Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Svetlov_Filosofia_matematiki

.pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
17.09.2019
Размер:
7.24 Mб
Скачать

В. А. Светлов

ФИЛОСОФИЯ

МАТЕМАТИКИ

Основные программы обоснования математики хх столетия

Допущено Учебно-методическим объединением

по направлениям педагогического образования в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 540400 (050400)

"Социально-экономическое образование»

Издание второе

URSS

МОСКВА

ББК 22.1 Ф 87.1 87.4 22.12 72.3

Светлов Виктор Александрович

Философия математики: Осиовиые проrраммы обосноваиия математики ХХ столетия: Учебное пособие. Изд. 2-е. - М.: КомКнига, 2010. - 208 с.

Настоящее пособие подготовлено на основе авторского курса по истории и фило­ софии науки для аспирантов естественно-научногои гуманитарного циклов. Дан под­ робный анализ четырех ведущих программ обоснования философии хх столетия - логицизма, интуиционизма, конструктивизма и формализма. Главный акцент сделан на раскрытии философских допущений перечисленных программ и доступном изложении тезисов и основных результатов каждой из них. Первая глава книги посвящена изложе­ нию общего подхода к проблеме обоснования математики. Предлагается решение, выхо­ дящее за рамки известиой дихотомии априоризма и апостериоризма математического знания. Объясняется, почему ни одна из анализируемых программ не может считаться удовлетворительной в полной мере. В книге используется большое количество первоис­ точников и критической литературы.

Пособие написано в соответствии с требованиями Программы кандидатских экза­ менов по курсу «История И философия науки», одобренной Высщей аттестационной комиссией и утвержденной приказом Министерства образования России от 17.02.2004

N2697.

Адресовано студентам, аспираитам, преподавателям, ученым, а также всем, кто самостоятельно изучает философские проблемы математики и интересуется логикой и методологией современной науки.

Издательство «КОМКНИГ8».

117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 9. Формат60х90!16. Псч. л. 13. Зак. N, 3169.

Отпечатано в 000 ,JlЕНАНД".

117312, Москва, пр-т Шестидесятилетня Октября, 1I А, стр. 11.

ISBN 978-5-484-01124-7

©

 

КомКнига, 2006, 2009

 

 

 

 

 

 

 

НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯЛИТЕРАТУРА

 

 

 

 

 

I~I;;::',"::~~=:,s,;;:.....

 

 

8З88 10 109919

 

 

 

 

 

 

 

http://URSS.ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тел /факс 7

(499)

135-42-16

 

 

11111111111111111111111111

 

 

URSS Тел./факс: 7

(499)

135-42-46

 

 

 

 

9

 

785484 011247

 

 

 

 

 

 

 

Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведенаили передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то элек­ тронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, а также размещениев Интернете,если на то нет письменногорвэрешениявладельца.

Оглавление

ПреАисловие

4

Глава 1. Проблема обоснования математики...............................

5

Глава 2.

Кризис математики в начале ХХ века............................

26

Глава 3.

Логицизм. Математика как создание

 

 

логически очевидных конструкций

37

Глава 4.

Интуиционизм и конструктивизм.

 

 

Математика как создание интутивно

 

 

и алгорифмически очевидных конструкций..................

81

Глава 5.

Формализм. Математика как создание

 

 

формально непротиворечивых конструкций

129

Приложение 1. Символическая логика

 

 

(основные допущения и определения)

159

Приложение2. Парадокс лжеца

200

ПреАисловие

к предмету философии математики принято относить вопросы, касающиеся обоснования математики как науки. хх век был уни­ кальным временем, когда проблема обоснования математики счита­ лась одной из самых приоритетных, и лучшие математические умы потратили немало времени на поиски ее адекватного решения. В ре­ зультате бьши получены фундаментальные результаты, имеющие выдающееся философское значение.

В пособии дан подробный анализ четырех ведущих программ обоснования философии хх века - логицизма, интуиционизма, конструктивизма и формализма. Главный акцент сделан на раскры­ тии философских допущений перечисленных программ и доступном изложении тезисов и основных результатов каждой из них. В посо­ бии используется большое количество первоисточников и критиче­ ской литературы. В первой главе излагается общий подход к пробле­ ме обоснования математики. Предлагается решение, выходящее за рамки известной дихотомии априоризма и апостериоризма матема­ тического знания. Обьясняется, почему ни одна из анализируемых программ не может считаться удовлетворительной в полной мере.

Для удобства читателей в пособие в качестве справочного и общеобразовательного материала включены два специальных при­ ложения. В первом разьясняются основные допущения и определе­ ния современной символической логики. Во втором содержится доступный анализ «парадокса лжеца», сыгравшего значительную роль в формировании современных концепций обоснования мате­

матики.

Пособие соответствует требованиям новой программы подго­ товки аспирантов по теме «философия математики» и рассчитано на всех, кто интересуется философскими вопросами математики, логикой и методологией современной науки.

Глава 1

Проблема обоснования математики

Хорошо, что существуют логики и интуи­

тивисты; кто рискнет утверждать, что он пред­

почел бы, чтобы [логик] Вейерштрасс никогда не писал или чтобы [интуитивиста] Римана не бьmо? Таким образом, мы должны примирить­ ся С разнообразием умов или, еще лучше, мы

должны ему радоваться.

А. Пуанкаре. Наука и метод

Основной принцип научного исследования состоит в том, что

ни одно высказывание, ни одна теория не принимаются научным

сообществом без достаточных оснований. Однако в ряду всех наук математика занимает особое место. Ее утверждения не просто ис­ тинны, а необходимо истинны. В чем источник необходимости ма­ тематических утверждений? Что может служить достаточным ос­ нованием их принятия? - Ответы на эти принципиальные вопросы образуют содержание проблемы обоснования математики.

Было предложено множество ответов, большинство которых источник необходимости математических истин видит в особенно­

стях математического знания и соответственно этому развивает

особую программу обоснования математики. Это прежде всего про­ граммы логицизма (основание математики - в логике), интуицио­

низма (основание математики - в априорной интуиции времени), конструктивизма (основание математики - в точном предписании, называемом алгорифмом) и формализма (основание математики - в представлении ее в виде исчисления), которые подробно анализи-

6

Глава 1

руются ниже. Для полноты картины к ним следует добавить так называемый платонистский взгляд на природу и особенности мате­ матических объектов, концепцию самоочевидности математиче­ ских теорий и эмпиристскую доктрину необходимости математиче­

ского знания.

Согласно платонистам, которые не образуют самостоятельного направления и могут ПРИНадЛежать к разным школам обоснования математики, математика имеет дело с объектами особого рода, ре­

альность существования которых совершенно не зависит от при­

родной действительности или по крайней мере не ниже уровня ре­ альности природных объектов. По мнению логициста Фреге, задача

математика заключается в открытии того, что уже существует на

самом деле, а не в конструировании того, чего не было ранее. «Ма­ тематик в состоянии создать что угодно в столь же малой степени, как и географ; он также может лишь обнаружить то, что есть, и дать этому название... В арифметике мы занимаемся предметами, кото­

рые не как нечто чуждое известны нам извне через посредничество

чувств, но которые даны непосредственноразуму... Нет ничего бо­ лее объективного,чем арифметическиезаконы»l.

Создательтеории множеств Кантор рассматривалбесконечные множества как объекты, как нечто, подобное идеям Платона. « ... Под многообразием, или 'множеством' я понимаю вообще

всякое многое, которое можно мыслить как единое, т. е. всякую

совокупность определенных элементов, которая может быть свя­ зана в одно целое с помощью некоторого закона, и таким обра­ зом я думаю определить нечто, родственное платоновскому 'эй­ досу' или ·идее' ... ».2 Платонизм Кантора был прямым следствием принятия допущения актуальной бесконечности.

В новейшее время платонистскую позицию в математике за­ щищал Гёдель, называя ее математическим реализмом. «... Классы и понятия можно мыслить как реальные объекты, т. е. классы как

множества вещей', или как структуры, состоящие из множества вещей, а понятия как свойства вещей и отношения между ними, существующие независимо от наших определений и конструкций.

I Фреге Г. Основоположения арифметики. Томск, 2000. § 96, 105 (по принятой международной традиции при ссылках на публикации Фреге указываются только

параrrафы его работ).

Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985. С. 101.

Проблема обоснования математики

7

 

 

Мне кажется, что допущение таких объектов так же законно, как и допущение физических тел, и имеются все основания верить в их существование. Они необходимы для получения удовлетворитель­ ной системы математики в том же смысле, в каком физические тела необходимы для удовлетворительной теории наших чувственных восприятий... »3

Неудовлетворительность платонистской точки зрения на обос­ нование математики состоит в том, что она не объясняет, а посту­ лирует необходимость существования определенных объектов. На самом деле любая математическая теория зависит от множества допущений, что делает объекты, существование которых она ут­ верждает, не абсолютно, а только условно необходимыми. Кроме того, она вступает в противоречие с тем способом, каким в дейст­

вительности интеллект овладевает в процессе своего развития ма­

тематическими операциями. Развитие математического мышления

ни в коем случае не является мгновенным единовременным актом,

как должно было быть, если бы платонисты были правы, а пред­

ставляет последовательно прогрессивный, продолжающийся в те­ чение многих лет процесс. Интеллект способен выполнить матема­ тическую операцию, абстрагировать какое-либо свойство только

тогда, когда он имеет в своем распоряжении готовую операцио­

нальную структуру. И пока такие структуры не созданы, математи­ ка с ее утверждениями не более необходима, чем сновидение. Ма­ тематические объекты - конструируемые в самом прямом смысле, а не открываемые нашим интеллектом объекты.

Аксиоматический характер многих математических теорий, а также особый статус аксиом в дедуктивной системе, их независи­

мость от опыта наталкивают некоторых математиков на предполо­ жение, что необходимость математических суждений является следствием их самоочеви)].ности. Данный критерий восходит, по крайней мере, к Декарту, который утверждал, отвечая своим оппо­ нентам: «Все, что я воспринимаю ясно и отчетливо, по необходи­ мости истинно»4. Развернутую защиту концепции самоочевидности математических истин дал Лейбниц. По его мнению, в основе са­ моочевидности лежит то обстоятельство, что все математические

) Gбdеl К. Russell's Mathematical Logic // Philosophy of Mathematics. Епglеwооd

Cliffs, 1964. Р. 220.

4 Декарт р. Сочинения: В 2 т. Т. 2. М., 1994. С. 257.

8

Глава 1

ИСТИНЫ суть тождественные, т. е. необходимо истинные, истинные сами по себе, утверждения. Их отрицание, следовательно, всегда ложно. «Бесспорно, что тождественные предложения являются первыми из всех и не допускают никакого доказательства, будучи тем самым истинными сами по себе... И очевидно, что все необхо­

димые, или вечно истинные, предложения являются виртуально

тождественными,- те, конечно, которые могут быть доказаны из одних только идей или определений... т. е. могут быть сведены к

первым истинам, так что окажется, что противоположноесодержит

в себе противоречиеи приходитв столкновениес каким-либотож­ деством,или первой истиноЙ»S.

К сожалению, несмотря на все усилия рационалистов, крите­ рий самоочевидностисам не является самоочевидным.Как хорошо

знают изучавшие математику, не все математическиеистины само­

очевидны. Совсем не очевидно, почему квадратныйкорень из двух

не является рациональнымчислом. Кроме того, некоторые истины, особенно относящиесяк теории бесконечныхмножеств, не только не самоочевидны,но и вступаютв явное противоречиес нашей ин­ туицией конечного. Бесконечный опыт поколений убеждает, что часть всегда меньше целого6• Тем не менее определениебесконеч­ ности требует принятия прямо противоположного допущения: множествобесконечно,если и только если существуетсобственное подмножество(не равное всему множеству), которое находится во

взаимно однозначномсоответствиисо всем множеством.

Всем указанным взглядам на причину математическойнеоб­ ходимости противостоитточка зрения, согласно которой матема­ тика, если не по происхождениюсвоих абстракций, то по своему методу, - эмпирическая наука. Д. С. Милль7 В XIX в., Л. Кальмар8 и И. Лакатос9 в хх в. наиболее последовательно, хотя и с некото-

5 Лейбнuц Г. В. Сочинения: В 4 т. Т. 3. С. 139-140.

6 «Отсюда... философы уже давно доказали, что часть меньше целого, ис­

пользовав следуюшее определение: меньшее есть то, что равно части другого (большего»).(ЛейбнuцГ. В. Указ. соч. С. 139.)

7 МWUlЬДЖ. С. Система логики силлогистической и индуктивной. М., 1914.

С. 201-234. Изд. 3. М.: ЛЕНАНД/URSS, 2010,

8 Kalmar L. Foundations of Mathematics - Wither Now? // ProbIems in the Philosophy of Mathematics. Amsterdam, 1967. Р. 187-194.

9 Lakatos 1. А Renaissance of Empiricism in the Recent Philosophy of mathematics 11 ProbIems in the Philosophy of Mathematics. Amsterdam, 1967. Р. 199-202.

Проблема обоснования математики

9

 

рыми отличиями друг от друга, отстаивали эту точку зрения. Ос­ новные аргументы ее защитников таковы. Если математика - нау­ ка, то она, как и все остальные науки, должна быть опытной по происхождению, ее метод должен быть подобен общенаучному и степень необходимости ее положений не может превосходить сте­ пень необходимости естественнонаучных теорий. Математическая необходимость есть не более чем необходимость следования теорем из посылок, называемых аксиомами. Но это уже не онтологическая, а логическая необходимость. К математике в собственном смысле

она не имеет прямого отношения.

Неудовлетворительность эмпирического обоснования матема­

тики следует из того, что математические суждения не просто ис­

тинны, а истинны с необходимостью. Необходимость же может быть следствием только необходимости. Но опытные суждения не являются необходимо истинными и не могут служить формальным основанием истинности математического знания. Никакое число объединений двух различных объектов с тремя различными объек­

тами не может доказать аподиктичность элементарного суждения

арифметики «2 + 3 = 5». Парадоксальность математической необ­ ходимости состоит в том, что ее доказательство вообще не требует обращения к внешнему опыту. Другим аргументом против эмпири­ ческого обоснования математики служит пример, который любил приводить Фреге. Ни один эмпирик не может удовлетворительно объяснить, какому внешнему, наблюдаемому в опыте событию со­ ответствует число О. Ему также трудно объяснить происхождение и операции с бесконечностью и тем более - с разными видами бес­ конечности. «Из опыта, т. е. посредством эксперимента, никогда нельзя прийти к заключению о возможности или существовании сколь угодно большого числа, ибо число предметов, являющихся объектом нашего опыта, даже если оно велико, все же не превосхо­ дит некоторого конечного предела»lO.

Можно поэтому согласиться со следующей оценкой перспек­ тивности эмпирического обоснования математики. «Верно, что ма­ тематика в конечном счете отражает объективный мир, но она (как наука) имеет свою специфику по сравнению с эмпирическими нау­ ками, и поэтому нельзя отождествлять методы развития и обосно-

10 ГWlьбертД Основания геометрии. М.; Л., 1948. С. 323.

10

Глава 1

вания математики с методами развития и обоснования эмпириче­ ских наук. Методы математики и естествознания в определенной

степени сходны, но не идентичны, что связано прежде всего с тем

обстоятельством, что идеальные модели пространственных форм и количественных отношений действительности, являющиеся в ко­

нечном счете предметом математики, не даны нам непосредственно

эмпирически»1I •

Кроме необходимости, математическое знание обладает и дру­ гими особенностями, также влияющими на построение программы обоснования.

Математическая теория - содержательная или формальная де­ дуктивная система, управляемая небольшим числом аксиом. Каждая математическая аксиома - абстракция отношений между природ­ ными или социальными объектами. Природа идеализаций такова, что никакой опыт не соответствует им с абсолютной точностью. Всякая попытка провести идеально прямую линию, скажем на бу­ маге, обречена на неудачу. С одной стороны, идеализации - про­ дукты творческого воображения, но никак не результаты наблюде­ ния, обобщения и систематизации данных опыта. С другой стороны, только благодаря идеализациям математическое доказательство становится необходимым и универсально применимым.

В дедуктивных системах аксиомы выполняют функцию посы­

лок, из которых с помощью специальных правил выводятся следст­

вия (теоремы). В отличие от естественнонаучных теорий, в которых

истинность посылок зависит от истинности их следствий, в мате­ матических теориях все наоборот - истинность теорем полностью обусловлена истинностью аксиом, из которых они следуют. Значит, истинность математических утверждений зависит не от опыта, а от истинности аксиом. Последние обосновываются либо посредством интуиции, либо признаются априорными конструкциямиl2

Таким образом, в подавляющем числе случаев специфику ма­ тематики принято видеть в необходимости и независимости ее ут­ верждений от опыта, интуитивном или априорном происхождении ее аксиом. В зависимости от того, какие особенности математиче-

II KapnYHU/I В. Н Формальное и диалектическоев математическомпознании.

Л., 1983. С. 24.

12 О новых аргументах в защиту априорной природы математических идеали­ заций см.: Пермuнов В. Я. Философии и основания математики. М., 2001.