Тема 8. Коды Боуза–Чоудхури–Хоквингема и Рида-Соломона.

Из рассмотренного ранее материала следует, что искусство построения хороших циклических кодов определяется умением находить порождающие полиномы. К сожалению, в настоящее время известно лишь несколько продуктивных методов конструирования порождающих полиномов циклических кодов с предсказуемыми исправляющей способностью и приемлемой скоростью. Данная тема как раз и посвящена рассмотрению наиболее известных из них.

8.1. Расширенные конечные поля.

Как уже известно, существуют конечные поля только порядка (– простое,– натуральное числа). Простое полепорядкаможет трактоваться как множество остатков от деления целых чисел на:с операциями сложения и умножения по модулю. Аналогичным образом расширенное полепорядка, может трактоваться как множество остатков от деления полиномов надна некоторый неприводимый полиномстепенис операциями сложения и умножения по модулю. Другими словами, полесодержит все полиномы над полемстепени не вышес общепринятыми операциями сложения и умножением, осуществляемым в два этапа – вначале производится обычное умножение полиномов, а затем удерживается только остаток от деления полученного произведения на полином.

Пример 8.1.1.Возьмем полином. Учитывая его неприводимость и тот факт, что, данный полином пригоден для построения поля. Для двух полиномов степени не выше двух, например,и, их сумма в полеопределится, как. Вычисление их произведения в поленачинается обычным образом. На первом шаге находится. Затем осуществляется деление полученного произведения нас последующим удержанием остатка, а именно:. Таким образом, в соответствие с правилом умножения в полеимеем. Полная таблица умножения элементов расширенного поля по модулю неприводимого полиномапредставлена в таблице 8.1.

Отметим, что среди полиномов степени не выше присутствуют и полиномы нулевой степени, т.е. элементы простого поля, сложение и умножение которых, осуществляются по правилам поля. Это означает, что простое полеполностью содержится в расширенном, или, другими словами,являетсяподполем. Для поляпорядок его простого подполяназываетсяхарактеристикойполя. Роль данного параметра проявляется, например, при вычислении суммы или произведения элементов поляв полиномиальном представлении, поскольку значения соответствующих коэффициентов находятся на основе арифметики по модулю. Любое расширенное полеявляется полем характеристики 2, вследствие чего вычисление коэффициентов полиномов, рассматриваемых как элементы поля, всегда осуществляется по модулю два. В частности, для любого, поскольку.

Таблица 8.1.

	0	1	x	x+1	x^2	x^2+1	x^2+x	x^2+x+1
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	x	x+1	x^2	x^2+1	x^2+x	x^2+x+1
x	0	x	x^2	x^2+x	x+1	1	x^2+x+1	x^2+1
x+1	0	x+1	x^2+x	x^2+1	x^2+x+1	x^2	1	x
x^2	0	x^2	x+1	x^2+x+1	x^2+x	x	x^2+1	1
x^2+1	0	x^2+1	1	x^2	x	x^2+x+1	x+1	x^2+x
x^2+x	0	x^2+x	x^2+x+1	1	x^2+1	x+1	x	x^2
x^2+x+1	0	x^2+x+1	x^2+1	x	1	x^2+x	x^2	x+1