Скачиваний:
49
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
118.78 Кб
Скачать

Лабораторная работа

Исследование процедур спектрального анализа сигналов

1.Цель работы

Целью работы является изучение методов использования алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) для решения задач оценки спектральных характеристик различных сигналов с помощью ЭВМ, а также исследование свойств дискретного преобразования Фурье, непосредственно влияющих на качество получаемых спектральных оценок.

2. Постановка задачи

2.1. Содержательная постановка

2.1.1. Спектральное представление детерминированных и случайных процессов обладает рядом полезных свойств, обусловивших его широкое распространение в практических задачах исследования сигналов и динамических систем. В число таких свойств входят:

- высокая информативность (хорошо известно, что временное и частотное представление некоторого процесса связаны взаимнооднозначным соотношением);

- наглядность и возможность физической интерпретации;

- имеющая место в ряде практических случаев независимость соседних частотных отсчетов;

- возможность описания основных характеристик случайных процессов их энергетическим спектром;

- непосредственная связь корелляционных свойств исследуемого процесса с его спектральным представлением;

- наличие эффективных методов цифрового спектрального анализа. Однако поскольку при проведении спектрального анализа на ЭВМ

используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ), свойства которого отличаются от свойств непрерывного преобразования Фурье и коэффициентов Фурье, используемых в теоретическом анализе случайных и детерминированных процессов, методика использования ДПФ обладает рядом характерных особенностей.

Типовая последовательность обработки исходного процесса при цифровом спектральном анализе представляется следующим образом. Исследуемая реализация процесса предварительно подвергается дискретизации или квантованию. В результате квантования реализация представляется последовательностью дискретных отсчетов, отстоящих друг от друга на заданный временной интервал. Квантованная реализация разбивается на участки, имеющие одинаковое количество отсчетов. Количество участков и их длина определяется требуемым частотным разрешением и требуемой точностью оценки спектра. С целью уменьшения влияния конечной длины участков на качество получаемых спектральных оценок каждый участок умножается на специальное взвешивающее временное окно. Для каждого взвешенного участка с помощью алгоритма БПФ вычисляется оценка мгновенного энергетического спектра. Полученная последовательность оценок мгновенного энергетического спектра усредняется по частоте и/или амплитуде, давая требуемую оценку энергетического спектра исследуемого процесса.

2.1.2. Содержательная постановка задач лабораторной работы.

Как видно из приведенного описания типовой последовательности обработки исследуемого процесса при цифровом спектральном анализе, результат обработки (получаемая последовательность спектральных оценок) зависит от значительного числа параметров. Исследование влияния этих параметров и является содержанием основных задач данной лабораторной работы. Таких задач четыре:

- исследование влияния параметров квантования на результат спектрального анализа;

- исследование влияния протяженности участков, на которые разбита обрабатываемая реализация, на параметры получаемых спектральных оценок;

- исследование влияния взвешенных окон на качество спектральных оценок;

- исследование влияния параметров усреднения на качество спектрального анализа.

2.2. Математическая постановка задачи обработки

2.2.1. Функционирование цифровой системы спектрального анализа (ЦССА) можно формально описать следующим образом:

1. На вход ЦССА поступает последовательность отсчетов Yk, k=0,1,2,... временной функции y(t), взятых в моменты времени 0,T,2T,3T,... . Величина T носит название периода квантования, а сам процесс формирования последовательности по по временной непрерывной функции называется квантованием.

2. Последовательность отсчетов Yk разбивается на отрезки, состоящие из N отсчетов, где N обычно представляется в виде 2^M (2,4,8,16,32,64,...).

3. Каждый отрезок подвергается дискретному преобразованию Фурье (ДПФ). В результате получается последовательность Xj, j=0,1,..., N-1, состоящая из N комплексных спектральных отсчетов. Для дальнейшей обработки, как правило, используется действительная последовательность, состоящая из N/2 отсчетов, каждый из которых является квадратом модуля соответствующего комплексного коэффициента Xj:

Zj = (ReXj)2 + (ImXj)2.

4. Для улучшения точности полученных спектральных оценок периодограмма подвергается операциям частотного и временного сглаживания, в результате чего получают оценку энергетического спектра процесса Y(t) в виде последовательности действительных коэффициентов.

2.2.2. Оценка характеристик цифровой системы спектрального анализа, как и любой другой системы обработки сигналов, производится путем исследования реакции ЦССА на типовые входные воздействия. В теории и практике исследования используются различные виды типовых сигналов. В задачах спектрального оценивания наибольшее распространение благодаря свойствам наглядности и хорошей физической интерпретации получили гармонический типовой сигнал вида Acos(t+) и шумовой сигнал x(t), имеющий в используемой полосе частот равномерный спектр, мощность которого равна 2. С достаточной для практики точностью шумовой сигнал x(t) можно считать нормальным стационарным случайным процессом с равномерной спектральной плотностью(белым шумом). В данной лабораторной работе эти же сигналы используются в качестве типовых испытательных входных воздействий.

2.2.3. Требуемой выходной информацией в задаче цифрового спектрального оценивания является действительная последовательность спектральных отсчетов {Sk}, k=1,2,...L; LN/2. Каждый из Sk интерпретируется как оценка мощности сигнала в полосе частот с центральной частотой fk=k/NT(Гц). Ширина этой полосы частот определяет возможность разделения близко расположенных по частоте гармонических сигналов или разрешающую способность ЦССА и обозначается Bl.

2.2.4. Во всех четырех задачах исследования ЦССА, рассматриваемых в данной лабораторной работе, в качестве основной процедуры обработки входного работа используется алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), реализующий ДПФ сигнала y(t).

ДПФ дискретной последовательности, имеющий конечную длину N, определяется выражением (I).

(1)

где Yi - дискретная комплексная последовательность длины N, являющаяся ДПФ исходной, вообще говоря, также комплексной последовательности Xk.

ДПФ по своим свойствам похоже на обычное непрерывное преобразование Фурье. Для него имеют место те же теоремы сдвига свертки, линейности. Однако в формулировках этих теорем имеются существенные различия, вызванные тем, что в дискретном случае как исходная, так и преобразованная последовательности, имеют периодическую структуру. При этом период временной последовательности равен T N, а спектральной(преобразованной) - fкв=1/T, где T- период квантования, а fкв- частота квантования. На каждый период временной и спектральной последовательностей приходится ровно по N дискретных отсчетов. Если рассмотреть спектр некоторой непрерывной функции и сравнить его с дискретным спектром последовательности отсчетов, значения которых равны значениям непрерывной функции в соответствующих временных точках, то отсчеты дискретного спектра оказываются равными значениям спектра непрерывной функции, периодически повторенного с периодом fкв. Если при этом спектр непрерывной функции будет иметь ненулевые значения на частотах выше чем fкв/2, то имеет место так называемое явление перекрытия или наложения, при котором дискретный спектр искажается за счет суммирования основного спектра непрерывной функции и его периодического продолжения. Таким образом мы приходим к формулировке теоремы Котельникова-Найквиста, которая гласит, что непрерывная функция, представленная последовательностью дискретных отсчетов, следующих с частотой fкв, может быть без искажений восстановлена по этой последовательности в случае, если максимальная частота, на которой спектр непрерывной функции отличен от нуля, не превышает величину fкв/2.

Рассмотренному явлению наложения соответствует явление переноса частот сущность которого в случае гармонического сигнала может быть сформулирована следующим образом:

- при квантовании гармонического сигнала с частотой f, лежащей в пределах k fкв(2k+1) fкв/2, где k - некоторое целое число, спектр квантования сигнала будет в точности соответствовать спектру гармонического сигнала с частотой f-k fкв;

- при квантовании гармонического сигнала с частотой fl, лежащего в пределах (2k+1) fкв/2(k+1) fкв, где k - некоторое целое число, спектр квантованного сигнала будет в точности соответствовать спектру гармонического сигнала с частотой (k+1) fкв-fl.

Для большинства практических случаев временная реализация Yk является последовательностью действительных отсчетов. Учитывая, что комплексные экспоненты в выражении (1) представляют собой сумму вида:

exp(-j2ik/N) = cos(2ik/N) - jsin(2ik/N) (2)

и , что сos является четной функцией, а sin - нечетной, для комплексного спектра действительной реализации имеет место свойство симметричности относительно точки N/2:

Yi = YN-1. (3)

Из теоремы Котельникова и соотношения (3) следует, что для действительных последовательностей вся спектральная информация полностью содержится в первых N/2 отсчетах спектра. Поэтому в задачах спектрального оценивания обычно рассматриваются только N/2 отсчетов комплексного спектра i=0,N/2-1.

Кроме явления квантования, влияние которого на свойства ДПФ мы только что рассмотрели, ряд параметров ЦССА существенно зависят от длины анализируемого участка временной последовательности Xk. Характер этой зависимости определяется конечностью длины участка временной реализации. Действительно, рассмотрим случай, когда исходной временной последовательностью является часть функции cos(t), взятая для t=iT, i=0,N-1. полученную последовательность дискретных отсчетов можно рассматривать как результат квантования непрерывной функции, являющейся произведением функции cost на "прямоугольное временное окно" вида:

Oi = (4)

В рассматриваемом случае можно показать, что для косинусоиды с частотой s квадрат модуля комплексного отсчета ДПФ, соответствующего частоте wi=2p ifкв/N описываются выражением:

P(s-i) = |sin[(s-i) N/fкв]/(s-i) N/fкв| (5)

Отметим, что функция (5) имеет центральный "лепесток", соответствующий глобальному максимуму функции, и боковые "лепестки", соответствующие локальным максимумам. С учетом выражения (5) можно дать физическую интерпретацию ДПФ: квадрат модуля комплексного отсчета ДПФ, соответствующего частоте i, можно интерпретировать как мощность сигнала на выходе полосового фильтра, передаточная характеристика которого описывается выражением (5). Таким образом, первые N/2 полосовых фильтров, передаточная характеристика которых описывается выражением (5), а центральные частоты равны fi=fкв/N. Таким образом, функция P(s,i) описывает избирательные свойства ДПФ, которые обычно оценивают эффективной полосой пропускания - Bl и степенью подавления боковых лепестков - kзат.

Величина Bl оценивается на уровне 0.5 от максимального значения коэффициента передачи мощности Pi(). Для ДПФ:

Bl ~ fкв/N (6)

где fкв - частота квантования, а N - количество отсчетов временной реализации.

Степень подавления боковых лепестков обычно оценивается величиной:

kзат = 10lgPmax0 / Pmax1(дб) (7)

где Pmax0 - глобальный максимум основного лепестка Pi(),

Pmax1 - максимум максимального бокового лепестка Pi(w). Для ДПФ kзат = 0,7 дб.

Наличие боковых лепестков может существенно снизить точность спектрального оценивания за счет "проникновения" сигналов из полос частот, соответствующих соседним спектральным отсчетам. Поэтому для увеличения kзат принимаются специальные меры, приводящие к уменьшению величины боковых лепестков. Наиболее часто для этого используется взвешивание обрабатываемого отрезка реализации функцией временного окна в соответствии с выражением:

Xвзвi = Yi kокнi (8)

На практике используются самые различные виды функций kокнi. Общим для всех этих функций является соотношение kокн = 0, i<0 и i.N. Одними из наиболее распространенных функций временного окна являются:

I. Прямоугольное:

Этому окну соответствует P(), определяемое соотношением (5).

2. Треугольное:

3. Хеннинга:

4. Хемминга:

5. 4-х членное окно Блэкмана-Хэрриса:

= 0,35875-0,48829cos(2(i-1)/N))+0,14128cos(4(i-1)/N)) - 0,01168cos(6(i-1)/N)).

Расплачиваться за понижение уровня боковых лепестков приходится увеличением величины Bl. При этом, как правило, чем сильнее применяемое окно подавляет боковые лепестки, тем больше у него величина Bl. Сравнительный анализ перечисленных временных окон является одной из задач лабораторной работы и поэтому здесь не приводится.

Применение временных окон особенно эффективно при исследовании гармонических сигналов и подбор формы окна может обеспечить требуемую точность оценки мощности гармоники за счет определенного ухудшения точности оценки частоты синусоиды и снижения избирательных свойств ЦССА, т.е. возможности различения гармонических сигналов с мало различающимися частотами.

При исследовании случайных( шумовых) сигналов используются оценки спектральной плотности мощности, основанные на использовании дискретной периодограммы

(9)

На точность оценок спектральных характеристик существенно большее влияние, чем уровень боковых лепестков, оказывает наличие случайных флуктуаций, величину которых можно оценить коэффициентом разброса:

Kразб = x /mx,

где mx и x - математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение оценки величины спектрального отсчета. Для случая, когда оцениваемый спектр равномерен в полосе Bl, коэффициент разброса легко выражается через полосу разрешения Bl и длины реализации или время наблюдения TН .

Kразб = 1/(). (10)

Из соотношения (10) видно, что понижения Kразб можно добиться двумя способами:

- снижением разрешающей способности путем увеличения величины Bl;

- увеличением времени наблюдения TН.

Перечисленные два способа уменьшения коэффицинта разброса соответствуют двум основным практическим методам:

- методу осреднения оценки спектра по частоте и

- методу осреднения по времени.

Однако прежде чем рассмотреть эти методы более подробно, обсудим влияние временных окон на коэффициент разброса. Можно показать, что в рассматриваемой в данной лабораторной работе процедуре спектрального анализа применение временного окна не оказывает влияния на величину коэффициента разброса. Физически это можно интерпретировать следующим образом: применение окна приводит к расширению Bl за счет увеличения ширины центрального лепестка, но одновременно уменьшает TН, поскольку данные, приходящиеся на края реализации, учитываются в меньшей степени. В результате произведение Bl TН не изменяется при этом и Kразб.

Метод уменьшения коэффициента разброса путем осреднения по частоте заключается в замене полученной оценки спектра мощности в виде N/2 спектральных отсчетов новой оценкой, состоящей из (N/2L) отсчетов, при этом каждый отсчет осредненного спектра вычисляется в соответствии с выражением:

= 1/L Si (10)

где -Si отсчеты периодограммы, - отсчеты осредненного спектра мощности.

Поскольку в результате применения осреднения по частоте среднее значение оценок на изменяется, а дисперсия оценки снижается в L раз, Kразб уменьшается в раз, что приводит к повышению точности оценки.

Метод осреднения по времени заключается в увеличении времени наблюдения путем вычисления последовательности оценок спектра мощности по временной последовательности, имеющей N m отсчетов. Если - отсчет периодограммы, вычисленной по i-му временному интервалу, то осредненная оценка вычисляется в соответствии с выражением:

Si =1/m (11)

Применение осреднения по времени также как и в случае осреднения по частоте уменьшает Kразб в раз.

На практике часто используются оба рассмотренных метода уменьшения коэффициента разброса одновременно. В этом случае Kразб уменьшается в раз.

До сих пор мы рассматривали поведение ЦССА отдельно при гармоническом входном сигнале и отдельно при входном сигнале типа белого шума. Однако существенный практический интерес представляет исследование поведения ЦССА при подаче в качестве входного сигнала аддитивной смеси гармоники и белого шума, описываемой выражением:

X(t) = Acos(t) + (t) (12)

или в дискретном случае:

Xi = Acos(i /fкв) +  (i/fкв) (14)

где (t) - нормальный случайный процесс с равномерным спектром и дисперсией(мощностью .2 )

В данном случае на оценку параметров гармонического сигнала существенное влияние оказывает отношение сигнал/шум, определяемое как отношение мощности гармонического сигнала к мощности шума в анализируемой полосе частот. Можно показать, что применение ЦССА может существенно улучшить это отношение. Действительно, на входе ЦССА отношение сигнал/шум равно:

C/Швх = A2/22 (13)

На выходе ЦССА энергия гармонического сигнала сосредоточена в одном частотном интервале (если частота гармоники совпадает с центральной частотой этого интервала), ширина которого в N/ раз меньше ширины исходной полосы частот. Поскольку энергия шумового сигнала с равномерным спектром в этой полосе равна 2 /N, мы имеем отношение сигнал/шум на выходе ЦССА:

(C/Швых)max = N A2/22 (14)

В худшем случае, когда частота гармонического сигнала лежит на границе между двумя соседними частотными интервалами и мощность гармонического сигнала в каждом частотном интервале в 2/2 раз меньше мы имеем:

(C/Швых)min = N A2/22 (15)

Таким образом, применение ЦССА приводит к улучшению отношения

сигнал/шум в 2N/2  N раз. Однако, платой за это является снижение точности оценки параметров сигнала за счет большого статистического разброса (Kразб=1). Повышения точности оценки можно добиться использованием метода осреднения по времени.