Скачиваний:
68
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
1.78 Mб
Скачать

Глава 3. Математические основы цифровой фильтрации

Дискретное преобразование Лапласа

Как указывалось, методы описания непрерывных и дискретных сигналов во многом аналогичны друг другу. Обычному преобразованию Фурье соответствует дискретное преобразование Фурье; по аналогии с обычным преобразованием Лапласа можно ввести дискретное преобразование Лапласа.

Запишем преобразование Лапласа для непрерывных сигналов

Это соотношение справедливо для сигналов, тождественно равных нулю при t<0. Поскольку все реально существующие сигналы имеют начало, преобразование Лапласа можно применять практически для всех сигналов.

Применим преобразование Лапласа к дискретному сигналу, записанному в виде последовательности δ-функций

(3.19)

Выражение (3.19) представляет собой дискретное преобразование Лапласа.

Формула дискретного преобразования Лапласа может быть несколько упрощена, если положить ерТ = z. В результате такой замены приходим к z- преобразованию, которое обычно применяют при анализе дискретных сигналов вместо дискретного преобразования Лапласа.

§ 3.5. Z-преобразование

z-преобразование представляет собой модификацию дис­кретного преобразования Лапласа:

(3.20)

Функция F(z) является аналитической функцией комплексного переменного z. z-преобразование можно применить и к абстрактным числовым последовательностям.

В качестве примеров рассмотрим z-преобразования простейших сигналов. При этом всюду будем полагать, что сигнал f(пТ) тождественно равен нулю при n<0.

1.Единичный импульс (рис. 3.6)

2.Дискретизированный единичный скачок (рис. 3.7)

3.Экспоненциально убывающий дискретный сигнал (рис. 3.8)

Рис. 3.7. Дискретизированный единичный скачок

Рис. 3.8. Экспоненциальноубывающий дискретный сигнал

4.Комплексная экспонента

5. Гармоническая функция

6.Степнная функция

Поскольку z-преобразование — это степенной ряд переменной , то важно рассмотреть вопрос о его сходимости.

Ряд (3.20), определяющий z-преобразование, сходится для | z | > R, где Rрадиус сходимости, зависящий от вида функции f(nT). Наиболее просто радиус сходимости определяется для последовательности f(nТ) = Кп. В этом случае F(z)= z/(z). Эта функция имеет полюс при z = К.Вне окружности |z| = К функция F(z) является аналитической функцией комплексной переменной z, и описывающий ее ряд (3.20) сходится. Следовательно, для f(nТ) = радиус сходимости R = К

§ 3.6. Обратное z-преобразование

Обратное z-преобразование позволяет определить значения дискретного сигнала по виду функции F(z). Для нахождения формулы обратного z-преобразования можно воспользоваться обратным преобразованием Лапласа, но легче получить ее из формулы прямого z-преобразования.

Запишем еще раз прямое z-преобразование

Умножим обе части этого выражения на проинтегри­руем по окружности с радиусом, превышающим радиус сходимости R ряда для F(z), и поменяем местами суммирование и интегрирование:

())

(3.21)

Вычислим интеграл в правой части выражения (3.21)

Такой результат объясняется тем, что значение интегра­ла по замкнутому контуру в комплексной плоскости равно произведению на сумму вычетов подынтегральной функции; единственный вычет при z = 0 получается только при k = п, когда .

Следовательно,

(3.22)

Получившееся выражение представляет собой формулу обратного z-преобразования, но надо только уточнить форму контура интегрирования. Для этого положим . Тогда F(z) = z/(z — K). Применим обратное 2-преобразо-вание к этой формуле:

Imz

Рис. 3.9. Возможные контуры интегрирования при вычислении обратного z-преобразования

Подынтегральная функция имеет единственный полюс при z =K. Интегрировать можно вдоль любого контура, охватывающего точку z = К (рис. 3.9), но удобнее вдоль окружности радиуса R>K.

Для сигналов, абсолютное значение которых убывает во времени, K<1, потому в качестве контура интегрирования можно использовать окружность радиуса R= 1.