6.5. Соотношение ар-, сс- и арсс-параметров

с автокорреляционной последовательностью

Этот раздел посвящен определению параметров модели в том случае, когда известна автокорреляционная последовательность. Если обе части уравнения (6.1) помножить на x^* [n-m] и определить математическое ожидание, то получим

(6.25)

или

(6.26)

Взаимную корреляцию r_ux[i] между входом и выходом можно записать через параметры h[k], входящие в выражение (6.6), используя для этой цели уравнение (6.2),

что дает

(6.27)

Поскольку полагается, что u[k] - белый шум, то

(6.28)

Отсюда получаем окончательное выражение, связывающее параметры АРСС-модели и автокорреляционную последовательность процесса x[k]:

r_xx[m] = (6.29)

где напомним читателю, что h[0] =1 по определению (см. уравнение (6.2)).

Авторегрессионные параметры АРСС-модели и автокорреляционная последовательность связаны системой линейных уравнений. Выражение (6.29) можно, например, записать для p значений индекса временного сдвига q+1 £ m £ q+p и затем представить в матричной форме

(6.30)

Таким образом, если задана автокорреляционная последовательность для q-p+1 £ m £ q+p , то АР-параметры можно найти отдельно от СС-параметров как решение системы линейных уравнений (6.30). Уравнения (6.30) называются нормальными уравнениями Юла-Уолкера для АРСС-процесса; иногда их также называют модифицированными уравнениями Юла-Уолкера. Автокорреляционная матрица в системе (6.30) является тёплицевой, поэтому для решения этой системы можно применить подпрограмму, помещенную в приложении 3.Г. Количество требуемых для решения вычислительных операций пропорционально величине p². Следует заметить, что значения СС-параметров АРСС-модели не являются, к сожалению, решением системы линейных уравнений. СС-параметры входят в выражение (6.29) в виде сверток с коэффициентами импульсной характеристики h[k], а это приводит к нелинейной связи автокорреляционной последовательностью.

Полагая в (6.29) q=0, получаем уравнение, связывающее авторегрессионную последовательность с параметрами авторегрессионной модели:

(6.31)

Это выражение можно записать для p+1 значений индекса временного сдвига -0 £ m £ p и затем представить в матричной форме

(6.32)

Таким образом, если задана автокорреляционная последовательность для 0 £ m £ p , то АР-параметры можно найти в результате решения уравнений (6.32), которые называются нормальными уравнениями Юла-Уолкера для АР-процесса. Автокорреляционная матрица в (6.32) является тёплицевой, и эрмитовой, поскольку r_xx[-k] = . Поэтому для получения решения p_w , a[1],..., a[p] при заданной АКП с 0 £ m £ p можно использовать подпрограмму LEVINSON , помещенную в приложении 3.В. Количество требуемых для этого вычислительных операций пропорционально величине p².

Используя автокорреляционную последовательность, соответствующую уравнениям (6.31), получаем следующее выражение для СПМ авторегрессионного процесса:

. (6.33)

Заметим, что значения автокорреляции, соответствующие значениям индекса временного сдвига то 0 до p, однозначно описывают авторегрессионный процесс порядка p, поскольку значение автокорреляции при |k| > p получаются рекурсивно

(6.34)

что следует из выражения (6.29) при q=0. Полагая в (6.29) p=0 и замечая, что h[k]= b[k] при 1 £ k £ q, получаем выражение, связывающее автокорреляционную последовательность с параметрами модели скользящего среднего

(6.35)

Отсюда следует, что АКП и СС-параметры связаны нелинейным соотношением типа свертки. Используя далее автокорреляционную последовательность, соответствующую уравнениям (6.35), получаем выражение для СПМ процесса скользящего среднего

(6.36)

Заметим, что суммирование в (6.36) осуществляется в конечных пределах, что просто отражает тот факт, что процесс скользящего среднего порядка q некоррелирован при временных сдвигах |k| > q. Выражение (6.36) идентично по форме выражению для оценки СПМ, получаемой с помощью классического коррелограммного метода:

(6.37)

если используются автокорреляционные оценки для которых максимальное значение k равно q . Различие между этими двумя методами спектрального оценивания обусловлено тем, как в них используются имеющиеся данные. В коррелограммной методе данные используются непосредственно для получения оценки автокорреляционной последовательности. В методе скользящего среднего данные используются для получения оценок СС-параметров (см. гл.10, где описана процедура СС-оценивания), а затем с помощью выражения (6.12) вычисляется СПМ. Тем не менее оба метода дают спектры с одинаковыми свойствами.