Теория и практика вейвлет-преобразования / entire

Глава 2

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Данная глава является введением в теорию вейвлет-преобразования. В ней рассмотрены непрерывное и дискретное вейвлет-преобразования, ряды вейвлетов, быстрые алгоритмы вычислений. Также обсуждается свойство гладкости базисных вейвлет-функций. Математическое описание предполагает знакомство читателя с теорией преобразования Фурье.

2.1. Непрерывное вейвлет-преобразование

Важнейшим средством анализа стационарных непрерывных сигналов является преобразование Фурье непрерывного времени (CTFT). При этом сигнал раскладывается в базис синусов и косинусов различных частот. Количество этих функций – бесконечно большое. Коэффициенты преобразования находятся путем вычисления скалярного произведения сигнала с комплексными экспонентами:

+∞
F (ω )= ∫ f (x)e −iωx dx,	(2.1)

−∞

где f (x) означает сигнал, а F (ω ) - его преобразование Фурье. С практиче-

ской точки зрения CTFT имеет ряд недостатков. Во-первых, для получения преобразования на одной частоте требуется вся временная информация. Это означает, что должно быть известно будущее поведение сигнала. Далее, на практике не все сигналы стационарны. Пик в сигнале во временной области распространится по всей частотной области его преобразования Фурье. Для преодоления этих недостатков CTFT вводится кратковременное, или оконное преобразование Фурье (STFT):

+∞
STFTf (ω, b)= ∫ f (x)e −iωx w(x − b)dx ,	(2.2)

−∞

в котором применяется операция умножения сигнала на окно перед применением преобразования Фурье. Окном w(x − b) является локальная функция,

которая сдвигается вдоль временной оси для вычисления преобразования в нескольких позициях b. Преобразование становится зависимым от времени,

28

и в результате получается частотно-временное описание сигнала. В качестве окна часто выбирается функция Гаусса, и в этом случае обратное преобразование тоже будет выполняться с использованием оконной функции Гаусса. Используются также многочисленные другие окна, в зависимости от конкретного приложения.

Недостаток STFT состоит в том, что при его вычислении используется фиксированное окно, которое не может быть адаптировано к локальным свойствам сигнала.

Вейвлет-преобразование, рассматриваемое далее, решает эту и некоторые другие проблемы. Непрерывное вейвлет-преобразование (CTWT) есть скалярное произведение f (x) и базисных функций

ψ a,b (x)

так что

CTWTf

−1 / 2

x − b

+

= a

ψ

, a R

, b R ,

(2.3)

a

−1 / 2

+∞

x − b

(a, b)= a

∫ψ

f (x)dx .

(2.4)

−∞

a

Базисные функции ψa,b L2 (R) являются вещественными и колеблются

вокруг оси абсцисс. Они определены на некотором интервале. Данные функции называются вейвлетами (в переводе – короткие волны) и могут рассматриваться как масштабированные и сдвинутые версии функции-прототипа ψ (x). Параметр b показывает расположение во времени, а а – параметр

масштаба. Большие значения а соответствуют низким частотам, малые – высоким. Операция умножения на окно как бы содержится в самой базисной функции, которая позволяет сужать и расширять это окно. Отсюда появляется возможность адаптивного к сигналу выбора параметров окна.

На рис. 2.1 показано разбиение частотно-временного плана для STFT и для CTWT. В соответствии с принципом неопределенности сужение окна анализа во временной области вызывает расширение его в частотной. Таким образом, площадь окна остается постоянной.

Для того чтобы было возможно обратное получение f (x) из результата CTWT, функция ψ (x) должна удовлетворять следующему условию:

∞			Ψ(ω )		2
Cψ = ∫						dω < ∞ ,	(2.5)
			ω
0

29

f
(а)	t

f
(б)	t

Рис. 2.1. Разбиение частотно-временного плана при STFT (a) и при CTFT (б)

где через Ψ(ω ) обозначено преобразование Фурье ψ (x). Если ψ (x) - локальная функция, то из (2.5) следует, что ее среднее значение равно нулю:

		∞
		∫ψ (x)dx = 0 .									(2.6)
		−∞
Тогда формула реконструкции имеет вид
f (x)=	1	∞ ∞	(a, b)a	−1 / 2	x − b dadb
		∫ ∫ CTWTf		ψ						.	(2.7)
	Cψ							a	2
		−∞ 0				a

Как видно из (2.7), f (x) может быть выражена через сумму базисных

функций ψ a,b (x) с весами CTWTf (a, b).

Параметры а и b меняются непрерывно, и поэтому множество базисных функций избыточно. Необходима дискретизация значений а и b при сохранении возможности восстановления сигнала из его преобразования. Можно показать, что дискретизация должна осуществляться следующим образом:

a = a0m ; b = nb0 a0m , m, n Z , a0 > 1, b0 ≠ 0 . (2.8)

Возможен произвольный выбор параметра b0 . Без потери общности выберем b0 = 1. Из (2.8) видно, что параметр местоположения зависит от пара-

метра масштаба. С увеличением масштаба увеличивается размер шага сдвига. Это интуитивно понятно, так как при анализе с большим масштабом детали не так важны.

Для дискретных значений а и b вейвлет-функции представляются в виде
ψ m,n	(x) = a0−m / 2ψ (a0−m x − n).	(2.9)
	30

Иногда дискретизированное преобразование называется вейвлетпреобразованием. Однако нам кажется более правильным ввести по аналогии с терминологией преобразований Фурье название рядов вейвлетов непрерывного времени (CTWS), так как мы имеем дело с дискретным представлением непрерывного сигнала. CTWS определяется путем дискретизации

CTWT:

(CTWS )

f m,n

∞
= d m,n = ∫ a0−m / 2ψ (a0−m x − n)f (x)dx .	(2.10)

−∞

Восстановление f (x) из последовательности возможно в том случае, если существуют числа A > 0 и B < ∞ , такие что

A

f (x)

2 ≤ ∑∑

dm,n

2 ≤ B

f (x)

2

(2.11)

m Z n Z

для всех f (x) в L2 (R). Это означает, что хотя реконструкция

f (x) из ее

вейвлет-коэффициентов может не совпадать точно с f (x), она будет близка

к ней в среднеквадратическом смысле. Если A = B = 1 и a0 = 2 , то возможно
полное восстановление, и семейство базисных функций ψ a,b (x)	образует ор-
тогональный базис. Тогда
f (x)= Cψ ∑∑dm,n a0−m / 2ψ (a0−m x − n).	(2.12)
m Z n Z

Если базисные функции нормализованы, то Cψ = 1.

Итак, мы дали определения вейвлет-преобразования и ряда вейвлетов для функций непрерывного времени по аналогии с соответствующими формулами для преобразования и ряда Фурье. Прежде чем перейти к рассмотрению дискретного вейвлет-преобразования, введем концепцию кратномасштабного анализа, которая является краеугольным камнем в теории вейвлетпреобразования.

2.2. Кратномасштабное представление функций

При анализе сигналов часто полезно представить сигнал в виде совокупности его последовательных приближений. Например, при передаче изображения можно сначала передать грубую его версию, а затем последовательно ее уточнять. Такая стратегия передачи имеет выгоды, например при осуществлении выбора изображений из некоторой базы данных, когда необходимо

31

быстро просмотреть большое количество картинок. Другим примером может являться телевизионный приемник, на экране которого одновременно отображены несколько программ. Разрешение и размеры выбранной программы должны затем кратномасштабно увеличиться.

Теория кратномасштабного анализа базируется на теории функциональных пространств.

Под кратномасштабным анализом понимается описание пространства L2 (R) через иерархические вложенные подпространства Vm, которые не пе-

ресекаются и объединение которых дает нам в пределе L2 (R), то есть

... V2 V1	V0 V−1			V−2 ...,
!Vm = {0},				= L2 (R).	(2.13)
		Vm
m Z		m Z

Далее, эти пространства имеют следующее свойство: для любой функции
f (x) Vm ее сжатая версия будет принадлежать пространству Vm−1 ,
f (x) Vm f (2x) Vm−1 .	(2.14)

И, наконец, последнее свойство кратномасштабного анализа: существует такая функция φ(x) V0 , что ее сдвиги φ0,n (x) = φ(x − n), n Z образуют ор-

тонормированный базис пространства V0 . На рис. 2.2 схематично показаны
данные вложенные пространства.
Так как функции φ0,n (x) образуют ортонормированный базис пространст-
ва V0 , то функции
φm,n (x) = 2−m / 2 φ(2−m x − n)	(2.15)

образуют ортонормированный базис пространства Vm . Эти базисные функции называются масштабирующими, так как они создают масштабированные версии функций в L2 (R). Из кратномасштабного анализа, определенного выше, следует, что функция f (x) в L2 (R) может быть представлена множе-

ством последовательных ее приближений	f m (x) в	Vm . Другими словами,
функция f (x) есть предел аппроксимаций	f m (x) Vm	при m стремящемся к
минус бесконечности:
f (x)= lim	f m (x),	(2.16)
m→−∞

32

Отсюда появляется возможность анализа функции или сигнала на различных уровнях разрешения, или масштаба. Переменная m называется масштабным коэффициентом, или уровнем анализа. Если значение m велико, то функция в Vm есть грубая аппроксимация f (x), и детали отсутствуют. При малых

значениях m имеет место точная аппроксимация. Из определения кратномасштабного анализа следует, что все функции в Vm могут быть представлены как линейная комбинация масштабирующих функций. В действительности, fm (x) есть ортогональная проекция f (x) на Vm ,

fm (x) = ∑ φm,n (x),	f (x) φm,n (x) = ∑cm,nφm,n (x).	(2.17)
n	n
Так как φ(x) = φ0,0 (x) V0 V−1 , можно записать
φ0,0 (x) = 21/ 2 ∑hnφ−1,n (x) = 2∑hnφ(2x − n),		(2 .18)
n	n

где hn - некоторая последовательность. Равенство (2.18) является одним из

основных в теории вейвлет-анализа и имеет различные названия в литературе. Мы будем называть его далее масштабирующим уравнением.

L2 (R)

Vm −2

{0}

Vm−1

Рис. 2.2. Кратномасштабное представление L2 (R)

Функция φ(x) и последовательность hn тесно связаны между собой. Выведем соответствующие отношения. Из (2.18) можно получить

33

φm+1,k (x) = 21/ 2 ∑hpφm, p−2k (x) = 2(−m+1)/ 2 ∑hpφ(2−m x − (p − 2k )).		(2.19)
p	p

Выполним операцию скалярного произведения φm,n−2k равенства (2.19):

(x) с обеих сторон

φm+1,k (x),φm,n−2k (x) = 21/ 2 ∑hpφm, p−2k (x),φm,n−2k (x) =

p
= 21/ 2 ∑hp φm, p−2k (x),φm.n−2k (x) = 21/ 2 hn .	(2.20)
p

Отметим, что это равенство выполняется для любого m . Далее, если пе-

реписать (2.18) в частотной области, можно получить
ω				ω		(2.21)
Φ(ω )= H	Φ				.
2					2
При рекурсивном повторении формулы (2.21) получается выражение
∞	ω
Φ(ω )= ∏H					.	(2.22)
		2	m
m=1

Итак, последовательность hn тесно связана с масштабирующей функци-

ей. Кроме того, из концепции кратномасштабного анализа вытекают следующие свойства.

Во-первых, интегрируя (2.18) по всей числовой оси x , можно получить

∑hn = 1 ,	(2.23)
n

так как для построения кратномасштабного анализа среднее значение функции φ(x) не должно быть равно нулю. Во-вторых, в силу ортонормальности базисных функций

δ 0,k = φ0,0 (x),φ0,k (x) = 2∑hn hn+2k .	(2.24)
n

34

Третье свойство последовательности hn сформулируем в спектральной области. Из записи условия ортонормальности функций φm,n (x) в области спектра

∑

Φ(ω + 2kπ )

2 = 1

(2.25)

k

можно получить следующее выражение:

H (ω )

2 +

H (ω +π )

2 = 1 .

(2.26)

Равенство (2.23) эквивалентно тому, что H (0)= 1 . Тогда из (2.26) следует, что H (π )= 0 .

Эти свойства последовательности hn будут использованы позднее. А пока оставим на время теорию и перейдем к простейшему примеру множества масштабирующих функций, образующих L2 (R).

Рассмотрим множество сдвигов и растяжений единичной функции на

единичном интервале:
φ(x) = 1,			0 ≤ x < 1,	(2.27)
	0,		в остальных случаях.
Так, базисные функции с коэффициентом масштаба –1 имеют вид
φ−1,n			n / 2 ≤ x < (n +1)/ 2,
	(x) =	2,		(2.28)
		0,	в других случаях.

Базисная функция и соответствующая последовательность изображены на рис. 2.3.

35

1								1																																1
0								0																																0
0			1		2			0														1						2												0			1		2
0.5			(a)					1														(б)																		1			(в)
0								0																																0
0					1				−π													0															π			−π			0				π
			(г)																					(д)																				(е)

Рис. 2.3. Пример масштабирующей функции: (а) φ(x); (б) φ0,1 (x); (в) φ1,0 (x);

(г) последовательность hn ; (д) H (ω ) ; (е) arg(H (ω ))

2.2.1. Представление функций при помощи вейвлетов

При рассмотрении рис.2.2 видно, что область L2 (R) построена из множе-

ства «колец», которые есть разность между двумя соседними пространствами. Эти разностные пространства обозначаются через Wm и определяются

как ортогональные дополнения областей Vm до Vm−1 :

	Vm−1 = Vm Wm ,	Wm = {0},			= L2 (R).
				!Wm		(2.29)
		m Z		m Z
Пусть	ψ (x) = ψ 0,0 (x) есть	базисная	функция		W0 .	Так как
ψ 0,0 (x) W0	V−1 , можно записать
	ψ 0,0 (x) = 21/ 2 ∑ gnφ−1,n (x)					(2.30)
		n

для некоторой последовательности gn . По аналогии с ранее рассмотренным множеством функций φm,n (x) определим семейство вейвлет-функций:

ψ m,n (x)= 2−m / 2ψ (2−m x − n).	(2.31)
36

Функции ψ m,n (x) идентичны полученным в разделе 2.1 после дискретизации (выражение (2.8)). Параметр a0 в (2.9) в данном случае равен 2. Эти функции образуют ортонормированный базис L2 (R) .

Существуют строгие зависимости между ψ (x),φ(x), gn ,hn . Вначале получим формулу, аналогичную (2.22). Перепишем (2.30) для частотной области:

ω		ω				(2.32)
Ψ(ω )= G	Φ	2	,
	2
заменим Φ(ω ) бесконечным произведением (2.22) и получим
ω	∞	ω
Ψ(ω )= G	∏H				.	(2.33)
			2	m
2	m=2

Отметим, что	Ψ(ω ) пропорционально		бесконечному	произведению
H (2−m ω ), а не G(2−m ω ), так же, как и в (2.30), вейвлет ψ (x)				был выражен в
виде линейной комбинации масштабирующих функций.					gn и hn .
Теперь получим выражения, связывающие последовательности
Так как Wm есть ортогональное дополнение			Vm , функции ψ 0,0 (x)		и φ0,0 (x)
должны быть ортогональны, и из (2.18) и (2.30) следует, что
0 =	φ0,0 ,ψ 0,0 = 2∑∑hn g p φ−1,n ,φ−1, p = 2∑hn gn .				(2.34)
	n	p	n
Легко увидеть, что выбор
	gn	= (−1)n h−n+2t+1			(2.35)

будет корректен для всех t Z . Эквивалент (2.35) в частотной области представляется в виде

G(ω ) = −H (− ω + π )e−iω (2t+1) .								(2.36)
С учетом этого из (2.32) получим
Ψ(ω ) = −e	iω / 2		−	ω		ω		(2.37)
		H		2	+ π Φ		,
						2

37