СС-спектров. АРСС-спектр, показанный на рис.6.2,в представляет собой результат объединения АР- и СС-спектров, показанных на на рис.6.2,а и 6.2,б. АРСС-спектр пригоден для моделирования как острых пиков, так и глубоких провалов. С несколько иной трактовкой спектральных характеристик этих параметрических моделей можно познакомиться в статье Гутовски и др. [2] и книге Кея [3].