АВТОРЕГРЕССИОННЫЙ ПРОЦЕСС И СВОЙСТВА СПЕКТРА / 240

240

Глава 7

ритма Левинсона, будет иметь корни, расположенные внутри единичного круга; см. Маркел и Грей [14]. Следовательно, это будет давать минимально-фазовый фильтр линейного предска- зания ошибки. Доказательство этого свойства приводится в целом ряде работ; см., например, Кей [8], Пакула и Кей [17], Лэнг и Макклеллан [10], Берг [2]. Типичная схема доказательства строится на использовании того факта, что величину дисперсии p^b можно уменьшить посредством зеркального переноса корней, лежащих вне единичного круга, внутрь этого круга. Минимально-фазовое свойство гарантирует, что решение уравнений Юла – Уолкера будет давать устойчивый авторегрессионный фильтр 1/A(z), а это означает, что рекурсивное уравнение (6.31) для АКП будет давать конечные значения автокорреляции, не превосходящие по своей величине значения r_xx[0], как того требует допущение о стационарности процесса.

Если процесс x[n] действительно является AP(p)-процессом, то решение на основе линейного предсказания порядка m=p с помощью алгоритма Левинсона дает

где a_p[k] – AP-параметры, а p_p – дисперсия возбуждающего белого шума. Величина этой дисперсии будет постоянна, если порядок линейного предсказания равен или превышает правильный порядок, поэтому a^f_m[m]=0 при m>p. Таким образом, алгоритм Левинсона можно использовать для генерации фильтров линейного предсказания ошибки последовательно возрастающего порядка до тех пор, пока дисперсия не достигнет некоторой постоянной величины, т. е. перестанет изменяться. Этот факт может быть использован как своего рада индикатор правильного, или наиболее правдоподобного, порядка используемой авторегрессионной модели.

В следующем подразделе будет показано, что a_m[m]1. А это означает, что дисперсия ошибки предсказания p^f_m, определяемая уравнением (7.18), должна быть монотонно убывающей функцией, достигающей минимума при m=p, если исследу- емый процесс является AP(p)-процессом. Это – еще одно полезное свойство, которое также может быть использовано для выбора порядка модели; этот вопрос обсуждается в гл. 8.

7.3.3. Коэффициенты отражения

Коэффициенты линейного предсказания a₁^f[1],…,a_p^f[p] часто называют коэффициентами отражения, что обусловлено их ин- терпретацией как физических параметров акустической трубы, используемой в модели речи [11, 13], или слоистых моделей